Fisher分布一致渐近正态性

毛第首，李开灿

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 引言

在数理统计中，讨论随机变量的分布是极其重要的。对于重要分布Fisher分布，其详概念和性质见文[1]，Fisher分布在可靠性理论领域的寿命实验中的应用[2]、人工智能领域极化SAR图像识别处理[3]、雷达信息检测[4]、流形的几何结构[5]等实际运用上具有重要意义。

由于目前还未见到Fisher分布函数表，这使得我们对Fisher分布的运用不是很方便。在文献[6]中李江平运用中心极限定理证明了Fisher分布的样本均值的渐近正态分布，但未讨论Fisher分布的一致渐近正态性，所以像其他分布一样讨论Fisher分布渐近正态对运用是有意义的.在文[7～8]中利用Kullback-Leibler距离的新方法，比较两个密度函数的距离，证明了χ2分布、t分布、F分布、矩阵 Gamma 分布的一致渐近正态分布的条件。

本文将先讨论Fisher的相关性质，并计算它与正态分布密度函数之间的Kullback-Leibler距离，获得Fisher分布的一致渐近正态分布条件。

1 Fisher分布概念及相关性质

为了本文研究方便，本节将给出Fisher分布的定义和数值特征及相关性质;同时给出了Fisher分布和t分布的关系。

定义1 如果随机变量X具有以下密度函数：

其中a,b为参数(a>0,b>0)，Γ(·)为Gamma函数,则称X服从Fisher分布，记作X～Z(a,b).

为了本文研究需要，先讨论Fisher分布期望与方差。

性质1 若X～Z(a,b)，则有

(a>0,b>1)

(a>0,b>2)

证明：由k阶矩的定义有

所以

从而

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2

证毕。

性质2

此性质证明见文献[1]

证明：根据分布函数定义

由于被积函数是偶函数，所以

由t分布的分布函数与密度函数的关系，上述结论成立。

从上述性质2中3)可知Fisher分布与F分布具有紧密联系，在Fisher分布中，参数a,b与F分布的自由度n1,n2相关。并且在F分布中，当自由度n1,n2→∞时，F分布渐近标准正态分布。所以同样考虑Fisher分布中参数a,b→∞时，讨论Fisher分布的一致渐近正态分布。

2 相关引理

为了讨论Fisher分布的一致渐近正态性，还需要引用相关概念和引理。

定义2 在(R+,BR+)中随机变量X,Y分别具有概率密度函数f(x)，g(x),则f(x),g(x)之间的Kullback-Leibler距离为：

定义3 在(R+,βR+)中随机变量X,Y分别具有分布函数F(x),G(x)令

则概率密度函数f(x),g(x)的全变差距离为：

D(f,g)=sup|F(E)-G(E)|E∈BR+

引理1

其中：

而

此引理证明见文献[10～11].

3 主要结果

通过计算，本节将得到Fisher分布的相关期望并给出Fisher分布一致渐近正态分布的条件。

定理1 若X～Z(a,b)，则有

证明：由于

(1)

第一步对式(1)两边对a求导数：

即得到

(2)

第二步对式(1)两边对b求导数：

从而得到

(3)

联合式(2)(3)得到

定理得证。

证明：由于f(x)为X～Z(a,b)的密度函数，记g(x)为正态分布

的概率密度函数，根据关系式

根据两个分布密度函数之间的Kullback-Leibler距离定义：

代入定理1结论得到

(4)

其中：

由引理1可知：

(5)

(6)

(7)

将上述式(5)(6)(7)代入式(4)得

由于

由引理1可知

T(a)→0,R(a)→0,T(b)→0,R(b)→0,T(a+b)→0,R(a+b)→0

则有

I(f,g)→0

定理得证。

4 结论

李江平文中只讨论Fisher样本均值运用大数定律及中心极限定理渐近标准正态分布，并没有讨论Fisher分布的一致渐近正态性，而本文利用Fisher分布与正态分布的Kullback-Leibler距离，获得了Fisher分布的一致渐近正态性。