运用“画说”策略 培养数学“四能”——以北师大版六年级《圆的面积（二）》教学为例

林英语

（晋江市实验小学，福建 晋江36220）

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》将发现与提出问题、分析与解决问题作为“四能”列入数学课程总目标，［1］由此带动数学“四能”培养的教学实践改革。在一系列教学实践改革中，教学者不断尝试与融入各种有创意的课堂教学策略，如“玩数学”“做数学”“演数学”等等，期望以多元化的策略促进学生数学“四能”的发展，突破“听数学”“算数学”等传统教学策略在能力培养上的局限。以北师大版六年级《圆的面积（二）》一课为例，分析“画数学”“说数学”策略在数学“四能”培养上的作用与运用。

一、以“画”助“说”，驱动问题提出

数学学习的过程实质是一个问题提出与问题解决相互关联、互为促动的迭代活动。结合数学“四能”来看，可将发现与提出问题统整为问题提出，将分析与解决问题归属于问题解决。在问题提出的活动中，发现问题侧重于对问题的关注与对问题的敏感度，体现为学生能多角度、多方面从看似无关的现象中敏感地发现问题的存在；提出问题则是对问题“目标、给定与差距”等要素的再思考，对问题的数学化表达与精致，并包含对问题价值性、适合性、可探究性的评价与选定。能否提出具有思考性、探究性和价值性的数学问题，在一定程度上受限于问题提出情境的刺激。而数学问题提出的情境多种多样，但一般认为可归为现实情境、数学情境、科学情境［2］三种类型。因此，从情境与问题的关系看，数学问题提出就是引导学生在不同语言形式表达的情境中阅读、发现、提取数学信息，并从目标、给定、差距等方向去分析信息间的联结，以数学化的形式将已知与欲知信息问题化。在众多的情境表达方式中，由于图形语言可以把复杂的信息简明化、形象化，并对应于几何直观与空间想象，因此，在情境中运用画图策略，以图形来描述信息或分析信息，有利于学生运用数学直观、空间想象说出信息关联，发现数学关系，进而驱动数学问题提出。

例如，在《圆的面积（二）》一课的问题提出阶段，在前课《圆的面积（一）》已经知道圆可转变为平行四边形进行面积推导的基础上，教师可呈现圆的图形、公式与平行四边形的公式。然后运用“画图”策略，画出平行四边形的一条对角线，引导学生在画中看、看中思、思中问，用几何直观、空间想象、数学直觉、逻辑推理、联想等思维，发现、提取与分析信息，建立起圆、平行四边形、三角形等图形与公式的思维联结，提出“圆可否转化为三角形，并用三角形的面积来推导圆的面积”的探索性问题。通过比较分析前课所知的圆面积公式与三角形面积公式，推测三角形的底是圆的周长、高是圆的半径（如图1），使问题进一步数学化。这样的教学设计体现了图形语言在情境中驱动问题提出的作用。

图1

二、以“画”导“说”，促进问题解决

问题提出后，学生的学习进程必然是分析问题与解决问题。分析与解决数学问题，实质上是数学思维、思路、思想的运用与发展。面对新的问题，学生会如何思考与分析呢？会运用哪些思想与思维呢？会采用哪种思路呢？探明这些问题，是推进学习进程、培养问题解决能力的关键。这些问题具有内隐的特点，需要教师采用有效策略将其外显化，以更好地观察与评估。“画形”“说理”是较好的思维外显化形式，一种以“画形”将思维可视化，另一种则以“说理”将思维可听化。将“画形”“说理”交融运用于问题分析与解决的过程中，一方面能增强学生运用数形结合思想、数学直观、空间想象于分析问题的意识与能力；另一方面能以“画”导“说”，以形（形象思维）通理（抽象思维），促进问题解决。同时，教师通过观察与分析学生“画形”“说理”的角度、方式与内容，能更准确地发现与评价学生数学问题解决的思考方式、能力水平，从而增强学习性评价的精准性，使补充与调动学生数学活动经验、引导学生运用数学观念与调整思维思路能更加适时、适宜与适效，实现适性且深度的教学。

例如，在《圆的面积（二）》一课的问题解决阶段，教师可让学生小组合作，有序画出圆形的环与三角形的线（如图2），引导学生边操作、边观察、边思考，并在小组内说说两个图形的可能关联，小组间交流与质疑想法。首先，通过操作性画图，使学生产生思维的基点；其次，通过比较、观察，触动学生思维的生长点；最后，通过生生间的互动“说”，促使思维延伸与拓展，形成大胆的理性的推测，体现以“画”导“说”。为了使推测有理据可“说”，随后的教学可结合剪圆杯垫重组成三角形的直观操作活动找出证据，并在此基础上引入数学词汇或符号，说一说推导与发现，概括说出圆的面积可转化为三角形的面积进行求导。

图2

三、“画”“说”结合，参悟问题本质

动作语言、文字语言、图形语言、符号语言等均是数学问题提出与问题解决教学的表征形式。不同表征形式对应不同的思维类型，如动作语言、图形语言对应动作直观、几何直观，侧重形象思维；文字语言、符号语言侧重于抽象思维、逻辑思维等。通过综合与灵活运用多种表征形式来展开数学问题提出与问题解决的教学，更有利于迎合不同学生的思维优势，发展学生的综合思维。对于发展“四能”，实现“三会”（会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界）［3］也具有重要的意义。“画”“说”两种活动，或者两种表达方式，基本上囊括了动作语言、文字语言、图形语言、符号语言等多种语言形式，并且具有过程性与结果性的特点，能较好地落实教学评的协调一致与融通一体。在教学总结阶段，将“画”“说”有机结合呈现，有助于学生运用多种思维参悟数学问题本质，运用数学抽象总结数学思想与数学方法。

例如，在《圆的面积（二）》的总结阶段，可运用学习单，呈现多种推导圆面积公式的图形（如图3）。通过问题清单，如“观察这些图形，你发现圆的面积是如何推导的？”“你能说说圆的面积推导运用了什么数学思想或方法吗？”“这种数学思想或方法，你以前用过吗？还可以运用在什么数学问题的解决上呢？”引导学生运用归纳推理，抽象概括，进行抽象“说”、概括“说”、本质“说”、迁移应用“说”，从而使教学指向致知（圆面积与半径大小有关，与半径平方成正比）、明理（等积变形思想）、达用（在生活生产实践中，在新数学问题的解决中的思想与方法应用）的境界。

图3