电压暂降的Kaiser窗函数改进S变换检测方法研究

徐 勇，向运琨，曾 麟，何 哲，李建闽

(1.国网湖南综合能源服务有限公司，湖南 长沙 410007；2.湖南师范大学工程与设计学院，湖南 长沙 410081)

0 引言

随着新能源大规模并网，非线性负荷、冲击性和电力电子设备剧增，电力系统负荷日趋复杂化和多样化，导致电网的非对称性和波动性日益严重，并引发了一系列电能质量问题[1-2]。电压暂降是其中极为重要的影响因素之一[3]。随着各种计算机、微控制器和新一代电力电子负荷设备的广泛使用，电压暂降已经成为危害这些设备正常工作的主要影响因素。电压暂降的准确检测是电能质量评估、电能污染治理的关键[4-5]。

传统的电压暂降检测方法主要包括基波分量法、有效值法和峰值电压法等。然而，传统检测算法在时间定位方面存在较大误差，且无法得到相位跳变量[6]。单相dq变换法通过构造虚拟三相电压，实现了暂降特征量的检测，但需要延时60°，增加了响应时间[7-8]。短时傅里叶变换由于其使用窗函数宽度固定，无法兼顾高频信息和低频信息[9]。小波变换具有良好的时频细化分析能力，克服了短时傅里叶变换的缺点。但小波基选取复杂，且易受噪声影响，计算量大，不容易实现对电压骤降特征量的在线、实时提取[10]。S变换是由短时傅里叶变换和连续小波变换发展而来的一种信号时频分析方法[11-14]。虽然S变换及现有改进算法可实现动态信号的时频特性分析，但是其时频能量聚集不高，无法用于电网信号时频特征参数的精确分析。

为此，本文采用基于Kaiser窗的改进S变换，提高S变换的能量聚集性和时频分辨率自适应调节能力。在此基础上，构建基于Kaiser窗函数改进S变换的电压暂降检测方法，通过对电压暂降信号基于Kaiser窗函数改进S变换的时频结果进行分析，提取电压暂降幅值、起止时刻及持续时间和相位跳变量等特征信息，实现电压暂降的准确检测。

1 基于Kaiser窗函数改进S变换的基本原理

1.1 S变换原理及其局限性

S变换的定义为[15]：

(1)

式中：w(t)为窗函数；τ为时移因子。

其窗函数定义为归一化的Gaussian窗，即：

(2)

式中：σ为尺度因子。

σ可调节Gaussian窗的高度及宽度，且与频率f成反比，即：

(3)

由式(3)可见，Gaussian窗在低频段的频率分辨率较高，在高频段的时间分辨率较好。但在S变换中，Gaussian窗尺度调节因子尚无统一标准，对复杂畸变扰动信号进行分析时的能量聚集度不高，在高频区域存在频谱间相互干扰等缺陷。这从一定程度上限制了其时频分辨能力。

1.2 基于Kaiser窗函数改进S变换原理

Kaiser窗为一组由第一类修正零阶贝塞尔函数构成的可调窗函数，其主瓣、旁瓣的能量比可近乎达到最大，且可自由调节主瓣宽度和旁瓣高度的比值。Kaiser窗函数的表达式为[16]：

(4)

式中:β为窗函数形状调节参数；I0(x)为第一类修正零阶贝塞尔函数。

归一化Kaiser窗函数的时频域图形如图1所示。其中:p.u.为标幺值。当β=0时，Kaiser窗退化为矩形窗；当β值逐渐增大时，Kaiser窗的时域宽度逐渐减小，频域宽度逐渐变宽；与此同时，其旁瓣峰值电平逐渐减少且衰减速率逐渐增加。

图1 归一化Kaiser窗时频域图形Fig.1 Time-frequency-domain of normalized Kaiser window

为使调节参数β与频率f有关，引入常数α，且定义:

β(f)=α×f

(5)

可利用调节因子α，实现Kaiser窗的高度和宽度在时频域的变化调节。用Kaiser窗替代式的Gaussian窗，可推导得到基于Kaiser窗函数改进S变换的数学表达式：

(6)

式中：τ为时移因子；α为调节因子；f为频率。

离散序列的基于Kaiser窗函数改进S变换为：

(7)

式中：m、k、r=0,1,…,N-1；X(k)为采样序列x(n)进行离散傅里叶变换所得序列；WK(k)为Kaiser窗的离散傅里叶变换。

对离散采样信号x(n)进行基于Kaiser窗函数改进S变换，可得一个复数二维时频矩阵，记为：

SK(m,k)=A(m,k)ejφ(m,k)

(8)

式中：A(m,k)为基于Kaiser窗函数改进S变换结果的幅值矩阵，亦称为模矩阵；φ(m,k)为基于Kaiser窗函数改进S变换结果的相位矩阵。

2 电压暂降检测方法

2.1 暂降起止时刻以及持续时间的检测

通过基于Kaiser窗函数改进S变换所得的基波幅值特性曲线，由于Kaiser窗优异的能量聚集性能而具有较好的抗噪能力。但基波幅值曲线仍存在变化缓慢的缺点，使得电压暂降的起止时刻定位不太准确。针对这一不足，本文采用基于基波幅值曲线的基波幅值差分曲线进行电压暂降起止时刻的检测，实现突变信号的捕获，检测误差小。

