学习理论与数理哲学在数学教学改革上的应用

2020-11-02陈瑞明

数学学习与研究 2020年13期

陈瑞明

【摘要】数学的教导与学习一直是教育改革中重要的课题.一个同时考虑数学本质和学习过程内涵所设计的数学教学才能有效、准确地将数学知识传递下去，两者关系可以由教育心理学与数理哲学来切入探讨.本文通过将教育心理学上主要的学习理论：行为主义﹑社会学习理论﹑认知学习理论﹑建构学习理论和数理哲学的理论派别：形式主义﹑逻辑主义﹑直觉主义﹑实证主义做比对发现，可将相容部分的理论结合起来，用于说明如何针对不同的数学科目进行相对应的教学改革内容——主要还是根据不同数学科目本身的特殊性，对如何设计个别数学科目教学课程进行分析，以总结出结合学习理论及数学哲学的教学及学习方式.由探讨的结果可以发现，形式主义和注重心理结构认知学习理论、逻辑主义和注重行为主义的认知学习理论、直觉主义和建构学习主义理论，及实证论主义和纳入环境要素的社会学习理论有较高的相容性.若能更进一步探讨如何将这些理论落实到教学上，使得这些相对应的理论能应用到每一个数学科目，则在设计数学教材或数学讲述上，能有效进行数学知识的传递工作.

【关键词】学习理论;数学哲学;直觉主义;数学实在论;建构学习主义

一、学习理论与数学发展关联性概述

（一）学习理论背景知识介绍

学习理论经历了不同阶段，从早期的约翰·华生、弗雷德里克·斯金纳的强调S-R（刺激与反应）行为主义学习理论，到纳入环境要素阿尔伯特·班杜拉的社会学习理论，到引入心理结构的认知学习理论，再到皮亚杰由个人已知或已有的学习经验出发的建构学习主义理论，这些学习理论的实质内容及具体的主张可以参考叶浩生的《西方心理学的历史与体系》一书，尤其书中对于（新）行为主义、结构主义及人本主义等理论基础和哲学思想的来源都有详细的说明.至于实际上要如何利用这些学习理论进行教学，教师可以参考陈琦的《教育心理学》一书中的详细介绍说明，这里笔者仅引述陈琦对于学习理论综合性的看法作为本文的引言，学习理论主要回答以下三方面的问题：（1）学习的实质是什么？（2）学习是一个什么样的过程？（3）学习有哪些规律和条件？本文的架构大体上也是从这些问题出发，探讨这些学习理论和数学哲学思想间的关联性及可应用性.以下笔者只针对和本文有关联的学习理论部分进行概要性分析、探讨与说明.

（二）行为理论与数学发展关联性介绍

行为主义和社会学习理论的主要差别在于，社会学习理论是社会变量（环境），探讨个人认知、个人行为和环境三者间的互动关系，因此，除了行为主义的联结及强化机制外，尚需考虑和观察社会环境，进行复制或强化动作，这个基本上已经开始对应到数学学科，因为数学是为其他学科服务的学科，同时数学学科也可以用来描述数学家建构数学的过程.（社会）环境提供一个动态的因素，它是数学家重要素材的来源，即使多位数学家包含戈特弗里德·威廉·莱布尼茨，称数学的经验是先天的，實际上大部分的数学发展还是环境发展需要下的产物，例如利用数学知识可以有效地控制一个国家或一个地区的经济活动或掌握人口分布结构等等.有效利用数学工具便可管控总体经济，例如货币发行量的多寡及周期，公务人员的薪资额度，加薪或退休金的计算，各式税率的制定与征收等等，数学都是不可或缺的分析工具，这些需求当然就间接促进了数学的发展，尤其是统计学的统计方法的创建.相反地，个人行为也会对社会环境造成影响——学习的过程不再是单纯、被动地等待刺激，而且刺激的来源也不再是自然或物理反应，人们必须主动地观察学习所处的环境状况.当然，数学影响世界的发展更是明显，世界不但提供一个数学创作素材的来源，相反地，数学的研究也丰富了世界的发展——尤其像目前世界各国正努力发展的人工智能，背后便需要大量的数学工具和理论模型等来支持.

