基于双过滤白噪声激励的层间隔震结构随机响应的解析解法

2020-11-12赵立菊葛新广王善库

结构工程师 2020年4期

赵立菊葛新广王善库

（1.信阳职业技术学院建筑工程学院，信阳46400；2.广西科技大学土木建筑学院，柳州545006）

0 引言

人类的地震历史由来已久，地震造成的损失巨大，为此，人们不断提出各种减震技术［1-6］。隔震结构最早由日本学者提出［5］，也是目前已成功应用于工程的减震措施之一。隔震结构的基本原理是在建筑中设置柔性隔震层，地震发生时产生的地震能量会大部分被隔震层吸收，仅有少量能量传递到上部结构，从而达到减小上部结构动力响应的效果和提高其安全性的目的［4］。因此，隔震结构分为基础隔震和层间隔震形式，基础隔震发展悠久。而层间隔震是一种新型隔震形式，其原理是在结构层的柱顶或者墙顶设置隔震层，以达到抑制结构地震动响应的作用［7］。层间隔震工程应用较少，但已有的研究表明，减震效果显著，是工程减震技术的研究热点［7-9］。祁皑等［7］通过振动台试验研究了隔震层刚度的参数优化对减震效率的影响，试验表明，层间隔震技术可有效地降低结构的地震反应，但减震效果则会随着隔震层位置的升高而逐渐降低。周福霖等［8，10］通过对隔震层位置进行优化分析，得出了隔震层的减震机理：随着隔震层的下移，将由TMD 减震机理转变为基础隔震机理，并指出隔震层的阻尼对抑制隔震层下部子结构的反应有效。韩淼等［9，11］对近断层地震动对层间隔震结构的动力响应进行研究，研究表明，近断层的地震动不同于常规地震，工程设计时需要考虑近断层地震动参数对结构动力的不利影响。

大量的地震观测表明，地震的发生在时间、地点和强度上均具有明显的不确定性，为此，工程上把地震看作建筑设计分析的随机激励［12-15］。科研人员为了准确表述随机地震动的特征，提出了各种力学模型［12-15］，其中Clough-Penzien 随机地震动模型［16］是在Kanai-Tajimi 模型［17-18］的基础上进行了改进，用2 个滤波方程将复杂的随机地震动用白噪声激励表示，因此又称之为双过滤白噪声。该模型是工程界比较公认的平稳随机地震动模型，基于该模型的各类结构的地震动研究文献众多，但所获得结构动力响应均存在表达式复杂的问题。

研究结构随机地震动响应的方法有频域法和时域法［12，14］。频域法中，结构的动力响应的功率谱可由地震动的功率谱与结构的频响函数模值的乘积表示，即结构响应的功率谱与地震动激励的功率谱存在简明的代数关系，因此受到研究人员的青睐，其中虚拟激励法就是其典型代表，有着广泛的工程应用［19-21，22］。虚拟激励法目前仅能获得结构动力响应的功率谱的解析解，而响应的方差和谱矩分析则只有数值解。时域法是从求解结构动力微分方程的角度出发，分析结构的动力响应的方法，主要有实模态和复模态两种，其中复模态方法适用于各种线性结构的动力响应分析。时域法应用的前提是随机激励模型必须具有协方差函数［16-17］，而双过滤白噪声随机激励模型无协方差，因此时域法在结构基于双过滤白噪声随机激励的动力应用研究较少，且已有研究结果均比较复杂［19-21］。

本文利用双过滤白噪声随机激励的滤波方程与层间隔震体系的地震动方程联合求解，将复杂的地震动随机激励模型转化为白噪声激励模型，利用复模态法获得层间隔震体系的设计参数（结构层相对于地面的位移、结构层层间位移、结构层剪力及其变化率）的统一杜哈梅积分表达式，利用随机振动激励获得了设计参数的协方差和功率谱的简明表达式。最后利用谱矩的定义，获得层间隔震结构设计参数的0-2解谱矩的解析解。

