“判别式法”在追及、相遇问题中的巧妙运用

2020-11-04毛广文

中学生数理化·高一版 2020年10期

毛广文

“判别式法”是数学中常用的一个解题方法，若将此方法引入到物理的学习中，则可以使得物理问题的解答更加严谨和灵活。比如，在处理追及、相遇问题时，根据两物体的位移关系列出关于时间t 的一元二次方程，得出相遇时间t 的表达式，就可以通过对时间t的解来讨论相遇的可能性及相遇的次数，即通过对关于时间t 的一元二次方程的判别式“Δ=b2-4ac”的讨论来确定物体是否能够相遇，以及相遇的次数。下面举例说明。

例1 甲、乙两物体相距s，同时同向沿同一直线运动，物体甲在前面做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运动，物体乙在后面做初速度为v0、加速度为a2的匀加速直线运动，则( )。

A.若a1=a2，则两物体只能相遇一次

B.若a1＞a2，则两物体可能相遇两次

C.若a1＜a2，则两物体可能相遇两次

D.若a1＞a2，则两物体可能相遇一次或不相遇

讨论：

(1)当a1＜a2时，判别式“Δ”一定大于零，且 Δ ＞v0，时间t 有两解，但因时间t 不能为负值，故只有一解有物理意义，即两物体只能相遇一次，选项C错误。

(3)当a1＞a2时，判别式“Δ”的值由v0、a1、a2、s共同决定，可能小于零、等于零或大于零，且 Δ ＜v0。若v20＜2(a1-a2)s，即判别式“Δ”的值小于零，则关于时间t的方程无解，故两物体不相遇；若v20=2(a1-a2)s，即判别式“Δ”的值等于零，则关于时间t的方程只有一个解，故两物体相遇一次；若v20＞2(a1-a2)s，即判别式“Δ”的值大于零，则关于时间t的方程有两个正解，故两物体相遇两次。因此当a1＞a2时，两物体可能不相遇、相遇一次或相遇两次，选项B、D 正确。

答案：ABD

本题采用一元二次方程的判别式进行分析、解答，显得简洁、明快。为同学们进行抽象思维和逻辑推理训练提供了有效方法。

例2 甲、乙两质点相距s，质点乙在前，质点甲在后，沿着同一条直线，向同一方向同时开始运动。质点甲以速度v 做匀速运动，质点乙由静止开始以加速度a 做匀加速运动，在什么情况下质点甲才能追上乙? 在什么情况下质点甲追不上乙?

设两质点运动的时间为t，则甲、乙两质点的位移分别为

讨论：

(1)当Δ=v2-2as＜0，即v＜ 2as时，方程无解，表明当质点甲做匀速运动的速度小于 2as时，质点甲不可能追上乙。

(2)当Δ=v2-2as=0，即v= 2as时，方程有唯一解，表明当质点甲做匀速运动的速度等于 2as时，质点甲可以追上乙，且两质点只相遇一次。

(3)当Δ=v2-2as＞0，即v＞ 2as时，方程有两解，表明当质点甲做匀速运动的速度大于 2as时，质点甲可以追上乙，且第一次追上质点乙时的速度大于乙，之后将超过乙，随着质点乙速度的增大，质点乙将追上甲并超过甲，故两质点相遇两次，相遇的时间分别为方程的两个解。