（三）建构学习主义与数学发展关联性介绍

建构学习主义与行为主义的最大不同点在于对客观事物与个人知识形成的不同看法.对行为主义者而言，客观的事物是具体存在于人的意识之外的，客观事物对人的意识会产生刺激，这种刺激进而形成人的知识.在这个过程中，知识的形成是被动的，是由刺激引起的.以数学的认知来看，人类从儿时便对简单的自然数有反应，这部分是直觉的认知过程，我们可以看成自然数是依附在客观存在的事物上，透过人类的视觉受到这些事物的刺激，使人类在意识上便产生了自然数这个知识.由此我们也可以知道，数学知识的形成并不是单纯靠智慧发展出来的，有一部分确实是行为下经由外在事物刺激自然产成的.反观，对于建构学习主义者而言，知识的形成是以学习者本身的背景知识为底，通过学习者对事物的积极认知过程所形成.由于每个人的背景知识不相同，所形成的知识也就不同.实际上，建构学习主义比较逼近真实的学习过程，理由有以下几个：

1.学习者是人，不是动物，行为主义操作下的机械性生理反应并不足以解释或适用人的学习经验，即使是以人当研究客体，也不见得适用大部分的人;

2.学习者本身的既有知识确实会决定他是否能对新的事物形成新的经验，而不是单纯的强化过程，当事物本质有了新的改变，个人知识经验也应该跟着变动，人相对于其他动物而言，可变性确实高了一些;

3.学习者本身的学习态度及方式等也决定了他学习的有效性，而非单纯是被动接受刺激就会有正确的反应，还是要视个人的心理状态及结构而定.

以数学知识的形成来看，笔者个人认为早期的数学概念主要是受行为主义的学习认知过程影响，这种影响应该追溯到孩童时代，他们对于外在的世界会产生一个认知，读者可以参考一下布兰思福特在《人是如何学习的——大脑，心理，经验及学校》一书中提到的关于小孩如何对数字进行认知、探索的过程的描述（布兰思福特，2002，P.98-100）.人一旦形成知识，并开始学会使用符号来表述这些概念，这些概念就成为个人的一个数学经验，例如李彩红在《基于三种学习理论整合的数学概念教学设计》一文中对于“函数”这个概念的数学经验是如何形成的所做的探讨（李彩红，2014，P.19-23）.一旦这个数学经验形成，人们就可以去建构新的数学经验和知识.到了后期，比较是建构主义式的学习方式.因此以数学认知的过程来看，学习理论代表的是数学不同阶段的学习方式，而不是说哪一个理论比较好，毕竟没有种子哪来的果实.以下笔者开始针对不同的数学哲学观点，结合相容的学习理论，根据本人的数学专业知识、教育学习过程及教学经验，来探讨不同的数学科目适用的学习及教学方式.除此之外，我们还必须注意教学化过程的有效性，也就是研究如何利用这些学习理论去有效转化成学习成果，正如克拉耶夫斯基在《教学过程的理论基础》一书中所言：“从社会经验到个人经验，经历各种不同层次的活动——这就是教学的行程.”（克拉耶夫斯基，1996，P.10）

二、数学实在论与客观事物存在论

（一）数学实在论观点

数理哲学理论是以唯物主义的物质为第一性、精神为第二性为基础而发展的数学实在论.这个数学思想是把数学知识与心智活动分开来看，数学知识是已经存在的且独立于人的思想活动，数学家并不是创造数学，而是发现已经存在的数学知识.这个时期的学派以柏拉图主义为代表，这个学派的精神如斯图尔特·夏皮罗在《数学哲学：对数学的思考》一书中所言：“在本体论实在论者中，最普通的观点就是数学对象是非因果的、永恒的、不能解構的，并且不是时空的一部分”.（夏皮罗，2009，P.25）简单地说，数学本身具有绝对性的存在，不因人类思考变动而迁移.这个学派已经发展几千年，极致的发展分支学派是完全柏拉图主义，本学派主要采用的数学逻辑是排中律和选择公理.排中律实际上是二元论下的产物，也就是非黑即白.这个逻辑主导了哲学和数学的发展几千年了，大家也都认为这是万物运行的准则，实际上这些概念是可以被挑战的，后面笔者会提到其他不同学派的观点，这些学派比较靠近唯心主义的主张，也可称为反数学实在论学派.

