基于线性自抗扰控制的磁悬浮轴承控制策略

关海爽，张建民，蒙彦宇

(1.北华大学电气与信息工程学院，吉林 吉林 132021；2.北华大学土木与交通学院，吉林 吉林 132013)

主动磁悬浮轴承(Active Magnetic Bearing，简称磁轴承或AMB)的控制问题是涉及众多学科的跨学科问题[1-4].与传统轴承相比，磁悬浮轴承有很多显著优点.比如，它是非接触式的，不会产生摩擦，因而具有较高的速度和精度.如果使用时间过长，传统轴承可能磨损严重，必须经常更换，虽然可以通过油润滑轴承来延长使用寿命，但长时间工作容易出现漏油的情况，给设备及其周围环境造成不良影响，而磁悬浮轴承不存在这个问题，从某种意义上甚至可以认为它是一种新型环保产品.

目前，有很多关于磁悬浮轴承控制策略的研究，涉及传统控制、现代控制，以及各种先进智能控制算法[5-9].中国科学院韩京清等在20世纪末针对控制领域普遍存在抗扰问题的实际需求，通过计算机仿真方式寻求并提出“所有的控制问题本质上是抗扰问题”的思想，创造性地提出了自抗扰控制器.自抗扰控制器由跟踪微分器(Tracking Differentiator，TD)、扩张状态观测器(Extended State Observer，ESO)和非线性状态误差反馈控制律(Nonlinear State Error Feedback Control Law，NLSEF)3部分组成[10-11]，但该自抗扰控制器待整定参数过多，参数整定程序也非常复杂，不便于工程应用.文献[12-14]以线性控制律的形式提出线性自抗扰控制器，该方法的基本思想是将所有内部动态特征和外部扰动同时看作扰动，通过设计扩张状态观测器估计扰动，并通过设计的线性PD控制律对扰动进行实时补偿.线性自抗扰控制器采用扩张状态观测器实时观测和估计系统保护内、外扰动的总扰动，并通过线性PD反馈控制律补偿扰动对被控对象输出的影响，通过将观测器极点和控制器极点分别配置在同一个位置，将繁杂的参数整定问题简化为仅仅需要整定两个带宽参数(控制器带宽和观测器带宽)的整定问题，从而大大简化了参数整定程序，便于在实际工业过程控制中大规模应用.本文提出基于自抗扰控制方法的五自由度磁悬浮轴承控制策略，探讨线性自抗扰控制器在磁悬浮轴承转子位移控制中的应用；将五自由度磁悬浮轴承控制系统解耦，解耦后的控制器可以广泛应用于多自由度磁悬浮系统研究.

1 磁悬浮轴承数学模型

1.1 磁悬浮轴承结构

五自由度磁悬浮轴承系统结构见图1.为了保证转子在5个自由度上悬浮稳定，需要两个径向轴承和一个推力轴承.该系统利用位移传感器实时检测轴承的位移信号，将该信号反馈至控制器，依据控制律分析计算，输出控制指令，最终使转子悬浮在给定的位置上.

1.2 五自由度磁悬浮轴承数学模型

主动磁悬浮轴承(AMB)系统可分解为径向AMB系统和轴向AMB系统，它们是相互独立的，轴向只有1个自由度，数学模型为单自由度控制系统；径向有4个自由度，可将其简化为4个独立的单自由度系统.径向电磁轴承单自由度结构见图2.

4个单自由度的传递函数形式相同，以左上角的传递函数为例，可描述为

式中：la为转子质心到径向磁轴承中心的距离；J为转子转动惯量；m为转子质量；kixa为磁轴承电流系数；ixa为磁轴承线圈控制电流；xa为径向轴承位移.推导出径向某自由度解耦后的传递函数形式：

(1)

2 线性自抗扰控制器

2.1 基本原理

线性自抗扰控制(linear active disturbance rejection control，LADRC)基本原理：通过设计扩张状态观测器，以实时预估对象模型中的全部扰动为目标，设计一个PD状态反馈控制器，消除扰动对系统输出的影响.LADRC将自抗扰控制策略简化为整定控制器带宽wc和观测器带宽w0两个量，从而实现对扰动的实时观测和补偿.因此，建立二阶被控对象的标准式：

y″=f(t，y，y′，u，u′，w)+bu，

(2)

式中：y是输出变量；u是输入变量；w是外部扰动；b是参数；f(t，y，y′，u，u′，w)是总扰动，包括内部扰动和外部扰动.

2.1.1 扩张对象建立

令状态变量x1=y，x2=y′，总扰动f为增广状态变量x3，即x3=f，则被控对象模型为

(3)

将被控对象的模型式(3)转化为状态空间扩张对象，其表达式为

(4)

2.1.2 扩张状态观测器构造

线性自抗扰控制器的核心就是通过构造一个扩张状态观测器(Extended state observer，ESO)，实现对扰动的实时估计与补偿.针对式(4)的扩张对象，构造一个三维扩张状态观测器：

式中：z=(z1，z2，z3)T为ESO的状态变量；L=(α1，α2，α3)T为ESO的观测器增益，其参数待定.

