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优化参考答案 发挥导向作用

2020-11-06白雪峰宋月娟任媛媛

数学教学通讯·初中版 2020年9期
关键词:一题多解比较研究参考答案

白雪峰 宋月娟 任媛媛

[摘  要] 文章基于一道中考数学试题多种解题方法的比较研究,阐明了参考答案的价值和作用,结合中考复习解题教学改进的实际需求,提出了在教学评价中编制和使用参考答案的具体策略与要求.

[关键词] 参考答案;导向作用;中考数学试题;一题多解;比较研究

教学评价既是整体教学理念的引导,又是教学理念变化的反映,而评价的标准是整个评价的核心 [1]. 因此, 从标准的变化中我们可以看出教学理念的变化. 在各种考试评价中,都会提供参考答案,因此,参考答案对师生来说都是非常熟悉的. 在使用参考答案的过程中,师生都能感受到参考答案带来的便利:明确了数学表达的规范格式,有助于指导学生养成良好的书写习惯;提供了便于学生及时自我反馈检测情况的参考依据,有助于学生及时纠正错误;呈现了解题思路和主要方法,有助于教师备课,节省了时间等等[2] . 但是,由于使用参考答案不当以及参考答案自身存在一些缺陷,也带来了一些问题,使得参考答案失去了指导教学改进的导向功能,以及拓展师生解题思路、发现数学内容本质的实践价值. 本文以2019年成都市中考数学第19题为例,阐明了笔者对发挥参考答案价值导向作用的思考与实践,以期和同仁分享.

问题与解析

如图1,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=■x+5和y=-2x的图像相交于点A,反比例函数y=■的图像经过点A.

(1)求反比例函数的解析表达式;

(2)设一次函数y=■x+5与反比例函数y=■的图像交于点B,连接OB,求△AOB的面积.

我们知道,在平面直角坐标系中,点的坐标是这样定义的:设A是平面直角坐标系上的一点,过点A作x轴的垂线AM,作y轴的垂线AN,M,N是垂足,则点M在x轴的坐标m和点N在y轴的坐标n一起,记作(m,n),叫作点A在平面直角坐标系上的坐标,简称点A的坐标,记作A(m,n),垂线段AM=m,AN=n.有了这样的理解,如果知道在平面直角坐标系内的三点A,B,C的坐标,那么求△ABC的面积就不必死记硬背那些所谓的公式,应用AM,AN为高线,依据“补形法”便可顺畅求解△ABC的面积.

■ 多解与比较

如图1,(1)由y=■x+5,y=-2x解得x=-2,y=4.所以点A的坐标为(-2,4). 将(-2,4)代入y=■,得到a=-8. 所以反比例函数的表达式为y=-■.

(2)由y=■x+5,y=-■解得x=-2,y=4或x=-8,y=1. 所以B(-8,1).在△ABO中,点A,B,O的坐标分别为A(-2,4),B(-8,1),O(0,0).

下面来求△ABO的面积.

笔者认为,求一个三角形的面积,一般来说可以考虑从以下三个角度入手:第一,考虑这个三角形是否可直接求面积,即是否可以直接求出此三角形的一边及这一边上的高;第二,考虑能否将原三角形看成几个易求面积的三角形的和或者差;第三,考虑将原三角形转化为其他易求的等面积的图形来解决. 实际上,本题中的三角形或可补成其他图形以间接求其面积,但是一般来说,补成的图形边数越多,图形就会越复杂,求解相对也更加困难. 这里仅举几例,旨在说明方法,有兴趣的读者可以做更多尝试.

解法1 如图2,直线AB:y=■x+5与y轴交于点(0,5),即在y轴上的截距为5,所以 OP=5,过点A,B分别作y轴的垂线AC,BD,垂足为C,D.

因为点A,B的坐标分别为(-2,4),(-8,1),所以 AC=2,BD=8. 所以S△ABO=S△BOP-S△AOP=■OP·BD-■OP·AC?摇=■OP·(BD-AC)=■×5×(8-2)=15.