（二）古典数学与数学实在论的关联性

对于学习理论而言，客观事物的存在性根据不同的学习理论而有所不同.对于古典的行为主义者而言，客观事物是具体独立存在的，因此我们只能由被动地接受刺激来学习.这种观点和数学实在论具有高度相容性，实在论强调的是数学的整体早已构建完成，我们只不过是被动的学习者，并不是数学的创造者.数学既然已经独立于人的思维且已自行构建完成，我们就可以大胆地说所有数学命题都有真伪，且真伪早已存在于数学家发现它们之前.因此排中律的假设必然是成立的，当然选择公理和其他的等价陈述也必然成立，这也是为什么古典逻辑（亚里士多德）能被大部分数学家采纳几千年.后来，这种思想被数学的直觉主义学派所取代.这两种思想是目前数学证明理论的两大数学哲学思想.前者一般称为古典数学，后者称为新古典或直觉主义数学.

（三）古典数学与学习理论的关联性及应用性

目前，全世界主流的数学还是以古典数学为主，主要原因笔者认为是我们受到二元论的主导，当然采用二元论是为了方便行事，在推论上更能容易有效拓展，但是这和客观事物的存在性关系并不是绝对的.也就是说，对于古典数学的这个存在性是毋庸置疑的，然而对于新古典数学家来说，这个存在性是要经过人的经验来确认的.因此，“毋庸置疑”是一个数学经验的过程，不是一个结论.实在论和反实在论的哲学思想主导了人类思维好几千年，这个辩证思想当然不是要得出正确或唯一的答案，而是借由这个辩证思想不断地去丰富人类的思考内容及反思，当然这个哲学思想并不仅仅是在数学这个科目体现，同样，其他的学科也都深受这些哲学思想的影响.这些哲学思想：实在论与反实在论还是在争论不休中，由祝杨军的《对数学实在论与反实在论之争的辩证考察》一文就可以清楚地看到彼此的观点及主张：“一直以来，作为数学中基础问题的实在论与反实在论之间的争论不绝于耳、历久弥新.它直接关系到数学是否具有客观性、确定性与真理性”.（祝杨军，2014）

三、形式主义与引入心理结构的认知学习理论

（一）形式主义在数学上的内涵

形式主义以德国数学家戴维·希尔伯特为代表，强调的是公理系统，将数学的正确陈述以公理系统来表述.公理化系统可以追溯到欧几里得的《几何原本》，例如在兰纪正等人所译的《几何原本》一书中所揭示的公理：两点间可以画一条直线、任何直角都相等、彼此能重合的物体是全等的.（兰纪正，2003，P.3-5）接着欧几里得就利用他的定义及公理陈述去证明其他命题的真伪，这便是最早的一个典型的公理化（形式化）过程.很多古代数学家便是利用这套公理化的系统来理解这个世界或数学，尤其是几何学和数论等科目.近代数学家希尔伯特也曾经对几何进行公理化陈述，冯·诺依曼更是直接对量子力学及集合论进行公理化陈述，可见公理化并不是数学的专利，其他学科，例如经济学的假设等等，或多或少也是一种公理化形式，只不过不是以数学那么精简的形式陈述.还有，假设本身是多样化的，具有较强的变动性，反之，公理化则不易变动，并具有较高的直觉性.以学习者的角度来看，形式化并不是完全新颖的，在他们自己的专业上，多少都存在形式化的陈述，这种陈述有时是根据客观世界来判定的，有时是数学家本身的陈述.

