导体棒切割磁感线运动的相关问题及求解方法

2020-11-13浙江成金德

教学考试(高考物理) 2020年1期

浙江成金德

电磁感应是高中物理中的重点知识之一，导体棒在匀强磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势的相关内容是电磁感应知识中的重要组成部分。导体棒问题又易与共点力平衡、牛顿第二定律、能量、动量和电路等知识联系，所以，导体棒问题在高考中占有十分重要的地位。本文就导体棒做切割磁感线运动问题的解题方法做粗浅的分析和探讨。

1.导体棒做切割磁感线运动与平衡问题的联系

导体棒在磁场中做切割磁感线运动处于平衡状态时，将表现出如下特点：其一，相关电路中的电流是恒定电流；其二，导体棒所受的合力为零。求解时要注意对导体棒进行受力分析，灵活运用平衡条件建立方程。

【例1】两金属杆ab和cd长均为l，电阻均为R，质量分别为M和m且M>m。用两根质量和电阻均可忽略且不可伸长的柔软导线将它们连成闭合电路，并悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧。两金属杆都处在水平位置，如图1所示，整个装置处在与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B。若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动的速度。

图1

【解析】当金属杆ab正好匀速向下运动时，金属杆ab和cd均处于平衡状态。设磁场方向垂直纸面向里。

ab杆中感应电动势E1=Blv，方向由a→b

cd杆中感应电动势E2=Blv，方向由d→c

则回路中感应电流方向为a→b→d→c，大小为

由平衡条件知，对ab杆有FT+F=Mg

对cd杆有FT=F+mg

式中FT为杆受到导线的拉力

【小结】找到平衡条件是解决这类题型的关键，本题中两金属杆平衡时所受合力均为零，由此建立相关方程，再结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律，所求问题即可解决。

2.导体棒做切割磁感线运动与牛顿第二定律的联系

解决导体棒在磁场中做匀加速切割磁感线运动的问题，要注意把握以下两点：其一，对导体棒进行受力分析，在此基础上确定导体棒是否做匀加速运动；其二，熟练应用牛顿第二定律建立方程。

【例2】如图2所示，一对平行光滑轨道固定在水平面上，两轨道间距l=0.20 m，电阻R=1.0 Ω。有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向下。现用一水平力F沿轨道方向水平向右拉杆，使之做匀加速直线运动，测得力F与时间t的关系如图3所示。求杆的质量m和加速度a。

图2

图3

【解析】导体杆在外力F作用下做匀加速直线运动，设t时刻导体杆的速度为v

由运动学公式得v=at

导体杆做切割磁感线运动产生的感应电动势为E=Blv

导体杆受到的安培力F安=BIl

导体杆受到重力、支持力、拉力和安培力，则根据牛顿第二定律得F-F安=ma

由图线上取两点的坐标(0，1)和(30，4)代入上式，解得a=10 m/s2，m=0.1 kg。

【小结】应用牛顿第二定律解题时，必须做好导体棒的受力分析，这是求解这类问题的基础。

3.导体棒做切割磁感线运动与能量守恒定律的联系

导体棒做切割磁感线运动产生感应电流的过程中，要维持感应电流的存在，必须要有外力克服安培力的作用，在此过程中把其他形式的能量转化为电能，再通过用电器把电能又转化为其他形式的能量。求解这类问题关键在于弄清产生感应电流的过程中能量是如何转化的，然后根据能量守恒定律建立方程。

【例3】如图4所示，在与水平面成θ角的固定矩形框架范围内，存在垂直于框架的匀强磁场，磁感应强度为B，框架ad、bc电阻不计，长均为l的ab、cd电阻均为R，有一质量为m、电阻为2R的金属棒MN，平行于ab无摩擦地冲上框架，上升最大高度为h，在此过程中ab部分的焦耳热为Q，求运动过程中的最大热功率。

图4

【解析】金属棒MN向上做切割磁感线运动产生感应电动势E，当金属棒的速度为v时有E=BLv

由于ab和cd的电阻相等，它们中的电流也相等，因此，流过金属棒MN中的电流为ab中电流的两倍。当ab部分的焦耳热为Q时，金属棒MN消耗的焦耳热为8Q。设MN的初速度为v0，由能量守恒定律得

金属棒MN上滑过程中整个电路产生的热功率为

当速度v=v0时，热功率最大

【小结】本题的核心是弄清能量的转化情况，即金属棒沿斜面向上做切割磁感线运动的过程中，由动能转化为重力势能和电能，电能通过电阻转化为内能，再结合相关知识，即可求解。

4.导体棒做切割磁感线运动与动量定理的联系

如果导体棒在磁场中做切割磁感线运动，当电路中涉及电容器求电量问题时，一般情况下需要应用动量定理；或者导体棒在磁场中做非匀变速运动，又需要求解导体棒的速度和时间，则需要应用动量定理。

【例4】(2017年天津卷第12题)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意图如图5，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。求：

