“端点效应”破解不等式恒成立问题——由2019年全国卷Ⅰ文科第20题引发的思考

湖北 杨瑞强

在求解不等式恒成立的参数取值范围问题时，先考虑区间端点的性质，若区间端点处的函数值为零，则可先找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件，从而得到参数的取值范围.

一、试题呈现

(2019·全国卷Ⅰ文·20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)为f(x)的导数.

(Ⅰ)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；

(Ⅱ)若x∈[0，π]，f(x)≥ax，求a的取值范围.

二、试题解析与评析

1.试题解析：

(Ⅰ)证明略

(Ⅱ)设函数g(x)=2sinx-xcosx-(a+1)x，则g′(x)=cosx+xsinx-(a+1).

因为g(0)=0，所以一定存在x0∈(0，π]，使得当x∈[0，x0]时，g′(x)≥0.(若不然，即对任意x0∈(0，π]，当x∈[0，x0]时，有g′(x)<0，则当x∈(0，x0]时，g(x)<0，不合题意)，从而有g′(0)=-a≥0，解得a≤0.

故a≤0是原不等式成立的一个必要条件.

下面证明其充分性：当a≤0时，g(x)≥0在[0，π]上恒成立.

当a≤-2时，g′(x)≥0在[0，π]上恒成立，从而函数g(x)在[0，π]上单调递增，于是g(x)min≥g(0)=0，此时g(x)≥0在[0，π]上恒成立，符合题意.

综上所述，a的取值范围是(-∞，0].

2.解法评析

上述解法是一种不同于官方给出的方法，此解法由两个方面构成，一方面，通过由给定区间左端点的导函数值建立不等式g′(0)≥0，求得a的范围，此范围是原不等式恒成立的必要条件；另一方面，证明在此范围内原不等式恒成立，即是原不等式恒成立的充分条件.由这两个方面知，所求范围为原不等式恒成立的充要条件，故而正确.

不等式恒成立求参数取值范围是高中数学常见问题，也是高考的热点.解决此类问题的通法是构造函数、对参数分类讨论，也可以优先采用分离参数法，然而并非对所有的问题都能奏效，例如此题就不是很适用.

三、解法引申与探究

1.端点效应

在适当考虑区间端点的性质时，先找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件，即可得出结论.这种必要性探路，再证充分性的方法，我们称之为“端点效应”.它实质上是从求“不等式恒成立”的必要条件入手，求得参数的范围，再证明其为充分条件.

2.解法原理

设函数f(x)中含参数m，x属于给定数集A，f(x)>0恒成立的m的取值范围为集合B.若∃x0∈A，由f(x0)>0解得m∈C(此时B⊆C)；且当m∈C时，f(x)>0恒成立，则B=C.

以在f(a，m)=0情况下，f(x，m)≥0在[a，b]上恒成立为例，在寻求必要条件时，执行如下解题步骤：第一步，因为f(a，m)=0，当x≥a时，要使得函数f(x，m)在[a，b]上单调递增，即f′(x，m)≥0在[a，b]上恒成立即可；第二步，若函数f(x，m)单调递增，则令f′(x，m)≥0求出m的取值范围，这个取值范围就是不等式成立的必要条件.否则，将函数f′(x，m)当作函数f(x，m)返回第一步，直到求出m的取值范围；第三步，证明上述所得的必要条件也是不等式恒成立的充分条件即可.

在审题中注意研究给定区间左右端点的函数值或导函数值，依据恒成立的不等式(或其变形)，建立一个必然成立的不等式，解此不等式得到参数的一个范围(必要条件)；然后再证明该范围(或该范围内的一部分)是“不等式恒成立”的充分条件.以上两个方面，即确定了参数的取值范围.

3.适用类型

①不便于参变分离；

②参变分离后的函数形式比较复杂.

4.解题步骤

①移项，将所有变量移到一边，使不等式右侧为0；

②计算端点处函数值，验证端点处函数值是否为0，若为0，则可继续往下走，否则此题不适合使用端点分析法.

具体操作如下：

(1)必要性条件缩小范围

在全省国土空间基础数据共享应用现场会上的讲话（张国斌） ........................................................................4-8

①若f(x，m)≥0(m为参数)在[a，b](a，b为常数)上恒成立，且f(a)=0(或f(b)=0)，则f′(a)≥0(或f′(b)≤0).此法应用于区间端点的函数值为零的情况.

(2)证明充分性得结果

求f′(x)并判断f(x)的单调性，然后表示f(x)的最小值f(x)min，使f(x)min≥0即可.注意第二步一定要利用第一步中参数的范围.

四、应用举例

1.区间端点的函数值为零型

【例1】(2017·全国卷Ⅱ文·21节选)设函数f(x)=(1-x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

解析：设函数g(x)=(1-x2)ex-ax-1，则g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a.

因为g(0)=0，所以g′(0)=1-a≤0，即a≥1.

故a≥1是原不等式成立的一个必要条件.

下面证明其充分性：当a≥1时，由g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，可得g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以函数g′(x)在[0，+∞)上单调递减，此时，g′(x)≤g′(0)≤0，于是函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，因此g(x)≤g(0)=0，符合题意.

综上所述，a的取值范围是[1，+∞).

【评注】本题由给定区间左端点的函数值为0，得到一个关于其导函数的不等式g′(0)≤0，求得a的范围，成为原不等式恒成立的必要条件，然后再证明此范围是原不等式恒成立的充分条件.

【例2】(2016·全国卷Ⅱ文·20节选)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.

解析：由f(1)=0知，要使得当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，则必有f′(1)≥0.

故a≤2是原不等式成立的一个必要条件.

综上所述，a的取值范围是(-∞，2].

【评注】本题由给定区间左端点的函数值为0，得到一个关于其导函数的不等式f′(1)≥0，求得a的范围，成为原不等式恒成立的必要条件，然后再证明此范围是原不等式恒成立的充分条件.

2.区间端点的函数值与导数值均为零型

【例4】(2018年湖北省部分重点中学高三期中联考第21题改编)已知函数f(x)=2x-ln(2x+1)，g(x)=ex-x-1，当x>0时，kf(x)≤g(x)恒成立，求实数k的范围.

五、问题总结

由上可见，对含参不等式恒成立问题，端点效应法是一个不错的方法，现总结如下.

对于不等式f(x，m)≥0(m为参数)在[a，b](a，b为常数)上恒成立，求m的取值范围的问题，可按如下处理(其中m为参数，a，b为常数)：

(1)若f(a，m)=0，则由f′(a，m)≥0(一阶含参导数)得到必要条件，再证明必要条件是充分条件；

(2)若f(b，m)=0，则由f′(b，m)≤0(一阶含参导数)得到必要条件，再证明必要条件是充分条件；

(3)若端点处的一阶导数值也为0，则可求二阶导数，代入端点值，继续按(1)或(2)执行，得到必要条件，再证明必要条件是充分条件.