（二）形式主义与学习理论的关联性及应用性

这个形式主义比较靠近引入心理结构的认知学习理论，考虑的客体是目前实际在使用的数学系统.对于学习者而言，这个理论适用于跨领域学习，原因是，当你将一数学客体形式化后，即可转入其他系统中使用或应用，如数学与电子计算机的跨领域研究及应用.因此数学科目，如集合论、（非）线性规划、最优化问题等等，可以强化形式主义的教学理念，把认知学习的对象锁定为形式主义的客体，透过形式主义可以简单地将复杂的客体移植到不同的学科，对于跨学科的整合学习是个相当有效率的学习方式.实际上，美国有些金融投资公司聘请的高级技术人员便是搞纯数学的，有些甚至是数学逻辑学家或集合论学家，这对于没有接触过形式主义数学训练的人来说是很难理解的.这些公司之所以聘用纯数学的数学家，主要原因是：一个学问一旦被形式化后，便可以将该学问抽象化、语言化及逻辑化，这样便容易移植到其他学问中.形式主义除了可以和认知学习结合使用外，它本身也是一个被思考的客体.也就是说，当一个复杂的客体被形式化后，形式化后的认知即被视为一个新的研究客体，例如数学上的代数结构、实变函数、泛函分析等等科目，一旦将数学实际运算客体形式化成代数公理系统后，该代数结构即为研究的新客体，必要时还可以对这些数学结构再加以形式化，这也对应到认知学习上有关归纳法的使用.这个数学的认知学习过程能够将个人的背景知识的干扰降到最低，也就是这个学习过程是带有机械性的，可验证性的，好处是经由形式主义学习到的数学知识严谨度相当高，缺点是不易在心里留下数学的认知经验过程.目前，有些数学自动化系统可以依据所输入的公理系统自行推导定理及真理，就这种观点来看，这种学习方式较符合李跃文在《意义学习理论对数学的启示》一文中所转述的戴维·保罗·奥苏贝尔所谓的机械学习.（李跃文，2000，P.6-8）虽然奥苏贝尔主张的是有意义的学习，但是当存在的客观环境相当复杂或多变，尤其学习者的背景知识也多变时，教授者要去完全理解学习者的知识状态是有一定的难度的.因此，部分的机械性学习确实是有必要的，这也是为什么时至今日形式主义的学习方式依旧被大量应用，尤其是在目前高度发展的机器学习领域.目前，人工智能已经深入到世界的各个领域，与机器直接沟通或通过机器进行沟通已经是不可避免的趋势，因此要了解一些机器语言，如C语言等.随着科技的发展，人的学习方式势必也要更新，与机器互动的学习方式也无可避免.形式化的数学学习方式是当初希尔伯特一心想要建构的数学世界，但歌德后来证明了这样的数学世界是不存在的，原因很简单，任何的公理系统一定会存在该系统无法判别的数学陈述句.虽然如此，形式主义依旧提供了一个快速的、机械性的、严谨性的学习方式，能够有效地把数学知识传递给下一个学习者.由于人类的知识形成方式并不适用机械性的学习，因此教授者教授形式化的数学公理系统时应该借由其他辅助工具，如图、表等，来有效提高学习者的理解能力.当学习者有能力依据符号做思考时，再将抽象层次提升，进而达到形式化.也就是说，教师一开始可以以自然语言和学者的数学背景知识出发，一步一步地进行抽象学习，使学生参与整个形式化的数学经验.一旦学生有了这个经验，对于其他的形式化的学习就相对简单了，甚至学生自己就能慢慢学会如何抽象及形式化一个数学系统.

