偏导数在实际生活中的应用

摘 要：函数的偏导数是高等数学中的最基本的概念之一，也是高等数学中的核心概念之一，并且函数的偏导数有着极其广泛的应用。尤其是在实际生活中的应用是最常见的。本文主要探讨如何利用偏导数求解实际生活中的条件极值，最值等优化问题，以及最小二乘法的应用.如有不当之处，望读者给予批评指正。

关键词：偏导数;条件极值;最值;最小二乘法;生活应用

一、最优化问题

函数的偏导数是高等数学中最重要核心概念之一，其本质反映的是函数关于自变量中的

某一个的变化率问题。在实际的生活中，常常利用偏导数求条件极值，最值等最优化问题。

在多元函数极值问题中，当自变量各自独立不受任何限制时，通常称这种极值为无条件

极值. 然而在实际问题中，我们所遇到的许多关于极值问题，往往对自变量还有一定的条件进行约束，我们将这种自变量帶有约束条件的极值称为条件极值。

比如，在半径为R的圆的一切内接三角形中，求面积S最大的三角形。我们以 表示内接三角形各边所对应的圆心角，则所给问题其实就是求目标函数 ，在满足约束条件 下的极值问题，也就是所谓的条件极值问题。

求解条件极值，最直接的方法就是想办法将其转化为无条件极值来处理。比如，对于上述条件极值问题，我们可将约束条件 表示为 ，然后，将其代入目标函数中，得到 ，再求此二元目标函数在有界闭区域 上最大值。

然而，只有当约束条件可以表示为显函数形式的条件极值问题，才可以转化为无条件极值问题来求解，但是在实际应用中，许多情况是约束条件为隐函数的形式，我们很难将其表示为显函数，因此我们必须寻求更为有效的求解条件极值的方法，即拉格朗日乘数法。.

以二元函数为例，设函数 及 在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且 不同时为零，求目标函数 在约束条件 下的极值. 具体步骤如下：

第1步 构造辅助函数 ，称为拉格朗日函数，其中 称为拉格朗日乘数。

第2步 建立联立方程组

解出 ，其中 就是所求条件极值的可能极值点.

第3步 由实际问题本身的性质判定点 是否为极值点，进而求出极值.

注1：.拉格朗日乘数法对于多元目标函数，以及约束条件多个的情形也适用，但约束条件的个数一定要小于目标函数中自变量的个数;

目标函数的准确式，为了运算简便，可以适当简化 ，只要简化后的函数与原来的目标函数有相同的极值点与极值即可 .例如目标函数为 而约束条件为 ， 条件极值问题，拉格朗日函数可简化为 .

注3：拉格朗日乘数 前面的“+”号可以写成“-”号，此时 的值只差一个正负号

并不影响极值的取得.

例1.求在半径为R的圆的一切内接三角形中，求面积S最大的三角形.

由于半径为R的圆的一切内接三角形中一定存在面积S最大的三角形，而可能最大

面积的三角形只有一个，所以，当圆内接三角形为等边三角形时面积最大。

二.最小二乘法

在实际生活中，对于许多经济管理问题，经常需要研究某一种现象与影响它的某一个最主要因素之间的关系，比如在研究粮食产量时，在众多影响粮食产量的因素中施肥量是一个最重要的因素，需要研究粮食产量与施肥量之间的关系;在消费问题的研究中，由于国民收入是影响消费的最主要因素，需要研究消费额与国民收入之间的关系等等 .为了找出这类问题中两个变量之间的关系，往往根据两个变量的几组观测值或实验数据，找出这两个变量的近似表达式，一般称这样的表达式为经验公式 .而一旦建立了经验公式，我们就可以将理论应用于实践，利用经验公式对自变量或因变量进行控制或预测，而最小二乘法是确定经验公式中未知参数的常用方法。

例2 某企业为了了解这种商品的收益情况，收集了这种商品在市场上的销售量 （单位：千件）与获得的利润额 （单位：万元）的几组具体数据，如下表所示：

根据上表的数据建立 与 之间的一个能使上述数据大体适合的函数关系 .

为此，在平面直角坐标系中，根据表中的数据画出实际数据的散点图，从图中，我们直观分析这些点的分布规律. 如果这些点的连线大体在一条直线上，那么就用线性函数表示，否则就选取更为合适的其它非线性函数描述.

本例中，销售量 与利润额 的10组数据的散点图可见，这些点的连线大致接近于一条直线，因此可以认为 是线性函数，不妨设 其中 、 为待定参数.

参考文献

[1] 江霞平. 导数在生活中的应用举例[J]. 科技资讯，2013（15）.

[2] 罗蕴玲，安建业，程伟.高等数学及其应用，第2版.北京;高等教育出版社.2016

[3] 罗蕴玲，杨卓，王秀红，王颖，张景杰.伴你学数学---高等数学及其应用导学，第二版. 北京;高等教育出版社.2016

[4] 《高等数学》（第七版）上、下册，同济大学数学系编，高等教育出版社

[5] 《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社

作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。