培养山区农村初中生几何解题能力的教学尝试

覃镐生

摘 要：教师在教学中培养山区农村初中学生几何解题能力，帮助学生建立完整的解题体系。解题步骤：第一步，教育学生学会审题。第二步，教育学生重新画图。第三步，教育学生在重新画的图形上标出已知的数据。第四步，教育学生采用适当的方法解决几何问题。1. 教育学生用顺推证法解题。2.教育学生用逆推法解题。3.教育学生用两边齐头并进法解题。通过多次反复训练和培养，就一定能养成良好的几何解题能力的习惯。

关键词：培养 几何解题能力 教学尝试

新课程标准的课程总目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”一线数学教师在几何课堂教学时是否落实这个目标，成为评价一节课成功与否的标准之一。这里的基本技能在平面几何教学中包括解题技能。培养山区农村初中学生几何解题能力，帮助学生建立完整的解题体系，成为每个教师都必须努力的方向。

目前，本人工作的地方处于山区农村地区，山区农村初中学生普遍存在这些情况：面对几何题目不爱动手，不爱动口，不会思考，给教师的教学工作造成了很大障碍。本人从培养山区农村初中生几何解题能力的教学尝试和大家探讨。

第一步，教育学生学会审题。相信很多山区农村教师都会遇到这样的问题：山区农村初中生理解能力和阅读能力非常低下，学生读题花了很多时间，造成课堂教学效率不高。造成这种情况的原因是学生不会审题。审题即是根据题目，弄清哪些是已知条件和题目所要求证的是什么。审题是正确理解题目的前提。审题是阅读能力和理解能力的综合。在课堂教学时，教师可以通过让学生集体读题或者个别学生读题，再由学生讨论题目，讨论的内容包括已知的是什么，从已知条件可以得到哪些结论，题目涉及哪些知识点，最后得到解答题目的方法。

第二步，教育学生重新画图。教师要求学生在草稿纸上把题目中的图形重新画出来，这个过程中教师要求学生要把图形画得越标准越好。它的主要作用是通过学生动手操作画图，把题目中的已知条件经过大脑再次呈现出来，有利于学生综合运用已知条件解答题目。

第三步，教育学生在重新画的图形上标出已知的数据。把数据既形象又直观地展示出来。这里分两种情况：

①当已知条件中的量不相等时，在画出来的图形中把已知数据标出来。如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。 现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30?，∠ABD=45?，BC=50m。请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度。

图形标上数据后，对于学困生来说就很容易看出来哪些是已知的与哪些是需要求解的，还可以推导∠DAB=45与∠DAC=60，从而得到AD=BD。

②当已知条件中有相等的量时，用相同的符号把表示相等的量标出来。如2019年四川省成都市中考数学试卷第12题，如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为_____。

图形标上数据后，对于学生来说就很容易看出来AB和AC是相等的，∠BAD和∠CAE是相等的，通过推导得到∠B=∠C，从而得到△ABD与△ACE全等，得出BD=CE=9。

第四步，教育学生采用适当的方法解决几何问题。波利亚曾说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确，哪一个方向可接近它，就要试探各种方向和思路。”解决数学问题的方法多种多样，对于山区农村初中学生来说能解决问题的方法就是最好的。

1.教育学生用顺推证法解题。对于初中阶段的很多几何题目，都可以用顺推证法解决问题。一般，利用题目中的已知条件（包括隐藏着的条件）或者是某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法。综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”。如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE。（1）求证：△ADE≌△CED。

分析：要想证明△ADE≌△CED，结合题目给出的条件，由于四边形ABCD是矩形，所以得到AB等于CD，BC等于AD，再由折叠的性质可以得到AB等于AE，BC等于CE，综合上面两个结论得到AE等于CD，AD等于CE，得到两条边相等的情况下，根据全等三角形的判定条件，再找一条边或这两条边的夹角相等就可以证明这两个三角形全等。从题目的图形不难找到DE是公共边这一条件，证明的过程是遵循着分析的过程写出来的，从而解决了问题。

2.教育学生用逆推法解题。逆向思维是一种从问题的相反方向思考的思维方式。这种运用逆向思维的方式来解决问题的方法就是逆推法。逆推法是一种更容易体现学生思考和解决问题过程的方法。逆推法解决问题的目的性更强，对于山区农村初中生思考问题和解决问题的思路更清晰，书写解题的步骤更有条理。例题再现：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。（1）若∠POC=60，AC=12，求劣弧PC的长（结果保留π）;（2）求证：OD=OE。

分析：要想证明OD=OE，也就是证明两条线段相等，可以通过证明两个三角形全等得到全等三角形的对应边相等，即证明△AOD≌△POE。那么如何证明△AOD≌△POE呢？从题目的图形可以得到两个条件：①因为OA和OP都是圆的半径，所以OA=OP，②∠POE和∠AOD是对顶角，所以∠POE=∠AOD。再从题目中给出OD⊥AB，PE⊥AC，可以得到第三个条件∠ADO和∠PEO都是直角，即∠ADO=∠PEO=90。那么证明△AOD≌△POE的问题就解决了。证明的过程与分析的过程刚好相反，解决问题的目的性更强。

3.教育学生根据题目的已知条件和求证联想学过的知识点，再把这些结论串联起来。当遇到一些难度比较大的题目时适合运用这种方法，也就是当看到这道题时，一时间没有什么头绪，运用前面的几种方法都难以解决时，就从已知条件出发，用学过的知识点可以推出哪些结论，再由結论联想用哪些学过的知识才能推出这个结论，看能否串联起来。我把它称为两边齐头并进法。例题再现：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F。求证：AE=EF。

分析：首先从已知条件出发，四边形ABCD是正方形，可以得到AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠D，再从点E是边BC的中点，可以得到BE=EC，从图形和∠AEF=90°的位置关系可以推导出∠BAE=∠FEC，但依然没有办法推导出AE=EF。另一个方面我们从结论出发，要证明两条线段AE和EF相等，尝试证明两个三角形全等，但这里没有符合条件的两个三角形，只能通过构造出来。①过F作FG垂直BC，再证△ABE≌△EGF全等，显然是行不通，因为这两个三角形中没有对应边相等。②取AB的中点G，连接EG，证△AGE≌△ECF。这里可以推导出AG=EC=BG=BE，得到∠BGE=∠GEB=45，推导出∠AGE=135，从EF交正方形外角平分线CF于点F可以得到∠EGF=135，故∠EGF=∠AGE=135。再联合前面得到的∠BAE=∠FEC，AG=EC，从而得到△AGE≌△ECF，推出AE=EF。我们对于一时无法解决的问题，就要思考从两边入手，把推导的结果串联起来，眼前的问题会迎刃而解。

学生的几何解题习惯是通过多次反复训练和培养出来的，只要教师在教学中不断提醒，坚持不懈地努力奋斗，就一定能提高学生的几何解题能力，也会提高我们的数学教学的效果和质量。

参考文献

[1]朱刚.初中数学函数与几何综合题解题策略研究[J].中学数学，2019（20）：76-77.

[2]查书平.浅析综合法和解析法在初中几何解题中的应用[J].数学学习与研究，2019（15）：142.