说明解法1从直线AB与y轴相交这个条件出发,发现△ABO面积是△BOP与△AOP面积的差,且△BOP与△AOP有公共边OP,OP易求且长度为5.

解法2 类似于解法1,如图3,直线AB:y=■x+5在x轴上的截距为-10,所以OQ=10. 过点A,B分别作x轴的垂线AM,BN,垂足为M,N. S△ABO=S△AOQ-S△BOQ=15.

说明 解法2是从直线AB与x轴相交这个条件出发,将△ABO面积看成是△AOQ与△BOQ面积的差,借助于A,B,Q三点坐标求解. 解法2相较于解法1,需先求出Q的坐标,计算量略微增多,难度也略有增加.

解法3 如图4,过点A,B分别作x轴的垂线AM,BN,垂足为M,N. 由模型可知: S△ABO=S梯形AMNB. 所以S△ABO =■(y1+y2)(x1-x2)=■(1+4)[(-2)-(-8)] =■×5×6=15.

说明 实际上,在解法3中,应用反比例函数 y=-■解析式得x·y=-8,所以x·y=8,所以S△AOM =S△BON=4. 去掉其公共部分的△POM,S△AOP =S梯形BNMP,应用题目中反比例函数图像及其特殊的性质,割去△MOP而补成梯形BNMP,这种解法计算难度不大,不过对于学生来说不易想到.

解法4 如图5,过点A,B分别作y轴、x轴的垂线AM,BN,垂足为M,N,设AM,BN交于点Q. 这样所求△ABO的面积就转化为从矩形MONQ的面积中,减去三个三角形,即减去△AOM、△BON和△ABQ 的面积.

说明 解法3和解法4采用的都是典型的“割补法”,其中解法3是将△ABO补成梯形进行求解,而解法4则是将△ABO补成矩形进行求解. 应该说,解题思路是比较简单的,但计算量较解法1和2有所增加.

解法5 如圖6,因为点B(-8,1),所以直线BO:y=-■x.

过点A作AN⊥x轴,垂足为N,且交BO于点C,则yC=■. 所以 S△ABO=■AC·(xO-xB)=■4-■(0+8)=15.

说明 实际上,我们还可以拆分△ABO成两个具有公共边的三角形. 如图6,如果过点B作AN的垂线,垂足为M. 作BP垂直x轴于点P,OP=8. 这样原△ABO被分成两个三角形△ABC和△AOC,公共边为AC. 所以S△ABO = S△ABC+S△AOC=■AC·BM+■AC·ON=■AC·(BM+ON)=■AC·OP=15.

解法6 如图7,因为点B的坐标为(-8,1). 过点B作BC⊥y轴于点C,交AO于点D. 将y=1代入y=-2x,解得x=-■. 所以D-■,1,所以BD=■. 所以S△ABO=■×■×4=15.

说明在上述解法中,基于过点B作垂直于y轴的直线,将△ABO分成了两个三角形△ABD和△BOD,且两个三角形具有公共边为BD. 实际上,如图7,我们还可以过点A作AF⊥x轴于点F,与BD交于点E,则EF=OC. 于是S△ABO=S△ABD+S△BOD=■BD·AE+■BD·OC=■BD·AE+■BD·EF=■BD·AF. 即S△ABO =■BD(yA-yO)=15.

事实上,笔者认为解法5和解法6都是通过分割△ABO求得结果,解题中所产生的计算既复杂又不易理解,不如利用点A,B的坐标和补形法相结合而产生的解法1和解法2来得简单. 实践出真知,数学的解题也是如此.

解法7 如图8,过点B作BC∥OA,可设直线BC的解析表达式为y=-2x+b,且过点(-8,1),易求b=-15,所以可得直线BC:y=-2x-15. 直线BC与x轴的交点为(-7.5,0). 所以S△AOB=S△AOC=■OC·yA=■×7.5×4=15.

解法8 类似地,如图9,如果过点A作AC∥OB,并设直线AC的解析表达式为y=-■x+b,由于AC过点(-2,4),则可得直线AC的解析表达式为y=-■x+■,它与y轴的交点为0,■. 进一步由S△AOB=S△BOC求解.

