等效刚度对非线性压电俘能系统性能影响研究

方 飞， 夏光辉， 汪 权， 王建国

(合肥工业大学 土木与水利工程学院，合肥 230009)

1 引 言

压电俘能技术为微机电子系统自供电提供了一条切实可行的途径。对于线性模型，一旦环境激励频率偏离俘能器的共振频率，环境振动的机械能转换为电能的效率将会降低[1-4]。在俘能器设计中引入非线性，可以提高俘获器的效率和拓宽工作频带[5-8]。

一些学者利用线性模型对压电俘能器的结构优化设计问题进行了研究[9-15]。文献[11]研究了质量块的尺寸、梁的长度、宽度和厚度等几何参数对俘能器输出功率的影响。文献[12]研究了被动层(基层)厚度与主动层(压电层)厚度比对俘能效率的影响。文献[13]通过实验研究了压电层厚度和极化条件对俘能器的影响。文献[14]研究了结构性能与线性俘能器的关系，通过控制材料特性、结构形式和不同厚度比等参数实现俘能器的最佳性能。

本文基于广义Hamilton原理，考虑几何非线性和梁的不可伸长条件，建立了直接和参数激励作用下俘能器的运动微分方程。利用Galerkin法和谐波平衡法得到了俘能器的位移、输出电压和输出功率的解析解。引入随时间变化的无限小扰动，提出了非线性方程解的稳定性条件。假定梁的长度、宽度和厚度不变，研究基层和压电层的配置方式、基层与压电层的厚度比和弹性模量对俘能器性能的影响。

2 力学模型

对于共振条件下线性悬臂式压电俘能器，文献[14]提出最优俘获功率P具有如下形式，

(1)

P∝A2ωnYI/(4L4ζ)

(2)

式中YI为梁的等效弯曲刚度。当梁的长度、宽度、厚度、阻尼比、激励幅值A和自然频率ωn不变时，式(2)表明最优俘获功率与YI成正比。等效弯曲刚度YI与压电复合梁被动层的配置方式以及基层和压电层的弹性模量有关。

图1(a)表示悬臂式压电双晶片俘能器受到水平和垂直激励。梁由被动层(基层)和主动层(压电层)组合而成，假设主动层与被动层紧密结合，主动层上下表面铺设电极，其厚度忽略不计。主动层上下表面的电极与外部电阻RL采用串联方式连接。梁的长度为L，宽度为b，厚度hb=2tp+ts，tp为单层压电层的厚度,ts 1为位于顶部和底部压电层的基层厚度，ts 2为位于两压电层之间的基层厚度。梁厚度方向的被动层配置形式分为两种。(1) 五层双晶片叠合梁(图1(b))，ts=2ts 1+ts 2为基层的总厚度；(2) 三层双晶片叠合梁(图1(c))，ts 1=0，ts=ts 2。

OXY为惯性坐标系，梁在固定端水平方向和垂直方向的位移分别为wx(t)和wy(t)。oxy为设置在固定端的局部坐标系，s为沿梁的中性轴的坐标，v(s,t)和u(s,t)为沿着y和x方向梁的位移。

基层和压电层本构关系为[2,3]

(3)

将梁的不可伸长条件(1+u′)2+v′2=1作为约束条件,力电耦合问题变分原理为[8]

(1+u′)2] ds}dt=0

δu(x,t)=δv(x,t)=0

δq(t)=0(0≤x≤L,t=t0,t1)

(4)

式中λ为Lagrange乘子。梁的动能Tk、应变能Ue、电能We和外力功的变分δW分别表示为[8]

图1 压电悬臂梁的俘能结构模型

(5)

(6)

(7)

(8)

考虑几何非线性，梁的应变表示为

(9)

按照文献[8]的推导过程，将式(5～8)代入 式(4) 并利用式(3，9), 获得在直接和参数激励作用下，五层压电双晶片悬臂式俘能器的运动微分方程为

(10)

(11)

α=Ypbd31(ts 2+tp)/2

(12)

式中h=ts 2/2。当ts 1=0,ts 2=ts时, 五层压电叠合梁退化为三层压电叠合梁，由方程(12)可获得三层压电叠合梁的YI和α。

引入如下量纲为一的参数。

(13)

