2019年北京卷理科第18题圆锥曲线的探究与推广

广东 蔡芝芝

一、题目呈现

(2019·北京卷理·18)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).

(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；

(Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

二、题目分析

本题以抛物线为载体考查直线与圆锥曲线的综合应用.第(Ⅰ)问求曲线方程，属于容易题；第(Ⅱ)问是圆过定点问题，考查抛物线与圆的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，并考查数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法，同时考查运算求解能力和综合运用数学知识解决问题的能力.试题结构非常简单，题干简洁，求解的思维过程体现了对解析几何核心内容和通性通法的考查.本文通过解法分析、规律探索和规律推广等方面对本试题进行分析.

三、解法分析

(Ⅰ)因为抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1)，

所以4=2p，所以抛物线C的方程为x2=-4y，准线方程为y=1.

(Ⅱ)解法一：证明：因为抛物线的焦点为F(0,-1)，

设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).

评注：把题目中的几何条件用代数形式(坐标)表示出来，利用韦达定理进行整体代换是解析几何中最常用的方法之一.“以AB为直径的圆经过y轴上的定点D”可转化为“∠ADB=90°”，再利用向量数量积求值，也可以用斜率之积来转化运算.体现了化归与转化的数学思想方法在解析几何问题中的应用.

解法二：因为抛物线的焦点为F(0,-1)，

所以设过焦点的直线l的方程y=kx-1(k≠0).

剩下部分与解法一相同，不再重复.

解法三：证明：因为抛物线的焦点为F(0,-1)，

所以设过焦点的直线l的方程为y=kx-1(k≠0).

所以，以AB为直径的圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，

令x=0得4k2+(y+1)2=4k2+4，解得y=-3或y=1.

所以，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).

评注：曲线过定点问题常见解法有两种，一是通过特殊位置确定定点再证明曲线过定点；二是先求出曲线的轨迹方程，再通过曲线的轨迹方程求轨迹所经过的定点.本题解法三属于第二种解法.

解法四：证明：如图所示，记抛物线C的准线与y轴的交点为P，分别过点M，N作准线的垂线交准线于M′，N′，连接M′F，N′F，PA，PB，由引理得O，N′，M三点共线，且OP=OF，N′P∥AF,所以ON′=OA，所以四边形N′PAF为平行四边形，所以N′F∥PA，同理M′F∥PB.

由引理得M′F⊥N′F，结合等角定理得PA⊥PB,所以以AB为直径的圆经过y轴上的定点P(0,1).根据对称性可知以AB为直径的圆经过y轴上的另一个定点P′(0,-3).

综上所述，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).

评注：解法四为纯几何证法，通过抛物线焦点弦的两个性质，结合平面几何的知识，可以证得结论.与解析法相比，几何证明方法的特点体现在“巧”和“快”，避开了圆锥曲线问题的一些繁杂运算，过程简洁干脆.

四、规律探索

本题看起来平常，但实际上背景丰富，设问新颖，有一定的区分度，是一个值得深入研究的好题.接下来通过开口向右的抛物线来阐述本题所隐藏的解析几何的规律，并从通性通法的角度去证明这个结论.其他形式的抛物线可以通过类比得到相应的结论.

证明：设过点Q(m,0)的直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0).

评注：2019年北京卷理科第18题就是性质二当抛物线开口向下，取n=-1,m=1,p=2时的一种特殊情况.

五、规律推广

上述两个结论可以推广到椭圆和双曲线.

证明：设过点Q(m,0)的直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0).

证明：设过点Q(m,0)的直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0).

六、总结反思