四、逻辑主义与行为主义的认知学习理论

（一）逻辑主义在数学上的内涵

逻辑主义以德国逻辑学家、数学家戈特洛布·弗雷格为代表，强调的是数学真理的获得必须是从定义出发，并依选定的逻辑公理通过数学逻辑推理获得.目前，对于数学教育并不采用严格的逻辑化系统，主要原因是：一方面，大部分公理是由直觉出发，没有必要刻意强调;另一方面，逻辑主义易流于形式，對于学习数学者有机械性操作的感觉. 就这个观点来看，逻辑主义可以和对应的行为主义学习论来结合，行为主义强调的刺激与反应本身带有机械性，强调的是刺激（数学客体）和反应（数理逻辑系统）的关系.对于学习者而言，这样的学习方式在数学科目上的应用可以是数学建模、数理逻辑、理论计算、拓扑学等科目.学习者该掌握的学习重点是由数学客体到逻辑系统的迁移过程，并且能将这一过程加以复制及应用.逻辑主义和形式主义有几点不同：

1.逻辑主义并不强调形式化，也就是可以凭借人类的自然语言进行数学知识的积累及推演.

2.形式主义强调的是系统本身的公理化，也就是逻辑部分不见得要公理化，但逻辑系统本身强调的是逻辑的公理化.

3.逻辑主义认为逻辑本身就足以推导整个数学系统，但实际上还有形式主义等的配合.正如张景中院士在《数学与哲学》一书中所写：“逻辑主义本来想用自己的工作论证柏拉图主义，结果并没有成功.算术是化归到集合论了，但集合论的公理系统却有好几个，因而不能说是纯粹的逻辑了”.（张景中，2008，P.70）

逻辑公理化的结果使我们的认知不再局限于客体事物本身，而是用完全有心理结构的认知来判定.这样的认知学习方式有个最大的好处，就是可以免于个人情绪或主观认知差异的干扰.逻辑主义的学习方式从认知心理学的角度来看，具有高度的自我认知学习过程，而且这种认知方式不仅仅是认知心理学一个精神的体现，更重要的是它提出了一个具体的由个人意识主导的数学学习方式，使用的方法就是数理逻辑.

（二）逻辑主义与学习理论的关联性及应用性

一般的数学的教授过程并没有刻意地去强调所使用的逻辑公理系统，原因主要是公理系统是直觉的一个体现，而且过度依赖逻辑公理系统所得的数学知识会使学习者的数学心理活动降低，造成烦琐的符号操作及演算.试想，如果一个人正在与另一个人交谈，而注意力却主要集中在对方讲话的语法结构有没有问题上，那么这样的学习方式反而对于学习者内心数学的建构难于有直觉性的认知.以数学科目来说，目前应该是数学逻辑和少数纯数学科目的学习采用逻辑主义作为学生学习的方式，这些科目也确实有必要直接采用逻辑主义教授，主要是它们的数学客体就是逻辑本身.目前国内和国外对数理逻辑这个科目的认知并不相同，对于国外大部分高校而言，数理逻辑大多是大一数学科系的必修课程，国内则以其他实用性的数学科目作为起始点，或者概要性介绍这个科目，两者对数学教育的学习效果有待进一步分析.