1 层间隔震结构的地震动方程

设置层间隔震层的n层剪切型结构，如图1所示，结构层质量、刚度、阻尼分别为mi、ci、ki，隔震层的质量、刚度、阻尼分别为mb、cb、kb。

图1 计算简图Fig.1 Calculating diagram of structure

在地震作用下，层间隔震结构的地震动方程：

双过滤白噪声激励模型，又叫Clough-Penzien谱随机地震动模型，可用2 个基于白噪声激励的滤波方程表示［16］，其功率谱密度函数［13-14，16］：

式中：ωf，ξf分别为第一滤波的卓越频率和阻尼比；ug，ωf，ξf分别为第二滤波振动位移、卓越频率和阻尼比；S0为地震动强度常数。

由于式（2）表达式复杂，求解结构响应的谱矩和方差时只能数值积分，故存在计算效率和精度的问题。为此本文提出利用其滤波方程与结构地震动方程联合求解的方法。双过滤白噪声激励模型的滤波方程为［16］

式中，δ(τ)为Dirac 函数。

联立式（1）、式（3）、式（4），将层间隔震体系基于双过滤白噪声随机激励的地震动转化为基于白噪声激励的地震动：

结构层相对于地面位移、结构层间位移及结构层间剪力是工程结构设计的关键参数，相对于地面位移变化率、结构层间位移变化率及结构层间剪力变化率是结构动力可靠度分析的基础。为此，本文就上述参数进行研究。

2 层间结构设计参数及其变化率的统一解

引入状态变量：

由复模态法［12，21］可知，方程（9）存在特征值矩阵P 和左、右特性向量U、V，使式（9）复模态解耦。为此，特征向量与特征值矩阵满足关系式：

式中，P 的对角阵，且元素的实部为正数，可由利用式（9）的特征值方程的行列式求解：

式中，｜·｜表示行列式。

左、右特性向量U、V，由式（9）的特征值方程获得：

式中，zi，ηi，pi分别为z，η，P的分量。

由式（7）、式（8）及式（18），层间隔震结构的位移xj和速度ẋj表示为

式中，ui为右特征向量矩阵的第i 行向量；结构响应的强度系数λj，i：

结构的层间位移Δxj及层间位移变化率Δẋj，可表示为

结构的层间剪力可表示为层间位移与结构抗侧刚度的乘积，因此，层间剪力及其变化率表示为

至此，结构各层位移、层间变形、层间剪力及其变化率的杜哈梅积分表达式可统一表示为

式中，Xl(t)表示设计变量l；κl，i表示设计变量对应的模态强度系数，不同的设计变量分别见式（20）、式（22）及式（24）；Xl，i(t)为分量形式：

3 设计参数及其变化率的方差及功率谱的解析表达式

由随机振动理论及式（25），结构响应Xl的协方差为

由式（27）及式（31），层间隔震结构基于双过滤白噪声激励的动力响应为

式中，

由式（32）可知，结构基于双过滤白噪声激励的设计参数的协方差可用结构振动复特征值指数的线性组合表示，物理意义明确，表达式简洁明了。当τ -0 时，结构设计参数的协方差即为其方差：

根据公式（19）-（24），（33）及（34）可获得层间隔震结构设计参数及其变化率的方差。

由随机振动理论［12］，结构设计参数的单边功率谱可由Wiener-Khinchin关系获得：

式中，SXl(ω)为结构响应Xl的单边功率谱。

把式（32）带入式（35）并积分：

从式（36）可知，结构设计参数的功率谱表示成振动复特征值与频域变量平方和的倒数的线性组合，将结构设计参数的功率谱进行解耦，为简化地震动响应分析及提高计算效率奠定了基础。

4 设计参数及其变化率的谱矩

由随机振动理论，结构响应的0 阶谱矩等于结构响应的方差，比较式（34）及式（38），可验证本文方法的正确性。同时，由随机振动理论可知，结构响应的2 阶谱矩等于结构响应变化率的0 阶谱矩。因此，层间隔震结构设计参数的2阶谱矩为