图5

(1)磁场的方向；

(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；

(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。

【解析】(1)炮弹可以等效于一段导体棒。电容器充电后上极板带正电，下极板带负电。当开关接至2时，电容器放电形成自M端向N端的电流，要使MN向右加速运动，由左手定则可知所加磁场方向为垂直于导轨平面向下。

设MN受到的安培力为F，有F=BIl

根据牛顿第二定律有F=ma

(3)当电容器充电完毕时，设电容器上电量为Q0

则Q0=CE

当开关S接2后，MN向右做加速运动，当其速度达到最大值vmax时，设MN切割磁感线所产生的感应电动势为E′，则E′=Blvmax

5.导体棒做切割磁感线运动与动量守恒定律的联系

在磁场中涉及导体棒间的相互作用问题，当几根导体棒所受合外力等于零时，则满足动量守恒定律。对于这样的问题要注意受力分析和动量守恒的条件。

【例5】如图6所示，间距为l的两根光滑金属导轨固定在水平面上(不计电阻)，导轨由一段圆弧与一段无限长的水平部分组成，其中水平段存在方向沿竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。在导轨水平部分静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m、电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入导轨的水平部分，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°。求：

图6

(1)金属棒ab在N处刚进入磁场区时金属棒中的电流是多少？

(2)金属棒cd能达到的最大速度是多大？

【解析】(1)金属棒ab由M下滑到N的过程中，由于只有重力做功，机械能守恒，即

当金属棒ab进入磁场区瞬间，由闭合电路欧姆定律可求出回路中的电流为

(2)金属棒ab进入磁场后，在安培力的作用下做减速运动。金属棒cd在安培力作用下做加速运动，当两棒的速度达到相同速度v′时，电路中电流为零，安培力为零，两棒将做匀速运动，此时，金属cd棒达到最大速度。

取两棒为研究对象，由于所受到的合外力等于零，则它们的总动量守恒，即

mv=(2m+m)v′

【小结】本题中，当金属棒ab进入磁场后，由于金属棒ab做切割磁感线运动，在电路中产生了电流，使得金属棒ab做减速运动，金属棒cd做加速运动，但两棒整体所受到的合外力等于零，满足动量守恒定律的条件，因此，可以迅速求出金属棒cd能达到的最大速度。

6.导体棒做切割磁感线运动与振动的联系

导体棒在磁场中做振动时，产生的是交变电动势，形成的电流是交变电流。因此，求解这类问题必须注意应用交变电流的相关知识，尤其要注意理解有效值的概念和掌握焦耳热的计算方法。

【例6】如图7所示，间距为l的光滑平行金属导轨水平地固定在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，右端接阻值为R的电阻。一电阻为r、质量为m的导体棒垂直放置在平行导轨上，在外力F作用下从t=0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为v=vmsinωt。不计导轨的电阻。求：

图7

【解析】(1)当导体棒在磁场中以v=vmsinωt做简谐运动时，产生的感应电动势为e=Blv=Blvmsinωt

电路中形成的感应电流是交变电流，其瞬时值为

【小结】由于本题中的导体棒做简谐运动，所以它在磁场中做切割磁感线运动时产生的感应电流是交变电流，因此，求解此类问题时务必应用相关的交变电流知识。

7.导体棒做切割磁感线运动与电路的联系

求解导体棒做切割磁感线运动与电路相结合的问题，关键要画出电路图，注意弄清电路的内外结构。通常情况下，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，这部分电路即为内电路。若在一个电路中做切割感应线运动的是几部分导体，可把它们等效成电源的串并联，其余的用电器即为外电路。

【例7】在一磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为h=0.1 m的平行金属导轨MN与PQ，导轨的电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R=0.3 Ω的电阻。导轨上跨放着一根长为L=0.2 m，每米长电阻r=2.0 Ω/m的金属棒ab。金属棒与导轨正交放置，交点为c、d。当金属棒以速度v=4.0 m/s向左做匀速运动时(如图8)，试求：

图8

(1)电阻R中的电流强度大小和方向；

(2)使金属棒做匀速运动的外力；

(3)金属棒ab两端点间的电势差。

【解析】(1)当金属棒向左运动时，构成了如图9所示的电路，其中金属棒cd部分即为该电路中的电源，内阻为rcd=hr

图9

电动势Ec d=Bhv

由欧姆定律得R中电流强度为

电流的方向从N流向Q

(2)使金属棒匀速运动的外力与安培力是一对平衡力，方向向左，其大小为F=F安=BIh=0.02 N

(3)金属棒ab两端的电压等于Ua c+Uc d+Ud b

其中Uc d=IR=Ec d-Irc d

所以Ua b=Ea b-Irc d=BLv-Irc d=0.32 V

【小结】本题的核心是将做切割磁感线运动的金属棒ab等效为三个电源，其中只有Ec d对电路形成电流有贡献。在求金属棒ab两端点间的电势差时，三个等效电源均有贡献，对此，务必引起注意，否则出现错误就在所难免。

8.导体棒做切割磁感线运动与变化磁场的联系

【例8】如图10所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10 Ω，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨之间的距离L=0.2 m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k=0.020 T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0 s时金属杆所受安培力的大小。