五、直觉主义与建构学习主义理论的认知学习理论

（一）直觉主义在数学上的内涵

直觉主义以布劳威尔为代表，这一学派主张的是数学学习是学习者本身的一个认知过程.当然布劳威尔对数学知识的主张是比较极端的，他认为数学就是数学家个人的思考及内化过程，具有个别性，不具有普遍性.其实他所强调的是，数学系统不是不可挑战的，也不是一言堂的，每个人其实都是数学家.这当然直接冲击到我们对于数学具有普遍性的一个认知.由于知识在直觉主义者看来必须有一连串的数学认知过程及经验，因此老师和学生的传统教学方式必须加以修正.也就是说，教授者必须观察学习的背景知识来做数学教学.对于数学实在论者主张的排中律和选择公理，直觉主义者是坚决反对的，主要是因为排中律和选择公理对于学习者在学习数学的过程中没有认知过程，而是依赖于学习者对数学实在论的信心，对于直觉主义者而言，这是不合乎数学学习法则的，因此，也不承认这样的数学证明是合法的.然而，这样的数学并没有被大部分的数学家所采纳，如希尔伯特就大力反对布劳威尔的主张，尤其是排中律对于希尔伯特而言是数学的一大利器，舍弃不用，则数学发展必会遇到极大困难.但是从历史演变来看，希尔伯特的担心似乎也过了头.目前，直觉主义者确实在数学的各个领域都已取得相当程度的进展，而且越来越多的传统数学家也开始加入直觉主义行列，国外有些高校的数学课程甚至直接就采用直觉主义的想法授课，完全丢弃古典数学.实际上，若要将数学应用到其他学科中，则直觉主义下的认知过程是相当重要的，包含如何构建一个演算法（这个演算法很可能是新颖的，否则古典数学家早就采用了）或者如何建构新的数学系统（直觉主义的采用并不是单纯地将古典数学中的某些逻辑规则拿掉，如果只是这样，确实会是希尔伯特担心的，一堆数学陈述可能无法证明它的真伪性）.以实用性而言，直觉主义所提供的演算法或证明存在性的方式能有效地转化到其他学科.例如利用电脑来验证或使用该演算法，对于教师而言，演算法是视觉化的，甚至可以简单地用实际例子或电脑方程式加以表达.从这个角度来看，学生应该在心里的接受上对于数学更加人性化一点，当然要付出的代价是如何去寻找这些演算法或存在的个体，这当然是直觉主义者需要开拓的.在这个开拓的过程中，古典数学的教授方式肯定也是无法避免的，当然适度的取代排中律或选择公理，以演算法或找寻存在客体的方式来讲述，对于学生的帮助应该会较大.国内由于接触直觉主义训练的数学家及可参考的直觉主义教科书并不多，要全面推广这样的教育理念恐怕也不切实际.再则，既然这是哲学思想，自然难得到一致性的看法，也就是有些数学家会赞同，有些会反对，这在课程统一的前提下也是一大问题.即使教师有心全面采用直觉主义的教学方式，目前有些数学的学科在直觉主义的发展下也尚未找到一个最后认定的定义或公理系统来指导这些课程的进行，以国内目前的数学学习环境来看，显然直觉主义的条件尚未形成.但笔者认为，直觉主义的思想还是可以利用的，例如多提供演算法去完成数学的证明，少用古典数学的二元逻辑系统.笔者相信，随着世界潮流慢慢的改观，直觉主义的数学教学方式慢慢会被重视及正视.

（二）直觉主义与学习理论的关联性及应用性

直觉主义的主张可以直接对应到学习理论的建构学习主义理论，学习必须是以学习者本身出发，进行一连串的心智过程而获得，数学理论的发展应该考虑这样的一个认知过程.以数学科目来说，离散数学的离散性提供了一个高度的直觉性，也易于学习者本身完成有限的数学经验——学习者可以通过有限的步骤完成数学学习经验，这是有别于实数系的数学（连续）.以直觉主义者的观点，实数系并不是一個已经构建完成的数学客体，而是一个尚在构建中的数学体系，且这个构建过程应该是从自然数出发，这和我们传统学的数学相当不同.传统的学习方式是直接引入实数线，对学生说明这就是实数，咋看好像这就是实数，但当学生进一步提问：这条线为什么就对应到所有的实数，教师大概就难以回答学生的问题了.原因是学生并没有实数的建构过程，也就是说这个数学经验完全消失了（实际上这个数学经验应该由自然数出发，利用自然数去构建整数，再由整数去构建有理数，最后由有理数去构建实数.当这个构建过程完成后，教师再把构建完的实数系去和实数线做对应.也就是说，实数线的性质是后来推出来的，不是完全视觉上的一条线决定的），对于这个数学客体当然无法在心智上产生对应的建构体.除了离散数学外，数论、统计概率、解析几何等也都适用这个主义下的学习方法，具体的学习方式是以学生已知的背景知识出发，教师适度引导学生，由学生自己完成数学学习的经验，也就是建构者就是学生本身，教师只不过是一个辅助的角色.这个想法确实很好，有因材施教之效.但是，实际的教学方式必须视学生的资质和背景知识而定，必要时应该进行能力或倾向性的分班，以针对个别学生的能力背景设计出适合他的数学学习方式，包括哪个单元先教等等.