由基于Kaiser窗函数改进S变换的原理可知，在幅值矩阵A(m,k)中，提取所有频率点为基波频率点k0，即可得到基波幅值曲线A(m,k0)。因此，基波幅值差分曲线可由下式求得：

D(m,k0)=A(m,k0)-A(m+1,k0)

(9)

式中:m=1,2,…,N-1；k0为基波频率的离散取值。

基波幅值差分曲线D(m,k0)中的最小值点和最大值点分别对应电压暂降发生点和暂降结束点，从而计算出电压暂降起始、终止时刻，并可得到电压暂降的持续时间。

2.2 暂降幅值的检测

实际电网环境往往伴有谐波存在。因此，本文选取该极值点作为中间时间点的一个基波周期的电压采样值，并对这一个周期的采样数据点作傅里叶变换，得到电压暂降后的幅值：

(10)

式中:M为单个基波周期的采样点数；Kmin为基波幅值曲线的最小值点；u(kΔT)为电压暂降信号采样数据点；U(nΔF)为采样数据点的傅里叶变换。

通过这种方式，可以有效克服电网谐波对幅值测量的影响，准确得到电压暂降前后的幅值，进而得到电压暂降幅值深度λ。

2.3 暂降相位跳变量的检测

由基于Kaiser窗函数改进S变换的原理可知，在相位矩阵φ(m,k)中，提取所有频率点为基波频率点k0，即可得到基波相位矩阵φ(m,k0)。通过基波相位矩阵，可以得到电压暂降信号的相位跳变量：

φ=max]φ(m,k0)]-min]φ(m,k0)]

(11)

2.4 电压暂降特征量检测流程

本文所提出的基于Kaiser窗函数改进S变换的电压暂降检测算法的主要包含以下步骤。

①对被测电压信号进行基于Kaiser窗函数改进S变换，得到基于Kaiser窗函数改进S变换二维时频矩阵SK(m,k)，从而得到基于Kaiser窗函数改进S变换矩阵的幅值矩阵A(m,k)和相位矩阵φ(m,k)。

②查找基波幅值曲线A(m,k0)极小值点，选取该极值点作为中间时间点的一个基波周期的电压采样值，并对这一个周期的采样数据点作傅里叶变换，得到电压暂降后的幅值，进而计算得到电压幅值暂降深度λ。

③由基波幅值曲线得到基波幅值差分曲线D(m,k0)，得到电压暂降起止时刻及持续时间。

④在相位矩阵φ(m,k)中，提取所有频率点为基波频率点k0，从而得到基波相位矩阵φ(m,k0)，进而计算得到电压暂降相位跳变量φ。

图2为基于Kaiser窗函数改进S变换的电压暂降检测方法流程图。

图2 基于Kaiser窗函数改进S变换的 电压暂降检测方法流程图Fig.2 Flowchart of voltage sag detection method based on modified S transform with Kaiser window function

3 仿真试验与实际测试

实际电网中，通常发生的电压暂降为单相事件[17]。因此，本文在MATLAB环境下主要针对单相电压暂降信号进行仿真试验。采用本文方法，分别在含有幅值下降和相位跳变、含有谐波以及不同信噪比三种情况下进行电压暂降检测。仿真时，采样长度设为10个周波，采样频率为6.4 kHz，即每个周波采样128点。此外，在原始仿真信号中叠加信噪比(signal-to-noise radio,SNR)为30 dB的高斯白噪声。本文通过大量仿真试验发现，当Kaiser窗函数调节参数选取β=π，可保证基于Kaiser窗函数改进S变换在拥有较好时频分辨率的同时具有较高的能量聚集度。

3.1 正常电压信号检测

正常电压信号为恒定幅值和频率的工频正弦波。理想正弦电压基于Kaiser窗函数改进S变换检测结果如图3所示。由图3可见，采用本文方法对正常电压信号进行检测，所得正常电压幅值曲线幅值波动不大，幅值差分曲线也较为平坦，相位曲线跳变量近似为0。因此，检测结果表明，该电压信号并未发生电压暂降。

图3 理想正弦电压基于Kaiser窗函数改进S变换检测结果Fig.3 Detection result of the modified S transform with Kaiser window on ideal voltage

3.2 幅值下降和相位跳变影响下的电压暂降检测

设电力系统供电电压U0为1 p.u.，基波频率f0为50 Hz，则存在电压幅值下降和相位跳变情况时，电压暂降仿真信号的数学表达式为：

(12)

若电压暂降的起止时刻并未发生在过零点处，由于信号幅值没有发生突变，此时检测难度最大[3]。因此，该电压暂降信号仿真的起止区间设定在0.04～0.12 s之间，暂降深度设置为0.6。