由文献［25］，2 阶谱矩存在，则1 阶谱矩必定存在，故存在如下关系：

根据式（19）-式（24）及式（38）、式（39）及式（44）可知，层间隔震结构层间设计参数的0-2 阶谱矩均有解析解，且表达式比较简洁。

5 算例

一5 层钢筋混凝土框架结构，结构层质量：1—2 层为450 t，3—5 层为400 t；结构层刚度：1—2层为355×103kN/m，3—5 层为305×103kN/m；结构阻尼比为0.05。地震烈度为8 度，一类场，地震设计分组为第1 组；双过滤白噪声激励的场地参数：ωg=15.71rad/s、ξg=0.72 rad/s、ωf=0.15ωg、ξf=ξg、功率谱强度系数S0=1.33366×10-3m-2/s3。隔震层的质量300 t，抗侧刚度为65×103kN/m，阻尼比0.15，研究隔震层设置位置对设计参数的影响。

5.1 本文方法功率谱计算验证

为验证本文方法的正确性，假定隔震层设置在2 层顶。取1 层位移和隔震层层间位移的功率谱与虚拟激励法（公式见附录Ⅰ）进行对比，见图2、图3。

从图2及图3可知，本文方法与虚拟激励法在计算层间隔震层的结构楼层位移及层间位移的功率谱完全一致，说明本文方法的正确性。比较式（36）及式（I-12）和式（I-17），可见本文方法的简明性。

图2 1层的S x(ω)对比图Fig.2 Comparative diagram of S x(ω) of 1st floor

5.2 本文方法谱矩计算精度和效率对比

为验证本文方法计算层间隔震结构的设计参数的0-2 谱矩的精度和高效性，假定隔震层设置在2 层顶。对2 层的结构层位移及4 层的层间位移的0-2阶谱矩与虚拟激励法进行对比分析，具体见表1、表2。其中，虚拟激励法的ω∈［0 1000］，Δω分别取 3 种情况：① Δω=0.5 rad/s；②Δω=0.1rad/s；③Δω=0.05 rad/s 分别对比精度和计算效率。

图3 隔震层的Sx(ω)对比图Fig.3 Comparative diagram of Sx(ω)of isolated floor

表1 2层的结构层位移的0-2阶谱矩计算精度及效率对比表Table 1 Comparison of calculation accuracy and efficiency of 0-2 order spectral moments of displacement of 2nd floor

从表1 可知，当Δω=0.5 rad/s 和积分区间为[0 1000]时，本文方法与虚拟激励法的数值方法的0-2 阶谱矩误差均很小，且随着Δω 的变小，虚拟激励数值方法与本文方法精度越来越接近，说明了本文解析解的正确性。由于结构为低频特征，利用虚拟激励法的频率取有限范围即可获得精度很高的解。由于本文方法为解析解，故计算效率是最高的。

5.3 隔震层设置位置效果对比

为研究隔震层设置位置与结构设计参数响应的关系，分别给出楼层位移、层间位移和层间剪力与隔震层设置位置的关系图，如图4-图6所示。

图4 结构层位移与设置位移关系图Fig.4 Diagramofrelationshipbetween displacements of structure layers and location of isolation layer

从图4 可知，与层间隔震相比较，隔震层设置在基础层时，结构各层相对于地面的位移方差较大；随着隔震层位置的上移，隔震层以下的位移方差降低较大，而隔震层以上的结构位移方差则降低较小。这主要是由于隔震层抗侧刚度远小于结构层的抗侧刚度，而隔震层以下结构层的位移是由结构的抗侧刚度决定，隔震层以上的结构位移主要是由隔震层位移而引起。

从图5 可知，各层层间位移方差随着隔震层的变化规律比较复杂。基础隔震时各层间位移相差不大，1层顶隔震时，除5层除外，其他楼层的层间位移均最小。因此，1 层顶隔震是本算例最优位置。此外，隔震层对其相邻上部楼层的层间位移起到较好的减震效果。