平行四边形与三角形

田载今

平行四边形被定义为两组对边分别平行的四边形.由这个定义出发，可以证明平行四边形被其一条对角线分为一对全等三角形，从而得出平行四边形的“对边相等”“对角相等”.由此又可以继续证明平行四边形被其两条对角线分为两对全等三角形，从而得出平行四边形“对角线互相平分”，回顾这样的研究过程可以发现.虽然三角形是最简单的多边形，但是它与平行四边形有密切的联系.认识平行四边形时，借助三角形来思考是非常有效的方法，符合“化繁为简，由简求繁”的认识事物的原则.

人民教育出版社

一 借助三角形研究平行四边形德性质

平行四边形除了具有“对边相等”“对角相等”“对角线互相平分”这些基本性质，还有一些其他性质，它们的发现与证明往往也会借助三角形.

同学们都知道，平行四边形“对边相等”“对角线互相平分”.但平行四边形的边与对角线在长度上有什么关系吗？

“由特殊到一般”是研究问题常用的方式.我们不妨从菱形这种特殊的平行四边形入手来思考，

如图1. 在菱形ABCD中，对角线互相垂直平分.根据勾股定理，在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=（AC/2）2+（BD/2）2=AC2+BD2/4，于是4AB2=AC2+BD2.又由菱形各边相等，得4AB2=AB2+BC2+CD2+DA2，于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.这就是说，菱形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

对于矩形，也可证明它有上述性质，矩形和菱形都有上述性质，那么一般平行四边形很可能也有此性质.上面的思考中借助了直角三角形，对一般平行四边形不妨也照此思考.

如图2，作□ABCD的高线DE和CF.根据勾股定理，在Rt△AFC中.AC2=AF2+CF2=（AB+BF）2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF;在Rt△BED中，BD2=BE2+DE2=（AB-AE）2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE.由DE⊥AB，CF⊥AB，AB//DC，得DE=CF（平行线间的距离相等）.又AD=BC（平行四边形对边相等），故有Rt△AED≌Rt△BFC，AE=BF.又AB=DC（平行四边形对边相等），于是AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.这就是说，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

在上面的探究中，勾股定理和全等三角形发挥了重要作用.

事物之间的联系是双向的.一方面，利用三角形可以研究平行四边形的性质;另一方面，利用平行四边形的性质也可以解决三角形的问题，请看下例.

例1 如图3，点P在□ABCD内，△APD和△APB的面积分别为4和8.求△APC的面积.

分析：△APC的面积等于□ABCD的面积之半减△APD和△DPC的面积，如果能利用平行四边形的性质，理清图中各三角形面积之间的数量关系，便可使问题得解.

解：记△APD，△APB，△BPC和△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1=4，S2=8.如图4，过点P作□ABCD的高EF，则S2+S4=1/2PE·AB+1/2PF·DC.电AB=DC，得S2+S4=1/2（PE+PF）·AB=1/2EF·AB，此即□ABCD面积之半.于是S1+S3=S2+S4，进而得S3-S4=S2-S1=8-4=4，故53=S4+4.记△APC的面积为s.由对角线将平行四边形分为两个全等三角形，得S1+S4+.S为平行四边形面积之半，即S1+S4+S=S1+S3，进而得S4+S=S3=S4+4，所以S=4.

借助三角形来判定平行四边形

判定一个四边形是平行四边形，可以依据平行四边形的定义（对边平行），还可以看其是否满足“对边相等”“对角相等”“两条对角线互相平分”“一组对边平行且相等”这些判定条件中的任何一个.这些判定条件的推导过程大都利用了全等三角形（见教科书）.

在更复杂的平行四边形判定问題中，为了使用定义或判定条件，往往也要借助三角形创造条件.

例2 如图5，点D和点E分别在等边△ABC的边AB和BC上，BD=CE.以AE为一边作等边△AEF.四边形CDFE是平行四边形吗？如果是，给出证明;如果不是，说明其中的理由.

分析：要判断四边形CDFE是否为平行四边形，须看它是否满足平行四边形的定义或判定条件.问题中已知两个等边三角形，利用等边三角形各边相等和各内角都等于60°，可以证明图中有全等三角形，进而可以通过对应边或对应角的相等进行判断.

解：四边形CDFE是平行四边形，理由如下：

连接BF.如图6.由AB=AC，AF=AE，∠FAB=60°-∠BAE=∠EAC.得△AFB≌△AEC.BF=CE.≌FBA=≌ECA =60°.又BD=CE=BF，故△DFB是等边三角形.FD=BD=EC，∠FDB=600=厶DBC，FD//EC.根据FD∥=EC，可知四边形CDFE是平行四边形.

从上面的证明可以看出，有些判定平行四边形的问题，不是简单地使用定义或判定条件就能解决的，而往往要构造出有利于分析和解决问题的三角形.

相对于一般三角形而言，直角三角形和等腰三角形是特殊的三角形，等腰直角三角形是更特殊的三三角形.相对于一般平行四边形而言，矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形是更特殊的平行四边形.特殊的三角形与特殊的平行四边形之间有密切的联系，矩形可以看作两个全等的直角三角形将斜边重合而成;菱形可以看作两个全等的等腰三角形将底边重合而成，或看作四个全等的直角三角形将直角边重合而成：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形将斜边重合而成，或四个全等的等腰直角三角形将直角边重合而成.因此，研究特殊平行四边形时，特殊三角形就成为了常用的工具.

例3 试用一张长为2、宽为1的矩形纸条，折出一个面积为1/2的正方形.说明你的做法，并证明其正确.

分析：面积为1/2的正方形的边长为√2/2，对角线为1.它可由两个斜边为1的等腰直角三角形，将斜边重合而拼成.以此为思考的切入点，可得如下做法（做法说明和证明略）.

可以看出，等腰直角三角形在上例的解答中发挥了不可或缺的作用.利用对角线把平行四边形转化为两个全等的三角形，也为面积的转换提供了方便.请看下例.

例4 如图8，四边形EFGH的面积为5.它的顶点分别在正方形ABCD的四条边上，EG=3，FH=4.求正方形ABCD的面积.

分析：如果能把已知条件与正方形的边长联系起来，则能使问题得解.

解：如图9，分别以点E，F，G，H为一个端点，作与正方形的边平行的线段，这些线段的另一端点落在正方形的边上，根据矩形定义可知，这些线段相交构成大小不等的多个矩形，并使图中又出现了一些三角形，四边形EFCH由Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL，Rt△HEI和矩形IJKL组成，这四个直角三角形和矩形IJKL的面积之和为5.矩形IJKL的面积为IJ·JK.设正方形ABCD的边长为x，由勾股定理得IJ·JK=√42-x2·√32-x2.注意到矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG各自都被对角线分为两个全等的直角三角形，这四个矩形面积之和等于Rt△HEI，Rt△EFJ，Rt△FGK，Rt△GHL面积之和的2倍，由此可知，5x2等于矩形AEIH，BFJE，CGKF，DHLG面积之和加上2乘矩形IJKL的面积，此即正方形ABCD的面积加矩形IJKL的面积.列式表示即5x2=X2+√42-x2·√32-x2，于是移项整理得10-X2=√（16-x2）（9-x2）.两边平方，得100-20x2+x4=144-25x2+x4，解得正方形的面积x2=44/5.

在此例中，添加辅助线后出现的矩形和三角形，为发现面积中的数量关系创造了条件，

综上所述，三角形这个基础图形虽然简单，但它对进一步学习其他复杂的图形非常有用.同学们应注意利用三角形来研究图形问题.