设悬臂梁量纲为一的位移函数为

(14)

考虑谐波激励

(15)

式中εx为量纲为一的参数激励幅值，δy为量纲为一的直接激励幅值，Ψ为相位角,τ为时间变量。

将式(13～15)代入式(9，10)，并利用Galerkin法和振型函数的正交性条件，式(9，10)转换为力电耦合的Mathieu-Duffing方程为

(16)

(17)

(18)

式中b1,b2,…,b11为利用Galerkin法将式(10，11)转化为式(17，18)过程中产生的系数，具体推导及形式见文献[8]。

3 近似解析解

利用谐波平衡法求解方程(16，17),引入量纲为一的激励频率ω，ωh=2ω，ωv=ω，设稳态位移和电压响应为

A(τ)=a1(τ)sinωτ+c1(τ)cosωτ

(19)

(20)

将式(19,20)代入式(16,17)，比较同阶谐波cosωτ和sinωτ的系数，忽略高阶项，得到以向量x=[a1c1a2c2]T为未知量的非线性代数方程组有

(21)

式中

G=

(22)

(23)

电压幅值-频率响应为

(24)

功率幅值-频率响应为

(25)

4 解的稳定性分析

式(23)的解可能包含不稳定解，因此需要建立解的稳定性条件。利用矩阵G的逆矩阵，式(21)可表示为

(26)

为了确定由式(23)求出稳态解xs的稳定性，本文添加一个无限小扰动，然后确定扰动是增长还是衰减。设

x=xs+δx

(27)

式中xs为稳态解，δx为随时间变化的无限小扰动。将式(27)代入式(26)得

(28)

利用泰勒公式展开式(28)的右端，忽略含有(δx)2和(δx)3及以上各项，得

(29)

考虑式(26)在xs处的表达式，然后将式(29)与式(26)相减，得到一组变量为δx的线性常系数常微分方程为

(30)

设无限小扰动具有如下形式

δx=Cexpλτ

(31)

式中C为常数向量。将式(31)代入式(32)，可获得判定稳态解是否稳定的方法，即求解Jacobian矩阵

J=∂P/∂x|x =xs

(32)

获得在稳态解xs处的特征值λ。解的稳定性判别条件为，若特征值λ的实部均为负值，则相应的解是稳定的，否则为不稳定解。

5 数值分析结果与讨论

在不改变俘能器的几何尺寸(梁的长度、宽度和厚度)前提下，研究材料常数、被动层(基层)与主动层(压电层)的厚度比rs p=ts/2tp以及被动层配置的厚度比rs=2ts 1/(2ts 1+ts 2)对俘能性能的影响。取Ψ=0，相关几何和材料参数为

L=50 mm,b=20 mm

hb=0.6 mm，εx=δy=0.0165

5.1 厚度比rs p参数对俘能效果的影响

针对三层压电双晶片叠合梁(rs=0)，图2采用钴合金作为被动层，图3采用钢作为被动层，取不同的阻抗RL，获得不同厚度比rs p情况下的功率频响曲线。以实线表示稳定解，虚线表示非稳定解。可以看出，随着rs p的增加，功率峰值先升后降，存在最优厚度比rs p使系统俘获能量达到最优值。钴合金与压电材料具有相同的密度和相近的弹性模量，对于不同的rs p，峰值输出功率均较小。钢材与压电材料具有相近的密度，但钢材弹性模量大于压电材料弹性模量，对于不同的rs p，峰值输出功率较大。由此得到如下结论，采用高弹性模量材料作为被动层，提高了压电复合梁的等效刚度，获得了较大的峰值输出功率。该结论与方程(2)的理论预测一致。

图2 钴合金作为基层功率随rs p变化频响曲线(RL=100 k Ω，)

图3 钢作为基层功率随rs p变化频响曲线

从图2和图3可以看出，对于不同被动层材料和不同阻抗，输出功率是不同的，但均存在最优的基层与压电层的厚度比rs p，但最优的rs p不同。

图4为采用钴合金和钢材作为被动层的压电俘能器峰值功率随阻抗的变化曲线，图4的横坐标为常用对数坐标。峰值功率通过扫频获得。对于不同的阻抗，产生峰值功率所对应的频率是不同的。可以看出，钴合金与压电材料具有相近的弹性模量和密度，对于不同厚度比，峰值输出功率的最大值变化很小；钢材与压电材料密度相近，弹性模量差异较大，对于不同厚度比，峰值功率的最大值变化很大。

