例谈构造平行四边形解题

葛长岭 朱记松

平行四边形（含特殊平行四边形）是几何图形的重要组成部分，也是中考的必考内容之一，几何中的许多问题，若转化为平行四边形（含特殊平行四边形）问题，借助平行四边形（含特殊平行四边形）的边、角、对角线的性质解决，则可以化难为易，事半功倍.这一“转化”过程，通常是通过添加适当的辅助线，来构造平行四边形（含特殊平行四边形）.

一构造一般平行四邊形

例1图1中的①②③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线（箭头表示行进的方向）.其中，H为AB的中点，AE>EB.三人行进路线长度的大小关系为（

）.

A.甲<乙<丙

B.丙<乙<甲

C.乙<丙<甲

D.甲=乙=丙

解析：对于②，延长AG，BK交于点N，得□GEKN，如图2.AG+GE+EK+KB=AG+GN+NK+KB=AN+NB.

同理，对于③，AD+DH+HF+FB=AD+DM+MF+FB=AM+MB，如图3.由“角边角”可以判定△ABC≌△ABN≌△ABM.所以有AC=AN=AM，CB=NB=MB.故甲、乙、丙三人行走路线的长度相等，选D.

二构造菱形

例2如图4，AB=AC=BD，∠A=100°，∠/B=20°.求∠C的大小.

解析：以AC，AB为边构造□ABEC.如图5.因AB=AC，故□ABEC是菱形.因∠A=100°，故∠ABE=∠ACE=80°.因∠B=20°.故∠EBD=80°-20°=60°.又AB=BD，AB=BE，则BD=BE，△BED是等边三角形，∠BED=600.所以∠DEC=∠BEC-∠BED=100°-60°=40°.而CE=BE=DF，所以∠ECD=180°-40°/2=70°.所以∠ACD=80°-70°=10°.即为所求.

三构造矩形

例3如图6所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC.∠BCD=124°.∠DEF=80°.求∠AFE的度数.

解析：构造如图7所示的矩形GHMN.∠BCD=124°.可求得∠1=56°.∠G=∠H=90°.∠1+∠GBC=90°.AB⊥BC， ∠ABC=90°.因∠2+∠GBC=90°，故∠1=∠2.∠CDE=∠BAF=∠2+∠H=146°.因六边形ABCDEF的内角和为720°，∠DEF=80°，所以∠AFE=134°.

点拨：要求∠AFE的度数，关键是求∠CDE，∠BAF的度数.由CD∥AF，AB⊥BC，联想到“一线三直角”模型，通过构造矩形，将六边形问题转化为平行四边形中的矩形问题.事实上，若注意到CD//AF，∠CDE=∠BAF，通过延长AB，DC及AF，DE，构造平行四边形，同样可以使问题解决.