为便于应用和简便起见，将观测器的所有极点均配置在-w0处，即有

det(sI-(A-LC))=s3+α1s2+α2s+α3=(s+w0)3.

代入参数，即有

2.1.3PD状态反馈控制律

采用PD状态反馈控制律，控制量u0表达式为

u0=k1(r-z1)-k2z2，

(5)

式中：k1、k2为PD状态反馈控制律的比例增益和微分增益；r为对象的参考输入.

2.1.4 扰动补偿计算

为了实现对被控对象内、外部扰动的抑制，线性自抗扰控制器在ESO估计出总扰动f的估计值z3后需要对其进行反馈补偿，扰动补偿方程为

(6)

经过扰动补偿后，原来的二阶被控对象式(2)可改写为

y″=f(t，y，y′，u，u′，ω)+bu=f(t，y，y′，u，u′，ω)+(u0-z3)≈u0.

联合式(5)和式(6)，得

(7)

联立式(4)、(7)，即得

可写为

上式说明，系统的有界输入、有界输出(BIBO)闭环稳定，需闭环系统的所有特征值均在左半平面内.因此，闭环系统特征根需满足：

2.2 控制器参数整定步骤

4)逐渐增大b0，直到系统动态性能指标(调节时间和超调量)满足系统要求.

5)通过Monte-Carlo方法检验系统的性能鲁棒性.确定所有参数后，将对象参数做±10%随机摄动，计算系统的动态性能指标，进行重复仿真.

3 控制系统设计与仿真

3.1 控制系统设计

针对磁悬浮轴承控制系统数学模型，采用线性自抗扰控制策略设计控制系统.见图3.

3.2 控制系统仿真

被控对象磁悬浮轴承采用式(1)传递函数，功率放大器可近似等效为比例环节，其放大系数为3.3，在忽略其他非线性因素情况下位移传感器也可近似等效为比例环节，其比例增益为80 000.y是位移反馈信号，r是给定值，d是随机扰动.LADRC为设计的线性自抗扰控制策略，其整定参数仅有两个：控制器带宽wc和观测器带宽w0.

选取磁悬浮轴承参数，见表1.传递模型为

(8)

表1 磁悬浮轴承对象参数Tab.1 The object parameters of magnetic bearing

根据式(2)及上述对象参数取值可知：b=3.3×179.86×8 000，为计算方便，假定b0是b的准确估计.通过调试，选取wc=360 000，w0=20 000.LADRC磁悬浮轴承控制系统仿真见图4.

3.3 仿真结果

通过仿真，得到单位阶跃信号作用下系统在无干扰和有干扰下的响应曲线.见图5.

由图5 a可知：单位阶跃响应曲线的超调量为0.035 4%，上升时间为1.13×10-5s，调节时间为1.62×10-5s，稳态误差为0.000 1，控制效果很好；由图5 b可知：系统的最大位移偏移为3.66×10-5m，符合实际需求.

针对式(8)，分别采用实际PID控制器、经临界比例带法参数整定的PID控制器、经根轨迹法整定的PD控制器对磁悬浮中轴承控制系统进行仿真.选取PD最优参数(Kp=20，Kd=0.02)，以及PID最优参数(Kp=1200，Ti=0.33×10-4，Td=8.25×10-6)控制，对比线性ADRC控制与PD控制，结果见图6.

由图6可知：线性自抗扰控制器的控制效果优于PD控制器和PID控制器.PD控制器调节时间过长，而PID控制器超调量过大且调节时间过长.采用这3种不同控制策略的磁悬浮轴承控制系统性能指标见表2.由表2可知：与PD控制器和PID控制器相比，线性自抗扰控制器的上升时间和调节时间最短，超调量显著减少，最大偏移也最小，系统性能最好.

表2 不同控制策略磁悬浮轴承控制系统性能指标比较Tab.2 Comparison of performance indexes of magnetic bearing control system under different control strategies

4 结 论

线性自抗扰控制器采用扩张状态观测器实时观测和估计系统中内、外扰动的总扰动，并通过线性PD反馈控制律补偿扰动对被控对象输出的影响.通过将观测器极点和控制器极点分别配置在同一个位置，将繁杂的自抗扰控制器整定参数转化为仅需要整定两个带宽参数：控制器带宽和观测器带宽，从而大大简化了参数整定，便于在工程中大规模应用.仿真结果表明：基于线性自抗扰控制的磁悬浮轴承控制系统动态性能比传统控制器好，上升时间短，调节速度快，超调量显著减少，能够满足系统快速响应的要求，稳态控制精度高，系统抗干扰能力强，鲁棒性和自适应能力强，能够实现稳定控制.