问题教学在定积分应用中的探究

（陆军步兵学院基础部 江西·南昌 330100）

0 前言

定积分应用是高等数学最重要的内容之一，与微分与积分知识都密切相关。因此如何讲好定积分的应用，让学员理解并掌握微元法的基本思想和计算方法，同时通过对该内容的教学提高学员的能力，是一个值得研究的课题。本文结合自己的教学实践，探讨在定积分应用教学中所采取的一些做法和体会。

所谓“问题教学法”，其核心思想是“内容问题化”，通过创设问题情境引导学员发现问题、分析问题、解决问题并总结提高的教学方法。问题教学法的实施要充分体现“以学员为主体，以教员为主导，以问题为核心，以研究为过程”的原则。该教学模式的提出符合“将未知转化为已知”的思维模式。其中创设问题情境和问题提出属于未知区，解决问题和总结提高属于已知区，而分析问题的过程属于过渡区。教学的过程就是发现问题、分析问题、解决问题、总结提高、再发现新问题这样一个循环往复、螺旋上升的过程。问题教学的闭环教学实施模式和闭环思维模式构建成问题教学一“明”一“暗”两个闭环。

1 问题教学法在定积分应用中的设计思路

定积分应用这一块的主要内容是理解并掌握微元法的基本思想和计算方法，其中理解并如何正确的选取微元是问题的关键，对学员来说也是一个难点。因此，此次课问题设计的核心是微元法。我的教学对象是军校学员，已经学习过定积分的概念、几何意义和计算方法，具有一定的归纳、概括和类比思维能力，同时对定积分的应用表现出强烈的求知欲，渴望探究定积分知识的用途。

为此我的设计思路是：

创设情境：通过具体军事案例引入定积分的一个应用创设情境。

提出问题：通过对情境问题分析，转化成数学问题“如何计算曲线的长度”。

分析问题：通过对曲线弧长的“分割、近似、求和、取极限”四步构建出弧长公式。

解决问题：利用建立的弧长公式求解问题。

总结提高：梳理求解问题思路，对比求解曲边梯形面积的过程。让学员感受用“分割、近似、求和、取极限”四步求解问题的繁琐。引导学员思考将过程中的四步简化成两步，即“微”和“积”的过程，进一步提炼出微元法，并介绍微元法的思路。

新的问题：如何用微元法求解曲边梯形的面积？

2 问题教学法在定积分应用中的实施

2.1 创设情境

我们知道定积分在几何学、物理学、工程技术及其他领域中都有广泛地应用。现在我们看一个具体的实例：某集团军进行迫击炮单人操炮简易射击法训练，在射击训练中，命中率与射程有很大关系，而射程又与发射角有关，当发射角不同时，射出的炮弹所经过的路程是不同的，要使炮弹所经过的路程最长，该发射角如何确定呢？

2.2 提出问题

2.3 分析问题

分析问题是问题教学的关键，学员发现想要直接求出曲线的长度很困难，这时教员引导思路，回忆求解曲边梯形面积，加以借鉴。通过对比曲边梯形面积的求法得出曲线弧长公式。在推导过程中可以提出微元的思想，为后面介绍微元法的思路埋下伏笔。在具体求解问题时可以采用数学建模的思维展开教学，通过炮弹的参数方程得到弹道的长度表达式它能取到最大值的必要条件是

2.4 解决问题

上面分析了问题的求解过程，在只考虑重力时，只要从ln(sec+tan)=csc中求解出发射角，就可以得到炮弹的最长射程。在这个问题求解的过程中曲线弧长的计算非常关键，我们用了四步，请大家思考一下这样求解问题复杂吗？能不能简化？实质上在求解具体问题时，只要抓住两步便可，作微元和求积分，即“微”和“积”的过程，做微元：在区间上任取一点，在区间作微元，使得求积分：在区间上对的微元无限累加，即这种通过简化的过程称为微元法。一般一个在一定范围内连续变化的总量问题都可以考虑用定积分表示。而建立这些量的重要方法是微元法。微元法思想是定积分应用中的基础。

2.5 总结提高

微元法的理论依据是定积分概念中求整体量的精确值过程，本次课从具体的军事案例出发，把所求量表示成定积分的求解方法。在此过程中我们要用到微元法，它不仅简便实用，而且准确可靠，是利用定积分求解问题的常用方法。学完本次课大家要清楚两个问题：一，什么问题可以用定积分解决？二，如何应用定积分解决问题？请大家总结发言。学员通过预习和听课，大部分都能很好地回答。

2.6 新的问题

通过前面的讲解，提出新问题“微元法在几何学、物理学上还有那些应用呢？”承接后面课程的学习。

3 结语

问题教学法与目前高校数学教学改革方向在根本上是一致的。将问题教学法理论应用到数学的教学尚处于探索阶段，还没有成熟有效的教学方法。问题教学法的内容很丰富，改革教学不能完全照搬照抄国外经验，要结合国内教学的实际情况，注重教学方式的改变，尽量使数学内容问题化、情景化、过程化，让学员在“主动学”的基础上，能够“开心学”。在军校高等数学的教学中引入问题教学法的教学模式，可以有效提高学员的自主学习能力，同时对教员的教学方法也是一种考验。