六、实证论主义与纳入环境要素的社会学习理论

（一）实证论主义在数学上的内涵

实证论主义数学理论的主要代表者是奥曼·蒯因，他强调的是数学应该同其他学科一样，必须有实证上的价值.换个角度来看，数学主体本身必须具有实用性及应用性，并且对于它客体的选择必须由实证来决定，也就是说一个数学理论必须跟其他学科一样具有高度的实用性.我们从现在大学生的学习态度来看，就可以知道其中的道理，正如闵兰在《高等数学教学改革的几点思考》一文中提到的，“现在的大学生普遍有这样一种困惑：高等数学那么难，那么抽象，它对将来的工作和生活有什么作用？”（闵兰，2012，P.139-141）这也是很多数学学习者，甚至是教授者深藏内心的一个疑惑.

（二）实证主义与学习理论的关联性及应用性

实证主义对应于学习理论的纳入环境要素的社会学习理论，也就是对于知识本身的价值必须多元化思考，凡是对知识的形成有影响的，都应该纳入考虑范围.实际上实证论主义是早期数学发展的一个历程，早期数学的发展确实是为了解决实际的自然或社会问题，可以看出数学是服务于其他具体问题的工具学科.随着数学本身抽象化的发展，这个趋势并没有改变.适用的数学科目种类很多，如物理数学发展下对于微分方程、复变函数论、泛函分析等科目已自行发展成一个数学分支;（计量、动态、时间数列）经济数学对于统计模型理论及应用的促进发展——例如赛局理论也自行发展成一个数学分支;统计学对于实数函数理论的进一步发展等等，这些都体现出其他社会学科对数学发展的贡献.教师必须针对学生的专业特别强调他们所学的数学，例如高等数学的实用性.对非数学专业的学生而言，数学是一门服务的学科，帮助他们理解本身专业的词汇，以实用性来说就是一门工具学科.同时，教师可以引入该学生的专业的数学软件，解决他们专业上具体的问题.教师最好能在课上引入具体的实例，以增加数学的实证性，从而提高学生学习的积极性.

七、结语

本文针对不同的学习理论，与数学哲学的不同理论进行结合与相容性研究.教师通过本研究可以进一步提升对数学发展和教育心理学及教育学发展的认知.不同的数学科目，可以依据适当的数学哲学理论，搭配相容的教育学习理论进行数学的教学改革.数学教学改革的一致性是相当重要的，若数学教材或教法和数学理论及学习理论相抵触，则很可能在教学上或传递数学知识的过程中造成学生理解上的困难，甚至是无法理解.本文从学习理论的观点及学习进程来搭配适合的数学哲学理论及系统.随着时代的发展，数学已经不再是一个单一不变的学科，如同其他学科一样，它是有与时俱进的需要的.一部分原因是来自数学哲学的影响，一部分原因是来自数学与其他学科互动的影响.

我们通过本文的研究可以知道，形式主义和注重心理结构认知学习理论具有较高的相容性，逻辑主义和注重行为主义的认知学习理论搭配较合适，直觉主义和建构学习主义理论有强烈的互动关联，实证论主义和纳入环境要素的社会学习理论有较高的相容性.对这些理论的理解有助于教师建构一个一致性的数学知识传递方式.文中也充分提到数学学习的实质是什么，更揭示了数学学习的过程及数学学习的规律性和发展条件.如果教师能将这些理论有效地落实到实际的数学教学上，并把根据相对应的理论应用到每一个数学科目上，那么教师就能够有效地进行数学知识的传递工作.

八、致谢

本文受“百色学院校级教学改革工程项目”底下一个子项目（项目编号为2019JG47，项目名称为《数理哲学下的本科数学课程内容设计与人才培养方式》）所赞助与支持，笔者表示由衷的感谢.

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