说明  在解法8中,直线OB的解析式题目中没有直接给出,需要学生自己求解,相较于解法7略为复杂,感兴趣的读者可自行完成计算.

解法9 由直线AB的解析式y=■x+5得kAB=■,由直线OA的解析式y=-2x得kOA=-2.

因为 kAB·kOA=-2×■=-1,所以OA⊥AB. 所以△OAB为直角三角形. 经计算得OA=■=2■,AB=■=3■,所以 S△ABO=■OA·AB=■×2■×3■=15.

说明 从直线AB与直线OA的解析式可以发现kAB·kOA=-2×■=-1,根据解析几何知识:如果直线l1的解析式为y=k1x+b1,直线l2的解析式为y=k2x+b2,同时k1,k2存在且k1k2≠0,那么k1=-■?圳l1⊥l2 . 可知△ABO为直角三角形,因此可以直接求这个三角形的面积. 但是,这个条件相较于图形信息而言较为隐秘,不容易被发现.

另外,在函数与几何结合的综合题中,两条直线平行或垂直的问题属于常见问题. 在初三专题复习过程中,教师可以结合学生实际,在不增加学生学习负担的情况下,把部分解析几何的内容介绍给考生,并指导学生进行解题实践,这也是一种值得提倡的做法. 有了以上公式,学生再遇到垂直和平行的问题,应用上述公式便可使“直线型”问题得到顺畅而简明的解决.

纵观上述解法,可以发现,解法1至4采用的都是“补形”的方法,通过借助显性的已知条件,将所求图形“转化”为易求面积的特殊图形,再用补成的大图形减去相应小图形从而得解. 此种方法选取的条件信息最为直观,计算比较简单,计算量略有区别,蕴含其中的重要数学思想就是“化归”的思想. 解法5、6对学生的数学能力有更高要求,需要借助已知条件合理“分割”这个三角形,然后再用分割图形的面积和来求解:比如,可以作平行于x轴的辅助线进行横向拆分或者作平行于y轴的辅助线纵向拆分;再如,可以过点A作辅助线拆分,或者过点B作辅助线. 当然,还需要学生理解平面内与坐标轴平行的直线上两点间的距离公式AB=x1-x2或CD=y1-y2. 而解法7、8主要利用转化思想,通过作△ABO中某一边的平行线,将原三角形问题转化为边落在坐标轴上的三角形的面积,这种方法对学生的能力要求更高,需要将函数解析式、几何图形之间的关系、坐标的运用综合思考,确实需要有较高站位才能实现这种解法的突破. 在上述解法中,解法9很好地利用了隱含条件kAB·kOA=-1,属于特殊解法,不具有一般性.

■ 实践与思考

纵观上述四类九种解法,基于比较研究不难发现:在坐标系下解决问题,如何将点的坐标转化为线段长,是解题关键. 根据点坐标的定义,必然需要作平行(或垂直)于坐标轴的直线,据此产生多种思路,也是基于利用坐标转化成线段长的方法,将转化后的图形与所给坐标或可求点的坐标相互关联,通俗地说就是过已知点(或易求点)作平行(或垂直)于坐标轴的直线,从而实现图形的“割”或“补”. 另外值得一提的是,解法5和 6是不同教辅材料中给出的参考答案,而其他解法都是笔者在教学实践中收集整理的. 应该说每种解法都有它的优势,学生在运用中也会存在一些障碍点. 在具体的教学中,教师还要根据学生的认知基础、接受程度和发展要求以及复习教学实际,适当展开对解题方法的研讨,因材施教效果才会更佳.

1. 把握数学本质,提供典型解题方法

在解题教学中,教师如果固守参考答案所提供的思路或解法,在试题讲解中就会被局限,学生也就会缺乏灵活而创新的解题能力,甚至会因为解题思路窄化而“碰壁”. 事实上,参考答案不一定是标准答案,不一定就是最优、最简的解法,教师在使用参考答案时必须要有自己的思考,不能过分依赖参考答案. 在实际解题教学中,教师要善于基于学生,更要善于发展学生.

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