一道解析几何题的拓展探究

陕西 韩红军

高三教学中，我们遇到一道解析几何试题如下：设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2，直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合，交圆F2于C，D两点，过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.

(Ⅰ)求|EF1|+|EF2|的值；

(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线E1，直线l的斜率为1，且与曲线E1相交于A，B两点，与直线x=-8相交于M点，试问在椭圆E1上是否存在一定点N，使得k1，k3，k2成等差数列(其中k1，k2，k3分别是指直线AN，BN，MN的斜率).若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】此题属于解析几何中的存在性问题，也是高考的热点问题之一，第(Ⅰ)问构思巧妙，重在考查平面几何基本知识，考查逻辑推理核心素养；第(Ⅱ)问是以探究的方式，考查直线与椭圆的位置关系，同时将等差数列融入其中.

【解析】(Ⅰ)因为|F2D|=|F2C|，F1E∥CF2，所以∠F2DC=∠F2CD=∠EF1D，所以|EF1|=|ED|，所以|EF1|+|EF2|=|ED|+|EF2|=|DF2|，又因为圆F2的半径为8，即|DF2|=8，所以|EF1|+|EF2|=8.

一、逆向拓展探究

根据解题习惯，我们将左焦点、左准线分别换成右焦点、右准线，进一步深入探究上述命题的逆命题是否成立？

二、类比拓展探究

如果将上述的椭圆换成双曲线或抛物线，又会得出什么样的结论呢？此结论是否正确呢？于是我们进行进一步探究，得到如下命题：

以上这些变式是从高考经常考查的椭圆热点问题入手思考的，首先考虑能否将问题一般化，其次考虑能否将问题进行推广，将椭圆变成双曲线、抛物线后，情况如何？这样才能找到规律，将问题理解得更透、把握得更全、思考得更深.这些变式环环相扣，层层深入，落点很高，实现由知识向能力、能力向素养的转化.