由图4可知，当被动层与主动层材料的弹性模量和密度相近时，厚度比rs p对峰值功率的最大值的影响较小；被动层与主动层材料的弹性模量相差较大时，厚度比rs p对峰值功率的最大值的影响较大。在俘能器设计中需要仔细选择厚度比rs p和阻抗，以确保俘能器的输出功率达到最大。

5.2 被动层配置的厚度比对俘能器性能的影响

针对五层压电双晶片叠合梁进行研究，并与三层压电双晶片叠合梁俘能效果进行了分析对比。设梁的总厚度为常量，被动层与主动层厚度比rs p=2，研究被动层配置的厚度比rs=2ts 1/(2ts 1+ts 2)对俘能效果的影响。rs的取值范围为0～1，当ts 1=0时，rs=0，五层压电双晶片叠合梁退化为三层压电双晶片叠合梁。

图4 不同材料作为基层时峰值功率随RL变化曲线

图5采用钴合金作为被动层，图6采用钢作为被动层，令rs p=2，短路谐振RL=500 Ω和开路谐振RL=100 k Ω时，得到不同被动层厚度比rs影响下系统的功率频响曲线，可以看出，随着rs的增加，不论是在短路谐振还是开路谐振，部分曲线存在非线性多值性，功率峰值先升后降，存在一个最优厚度比rs，使系统俘获能量达到最大值。

图5 钴合金作为基层时功率随rs变化频响曲线(rs p=2)

图6 钢作为基层时功率随rs变化频响曲线(rs p=2)

图7和图8的横坐标为常用对数坐标。采用钴合金作为被动层材料，图7为对应于rs p=2和不同的rs的峰值输出功率随负载电阻RL的变化曲线。可以看出，对应于不同rs的峰值输出功率，随负载电阻RL的变化曲线存在两种不同的情况。(1) 当rs=0,0.25,0.5，0.75时,曲线具有两个峰值；(2) 当rs=1时，曲线仅有一个峰值，且随着rs的增大峰值输出功率变化不大，但对应负载阻抗不同。

采用钢作为被动层材料，图8为对应于不同rs的峰值输出功率随负载电阻RL的变化曲线，随着rs的增大共振峰值增大，rs=0.75时峰值最大。可以看出，当rs p=2时，曲线存在两种不同的情况。(1) 当rs=0,0.25,0.5时,曲线具有两个峰值；(2) 当rs=0.75，1.0时，曲线仅有一个峰值。

图7 钴合金作为基层时峰值功率随RL变化曲线(rs p=2)

图8 钢作为基层时峰值功率随RL变化曲线(rs p=2)

由图7和图8可知，采用钴合金作为被动层材料，被动层与主动层具有相近的弹性模量，厚度比rs对梁的刚度影响较小，因而对峰值输出功率的最大值影响不大；采用钢作为被动层材料，被动层与主动层的弹性模量相差较大，厚度比rs对梁的等效刚度影响较大，因而提高了峰值输出功率。上述结论与方程(2)的理论预测一致，这也验证了理论模型的正确性。rs=0时，五层压电双晶梁退化为常规的三层压电双晶梁。从图5～图8可以看出，五层压电双晶片叠合梁俘能效率明显高于三层压电双晶片叠合梁。通过合理选择rs，可以提高俘能效率。

6 结 论

(1) 建立了直接和参数激励作用下非线性五层压电双晶片叠合梁俘能器的运动微分方程。利用Galerkin法和谐波平衡法获得了俘能器的解析解。引入随时间变化的无限小扰动，提出了非线性方程解的稳定性条件。

(2) 当被动层的弹性模量大于主动层的弹性模量时，选择合理的被动层和主动层厚度比rs p，提高了压电复合梁的等效刚度，可以获得较大的峰值输出功率，改善了俘能器的俘能效率。

(3) 在厚度相同的条件下，合理选择rs和rs p可以提高梁的等效刚度，五层双晶片俘能器的俘能效率优于三层双晶片俘能器。