具有幅值下降和相位跳变的电压暂降信号基于Kaiser窗函数改进S变换检测结果如图4所示。

图4 同时具有幅值下降和相位跳变的电压暂降 基于Kaiser窗函数改进S变换检测结果

3.3 谐波影响下的电压暂降检测

随着各类非线性、冲击性负荷以及新型电力电子设备的广泛使用，新能源的大规模并网，实际电网电压信号往往含有大量谐波。因此，研究谐波存在条件下，本文所提算法的检测性能具有重要的实际价值。

当存在谐波干扰时，电压暂降仿真信号的数学表达式为:

(13)

式中:U0为供电电压；f0为基波频率；H为最高谐波的阶次；hi(i=2,3,…,H)为各次谐波幅值，且0.05≤hi≤0.3 p.u；λ为暂降深度；φ为相位跳变量。

含谐波分量的电压暂降基于Kaiser窗函数改进S变换检测结果如图5所示。

图5 含谐波分量的电压暂降基于Kaiser 窗函数改进S变换检测结果Fig.5 Detection result of the modified S transform with Kaiser window on voltage sag with harmonics

3.4 白噪声影响下的电压暂降检测

为了检验算法的抗噪性能，在MATLAB环境下对电压暂降仿真信号添加一定信噪比的高斯白噪声。所添加的白噪声信噪比在20～50 dB的范围内变动，步长为10 dB。此外，设置电压暂降信号的暂降起止时刻(持续时间)、暂降深度以及相位跳变量等参数均随机产生，信号采样长度为0.2 s，采样率为6.4 kHz，测试样本个数为1 000个。采用本文算法所得电压暂降的各个特征向量，在不同信噪比影响下的相对误差检测结果如表1所示。

表1 不同信噪比影响下的相对误差检测结果Tab.1 Detection relative errors with different SNRs

由表1可知，随着测试样本的噪声强度逐渐增大，电压暂降的检测所得相对误差虽略有增加但并不明显，其特征向量检测所得最大相对误差仅为0.972%。由此可见，本文所提方法在保证较高的检测准确率的同时具有较好的鲁棒性。

3.5 与其他检测方法检测结果对比

不同方法检测结果对比如表2所示。

表2 不同方法检测结果对比Tab.2 Comparison of detection results by different methods

为验证本文方法的有效性，将本文所得检测结果分别与改进αβ-dq变换检测方法[18](表2中方法1)、改进S变换检测方法[5](表2中方法2)的检测结果进行对比。仿真信号的参数设置与方法2中的参数设置一致：设置供电电压U0为1 p.u.，基波频率f0为50 Hz，电压暂降信号仿真的起止区间在0.06～0.12 s之间，暂降深度λ为0.4，相位跳变量为-30°。此外，设采样频率为6.4 kHz，采样长度为10个周波。

由表2可知，采用本文方法测得的电压暂降起始时刻为0.059 4 s、结束时刻为0.120 2 s、暂降深度为40.02%、相位跳变量为29.997°，在三种检测方法中准确度最高。

3.6 实际测试与应用

在使用本文方法进行大量仿真试验与分析的基础上，设计了基于高性能数字信号处理器(digital signal processor,DSP)的电压暂降检测硬件测试平台。

电压暂降检测系统结构如图6所示。

图6 电压暂降检测系统结构图Fig.6 Structure sketch of voltage sag measurement

U0经信号调理电路变为交流小信号后送入模数转换器(analog to dogital converter,ADC)，得到离散采样数据；再通过ADC的串行外设接口(serial peripheral interface,SPI)口传输给DSP;凭借DSP的高速处理能力，完成电压暂降信号特征量的检测。图6中:ADC芯片采用TI公司生产的16位、六通道同步采样芯片ADS8556；DSP选用TI公司生产的32位浮点型TMS320C6745。

在实际测试中，采用Fluke 6105A作为信号标准源生成电压暂降信号U0，设置其暂降深度为0.8，基波频率在49.5 Hz、50 Hz和50.5 Hz之间变动，并加入3、5、7次谐波；暂降发生和结束的时刻为随机产生，其持续时间分别为1、3、5个基波周期。

从表3的数据可看出，基于Kaiser窗函数改进S变换的电压暂降检测方法的试验测试结果完全满足国家标准GB/T 30137-2013《电能质量 电压暂降与短时中断》的误差要求。

表3列出了电压暂降检测相对误差。

表3 电压暂降检测相对误差Tab.3 Detection relative errors of voltage sag

4 结论

本文提出一种基于Kaiser窗函数改进S变换的电压暂降检测方法。该方法具有较高的时频能量聚集度，能够准确、有效地检测电压暂降信号的暂降起止时刻及持续时间、暂降深度和相位跳变量等特征参数，并能有效抑制含有谐波干扰的影响。与现有检测方法相比，本文方法具有检测精度高，鲁棒性好等优点，MATLAB仿真试验验证了本文方法的准确性。实际构建的硬件测试平台验证了本文方法在嵌入式平台上实现的可行性和有效性。此外，本文建立的基于Kaiser窗函数改进S变换的信号时频分析方法可为其他电能质量扰动问题的分析提供借鉴。