经历探究过程，把握面积本质

兰赠连

学过长方形的面积计算公式后，对于公式中的“长”“宽”分别表示什么的问题，有相当多的学生都只能写出其表面看得见的长度数量，而想不到背后所隐含的与面积有关的实质意义。究其原因主要是教师教学中重结果轻过程。因此，在“长方形、正方形面积的计算”教学中，教师要突破现有教材内容的局限，选择合适的学具，让学生亲自参与测量、画图、观察、思考、表达等学习活动，进而真正理解面积计算公式。

面积的本质是什么？为什么面积的单位名称要加“平方”两字？“长方形、正方形面积的计算”教学仅仅让学生记住其计算公式就可以吗？要回答诸如此类问题，我们首先要了解“长方形、正方形面积的计算”的教学现状。

一、忽视面积本质教学现状一瞥

最近，笔者借助“停课不停学”期间建立班级学习群，对某校四年级某班学生进行关于长方形面积本质学习成效的网上调研。笔者要求学生计算长10厘米、宽6厘米的长方形的面积，并写出算式中每个数表示的意义。该班参与答题的有42名学生，其中1名学生计算的是周长而不是面积，因而其对各数意义的表述也是错的。41名学生计算长方形的面积及写出算式中“60”的意义都是正确的，但是对算式中“10”“6”的意义却只有4名学生写对，另外37名学生都是将它们分别写成表面上看得见的具体长度——“10厘米”“6厘米”（如图1），没有写出背后所隐含的与面积有关的实质意义。究其原因，一方面可能与学生对知识的遗忘有关;另一方面更有可能与三年级下学期教师在教学“长方形面积的计算”时重结果轻过程有关。

在一次“送培下乡”活动中，笔者执教了“长方形、正方形面积的计算”一课，突破现有教材内容的局限，选择合适的学具，让学生亲自参与测量、画图、观察、思考、表达等学习活动，经历探究过程，把握面积本质，进而真正理解面积计算公式。下面笔者就结合这次教学实践谈谈自己的做法和思考。

二、对教材内容的解析与思考

在教学人教版数学三年级下册“长方形、正方形面积的计算”的例4时，教师安排了3个层次的内容：1.用画格子或用1平方厘米的正方形测量长5厘米、宽3厘米的长方形的面积;2.用1平方厘米的正方形拼摆多个长方形，并用表格记录长方形的长、宽和面积，据此发现长方形的面积与长和宽的关系，进而概括出长方形的面积公式;3.量出两个长方形的长和宽，再计算面积。因第2个长方形的长与宽相等，根据正方形和长方形之间的关系，推导出正方形的面积公式。

首先，该例题只出现“平方厘米”这一种面积单位，没有呈现学生已学过的所有面积单位。其次，在教学中教师如果让学生完成例题中第1、2层次的测量、拼摆活动存在3个难点：一是学具备齐难。所有的文具店都没有1平方厘米大小的正方形，只好用硬纸板剪，结果既剪不标准，又因数量太多（一组至少要15个），工作量大，耗时长。二是学生操作难。用硬纸板剪的1平方厘米的正方形小且轻，学生操作起来很困难，既难以做到无缝密铺，又挤占有限的课堂教学时间。三是同桌或小组合作难。因要测量的长方形小，测量工具也小，既不便于同桌合作，更不便于四人小组合作。因此，笔者只好另想其他方法，第1层次的测量活动改成用6个1平方分米的正方形测量长是3分米、宽是2分米的长方形的面积。这样学具易准备，学生也易操作。在方格图上画长方形的活动代替第2层次的拼摆活动，并增加用面积测量器（透明塑料上印有1平方厘米的方格图）测量长方形面积的活动。

三、经历探究过程  把握面积本质

（一）巧用故事留伏笔

上课伊始，教师出示蚂蚁妈妈和小蚂蚁的对话情境（如图2）。

教师首先请学生读蚂蚁妈妈和小蚂蚁的对话，然后让学生找出其中的数学信息。

师：从蚂蚁妈妈和小蚂蚁的对话中，你发现了哪些数学信息？

生：客厅地面是长方形，要测量长方形的面积。

生：用1平方分米的正方形测量客厅地面的面积。

……

由此，学生从蚂蚁妈妈和小蚂蚁关于“测量客厅地面的面积”的对话中引出测量工具——1平方分米的正方形;测量的对象——客厅地面，即长方形的面积;知道测量面积要用面积单位。这个故事情境为本节课的学习设置了悬念，为后续帮助学生理解将测量面积转化成测量长度的可行性埋下伏笔，同时激发学生的探究欲望。

（二）直接测量求面积

教师先让学生合作用1平方分米的正方形测量客厅地面的面积是多少平方分米（每组同桌都有6个1平方分米的正方形和1个代表客厅地面面积是6平方分米的长方形），然后全班交流反馈。请4组不同铺法的同桌同学上台和全班同学分享是怎样铺和怎样数的。

第1组用的是将6个1平方分米的正方形铺满长方形且1个1个地数的方法，得出“一共铺了6个1平方分米的正方形，面积是6平方分米”的结论;第2、3、4组分别用5个、4个、3个1平方分米的正方形铺在长方形上，用1行铺几个、铺几行的方法数出，即“长铺了3个1平方分米，宽铺了2行，列式是3×2，面积是6平方分米”。根据学生的回答，教师相机板书“6平方分米=3个1平方分米×2行”。

教师把上面铺的4种图形展示在屏幕上（如图3），引导学生观察、体会“这4组同桌同学铺的方法——从铺满到没铺满，用的正方形的个数越来越少，都测量出了客厅地面的面积”，接着指出：“像这样用面积单位测量长方形面积的方法叫作直接测量法。”

