曲边三角形上的Baskakov型算子
2013-08-15
(杭州电子科技大学数学研究所，浙江 杭州310018)
0 引 言
算子逼近是数学研究领域中的重要课题。它在许多行业都有广泛的应用，如机械制造、动力系统分析、导弹轨迹等。Baskakov算子是由Baskakov 利用概率论的几何分布提出来的一类新的算子。近年来Baskakov算子在国际数学界又引起了广泛的兴趣，并取得了重要的研究成果[1-5]。同时随着q-Bernstein 算子的提出，又有人提出了q-Baskakov算子，并得到了这些方面的很多很好的性质[6，7]。关于插值逼近在许多算子逼近的研究中也有应用[]7 。样条分析在实际应用中更具有一般而直观的效果。曲边三角形在算子逼近中的应用也受到了广大学者的青睐。文献8 中给出了Bernstein 算子在曲边三角形中的逼近性质研究，并且得到了很好的结果。本文利用Baskakov算子在曲边三角形上的逼近性质，给出相应逼近结果。
1 相关定义
在区间[g2(y)，g3(y)]和[f1(y)，f3(y)]，x ∈[0，h]上来探讨，定义插入点:Δxm=并定义Baskakov算子Vxm和Vyn分别为:其中:pn，k(x，y)=这样可以看到，Vxm表示的是一个从V1开始沿不同路径到达横坐标轴的一系列点列构成的点阵 (eij);同时Vyn表示的是从V2开始到达纵坐标轴的一系列点构成的点阵 (eij)。
2 主要结论及证明
定理1 对于定义在曲边三角形Th上的实函数F，以上定义的Baskakov算子Vxm和Vyn具有下列Korovkin型性质:
(1)在γ2∪γ3上，有:VxmF 收敛到F，即VxmF=F;
(2)在γ1∪γ3上，有:VynF 收敛到F，即VynF=F;
(3)对 于 Vxm，在点阵上有:
(4)对 于 Vyn，在点阵上也有:和
证明 (1)由上面关于pm，i(x，y)和pn，j(x，y)的定义，并且经典的Baskakov算子满足Korovkin 定理知道此时有:同理对于pn，j(x，f1(x))有:pn，j(x，f1(x))1，这样:VynF=F。
(2)在γ1∪γ3上，对于VynF 利用上面的证明可知:VynF 收敛到F 即VynF=F 成立。
(4)同(3)的证明过程，结论显然。
定理2 设F(·，y)∈C[g2(y)，g3(y)]，y∈[0，h]，那么:
其中ω (F(·，y);δ)和ω (F(x，·);η)表示是实值函数F (·，y)和F (x，·)关于自变量x和y的一阶连续模。
同理(2)亦证得。
证明 这两个结论完全对称，所以这里只给出(1)的证明，(2)的证明类似。
其中:δ和η表示不同于δ1和δ2的常数。这个结果与定理中仅是符号的区别，得证。
3 结束语
本文通过构造的曲边三角形，利用Baskakov算子的性质研究了Baskakov算子在曲边三角形上的逼近效果，对沿不同路径下Baskakov算子之间的逼近效果做了比较，同时也考虑了不同路径下的相互作用效果。
[1]Govil N K，Gupta Vijay.Convergence rate for generalized Baskakov type operators[J].Non-linearAnalysis，2008，(2):3 795-3 801.
[2]Antonio-Jesús，López-Moreno，José-Manuel，etal.Localization results for genera-lized Baskakov /Mastroianni and composite operators[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，(3):425-439.
[3]Ayşegül Erençin.Durrmeyer type modification of generalized Baskakov operators[J].Applied Mathematics and Computation，2011，(6):4 384-4 390.
[4]Gupta Vijay，Yadav Rani.Rate of convergence for generalized Baskakov operators[J].Arab Journal of Mathematical Sciences，2012，(4):39-50.
[5]Verma D K，Vajay Gupta，Agrawal P N.Some approximation properties of Baskakov-Durrmeyer-Stancu operators[J].Applied Mathmatics and Computation，2012，(3):6 549-6 556.
[6]Phillips G M.Bernstein polynomials based on the q-integers[J].Annals of Numerical Mathematics，1997，(4):511-518.
[7]Zoltán Finta，Vijay Gupta.Approximation properties of q-Baskakov operators[J].Cent Eur J Math，2010，8(1):199-211.
[8]Petru Blaga，Teodora Cǎtinaş.Gheorghe Coman，Bernstein-type operators on a triangle with all curved sides[J].Applied Mathmatics and Computation，2011，(9):3 072-3 082.
