陶哲轩：数学不只是严密和证明

著名澳籍华裔数学家、菲尔兹奖获得者陶哲轩，最近谈了他对数学学习的一些认识.他说，学校刚教授数学时往往会采用一种直观的、非正式的方法（比如用斜率和面积来表述导数和积分）.然后再告知学生要用更精确和正式的方法（比如用ε和Δ描述导数）来解决和思考问题.他认为，知道怎样严格地进行推理当然很重要，因为这可以使你避免某些常见错误，排除一些错觉.但不幸的是，这也把由“模糊式”和直觉式思考能得到的那种意料之外的结果，因为“不严格”而抛弃了.通常，如果一个人把天生的直觉给抛弃了，那他只能做一些常规的数学了.

他指出，严密，不是说把直觉都扔掉，而是用来把那些错误的直觉剔除掉，提取和保留正确的直觉.只有把严格的形式和直觉结合起来，才能解决复杂的数学问题：前者用来正确地解决一些细节问题，后者用来把握整体.缺少两者中的任何一个，都会让你在黑暗中摸索很久（虽然这也许行得通，但效率很低）.所以，在你熟悉严密的数学思考方式之后，应该重新发挥你的直觉，并运用你新掌握的思考技巧来检查和提炼這些直觉，而不是抛弃它们.学生要达到的理想状态，是每次探索式的论证都能自然而然地导出严格的论证，反之亦然.

（褚桂营 整理）