通过用面积单位1平方分米的正方形直接测量客厅地面的面积，从铺满到没铺满，既使学生体会到测量工具的不断减少及方法变得越来越简单，又使学生初步感知了面积单位的总个数与每行面积单位的个数、行数之间的关系。

（三）探寻本质建模型

（1）说出下列各图形的面积。

教师让学生通过观察说出图4中两个图形的面积，进一步感知不管是铺满还是没铺满，都能看出1行有几个面积单位，共有几行，进而列出乘法算式，求出相应图形的面积。情况①是铺满的情形：1行有4个1平方厘米，有3行，面积是12平方厘米。教师相机板书“12平方厘米=4个1平方厘米×3行”。情况②是没铺满的情形：1行有5个1平方米，有4行，面积是20平方米。教师相机板书“20平方米=5个1平方米×4行”。

教师引导学生观察黑板上的3个等式“12平方厘米=4个1平方厘米×3行”“6平方分米=3个1平方分米×2行”“20平方米=5个1平方米×4行”，归纳得出：等号左边的数量表示的是面积单位的总个数，等号右边的第1个数量表示的是每行面积单位的个数，等号右边的第2个数量表示的是行数。所以根据这3个等式可以概括出“面积单位的总个数=每行面积单位的个数×行数”。

至此，我们从包含3个不同面积单位的3个具体的等式，利用不完全归纳法，构建出计算面积单位总个数的数学模型：“面积单位的总个数=每行面积单位的个数×行数”，揭示了面积的本质是包含面积单位的总个数，让学生经历从特殊到一般的思维过程。

（四）间接测量显方便

师：刚才同学们用面积单位直接测量长方形的面积。如果用直接测量法测量篮球场的面积，要用什么测量工具？

生：用1平方米的正方形来测量。

师：想一想，这样测量会遇到什么问题？

生：要准备许多1平方米的正方形，太麻烦。

生：1平方米的正方形很大，不方便携带。

生：测量的时候，两个正方形之间要拼接得没有缝隙，很难操作。

师：用面积单位直接测量长方形的面积这么麻烦，那有没有更好的办法呢？

教师在提出引发学生思维冲突问题的同时出示图5，先让学生量出长方形的长和宽，再要求学生用面积测量器来测量长方形的面积，最后引导学生思考长方形长、宽的长度分别与每行面积单位的个数、行数有什么关系：长方形的长是5厘米，每行就可以铺5个1平方厘米;宽是3厘米就能铺3行，面积是5×3=15（平方厘米）。

（2）量出下面长方形的长和宽。

教师小结：“刚才同学们不用铺的方法，而是用量出长方形的长、宽的方法计算出了长方形的面积。测量长方形的面积，不用面积单位测量，而是用长度单位测量，这种测量方法叫作间接测量法。这样测量长方形的面积既简单又方便。”

（五）看“长”想“面”巧转化

（3）先在下面方格图上画一个 长方形，然后填一填。

是不是所有长方形边长的长度都分别和每行面积单位的个数、行数存在着这样的关系呢？教师让学生完成图6的要求，完成后先同桌交流，后让多个学生上台分享自己的做法和想法。因为各个学生画的长方形不同，教师要充分让学生进行多样化的表达，从看得见的长度数量想到看不见的面积数量，然后，引导学生归纳出“长方形的面积=长×宽”，并让学生理解公式中的“长”表示什么，“宽”表示什么。

（4）先量一量，再计算它们的面积。

然后，教师让学生独自完成图7的要求，指名学生汇报自己做的结果：左边长方形的长是5厘米，宽是2厘米，面积是5×2=10（平方厘米）;右边正方形的长是3厘米，宽是3厘米，面积是3×3=9（平方厘米）。教师引导学生观察第2个长方形的长和宽有什么特点，学生会发现第2个长方形的长是3厘米，宽也是3厘米，它是个正方形，就可顺势推导出“正方形的面积=边长×边长”。

在此基础上，教师回头让学生说出两个算式中的“5”“2”“3”“3”分别表示什么意义，学生用面积测量器验证，再说出长方形面积公式、正方形面积公式中的“长”“宽”“边长”分别表示什么意义，使学生能真正理解长方形面积、正方形面积与長和宽、边长之间的关系，做到看见长和宽、边长的长度想到与之分别对应的面积单位的个数和行数。

从求面积的数学模型：“面积单位的总个数=每行面积单位的个数×行数”，到长方形、正方形面积公式，学生的思维经历了从一般到特殊的过程。

然后，教师回到课始的故事，问学生：“学到这儿，你知道蚂蚁妈妈想对小蚂蚁说什么吗？”因学生对直接用面积单位测量的麻烦和间接用长度单位测量的方便有了深刻体会，所以学生会说：“蚂蚁妈妈想对小蚂蚁说，不要用1平方分米的正方形去测量，只要量出客厅地面的长和宽的长度就可以了。”

总之，计算长方形的面积，本来应该用面积单位去测量，但因这种测量方法太麻烦，所以教师引导学生转换思路，用测量长度的方法来计算面积。改变测量方法，但面积的本质并没有变化，因为长、宽的长度分别与每行面积单位的个数、行数之间存在着对应关系，即如长是几个长度单位，就可以摆几个相对应的面积单位;宽是几个长度单位，就可以摆几行。数值不变，变的只是意义。从直接测量法到间接测量法，教学的关键就是要让学生通过参与测量、画图、观察、思考、表达，经历“铺满—没铺满—不铺”的方法不断简化的过程，学生体会到直接测量的麻烦与间接测量的方便，在明白将测量面积转化成测量长度的道理的同时，感知其中的变与不变，理解长方形的面积与它的长和宽之间的关系，进而掌握面积的本质。

（作者单位：福建省武平县教师进修学校）