深入数学领域，探讨向量解法

呼斯木吉

摘 要：平面向量和空间几何是高中数学教学内容的重要部分，把平面向量应用在几何应用中取得很好的解题作用。本文就此详细的阐述在数学课程中解决几何难点疑点的有关问题中向量的具体作用。

关键词：向量 应用 几何

在几何应用中，我们解决空间角、距离和证明空间平行及垂直有关的问题时，就是在考察学生的空间思维能力和想象能力以及逻辑思想，对于这些问题引入向量和结合向量解决数学知识起到至关重要的作用。让复杂的问题简单化，从而使问题得到迅速的解答。下面就是我对向量在几何的有关数学问题中的应用进行详细的阐述。

一、向量的认识

1.向量是数学中重要的应用模型

有人说，在数学中引入向量和使用向量来处理几何问题是由于使用向量比综合几何方法更简单、更轻松。这不是一个完整的观点。虽然向量处理一些难题确实比综合几何更简单，但也有一些更简单的问题可用综合几何的方法去处理。向量被引入教科书，因为它们在数学中占有至关重要的位置。向量作为一个有方向和大小的量，是一个基本的数学概念。它在现代数学的发展中起着不可替代的作用。这是代数、几何、函数分析等基础学科研究的基本内容。可以对向量进行若干操作。因此，向量构成了数学相关代数的基本框架。

2.向量是几何与代数的中间介质

向量是可以给出几何解释的代数对象。运算和有关定律是代数分析研究的最基础的对象。重要的是要知道向量是几何研究的对象。在数学中的立体几何部分，向量可以用来讨论点线与空间表面之间的位置关系;这包括确定直线、平面和平面的平行度和垂直度，用向量测量几何形状：计算长度、角度面积等。向量很简单，也很容易理解。向量也被引入教材中，因为它适应了学生的认知学习的检测水平。向量的概念有清晰的数学训练，学生很容易理解;向量的计算并不复杂，学生也不难掌握。学习工具对于培养学生的数学技能和应用数学解决实际问题的能力是非常有用的。随着数学视野的扩大，这些想法将使我们在将向量作为代数与几何的中介进行交流时越来越有用。

二、向量在数学解题中的应用

1.在平面几何中的使用

自从向量知识进入教材以来，向量作为一个工具来研究和解决数学问题被引起了极大的关注，特别是用来解决平面几何中的问题，其工具性更为突出[1]。一方面，向量与平面几何本身存在着空切的联系，且平面几何中的许多问题需添加辅助线，有时需进行论证推理，致使许多学生对几何问题都有一种畏惧的心理;另一方面，向量的运算许多都可转化为实数的运算，不用去考虑几何图形的形状，通过一个综合的演示，看起来几个难以理解的数学平面几何题，即向量的某种优越性在几何平面中凸显出来，得以吸引了学生的兴趣，学生的思考和创新能力。因此，我们可以通过向量解决平面几何问题。

2.在立体几何中的使用

关于向量在立体几何中的应用问题，其中最主要的计算都是围绕平面的法向量开展和扩宽在大多数的数学题中，空间向量是解决数学问题的重要工具，其解决两类问题：一、垂直问题，尤其是线面垂直问题（面面垂直基本类似）;二、角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化（线面角与此类似），而在立体几何问题通常致力于平面法向量的基本含义，向量是指与题干中给予平面垂直的向量，即一个已知的向量垂直于一个平面，可以无限地扩展根据其选择的坐标，一般来说，基本是选取易于计算的平面法向量进行运用计算[2 - 3]。向量问题由三维几何提出，以两种方式解决向量三维几何问题：一是直接计算向量，二是向量的坐标计算。一般来说，向量坐标计算，会拥有较少的思想且计算的技巧较弱，更轻松地将其掌握。虽然建立矩形坐标图不容易，但我们也可以使用向量最大可能运算来解决问题，但其对学生具有逻辑推理能力也会要求上涨，因此协同向量坐标运算教学方法步骤：①注意空间直角坐标中，尽可能在同一点上已经从由两两垂直双竖线，如果无三线也尽量找两直线垂直，引人注意的是所写点的坐标要求跟所建立的坐标系要同一一致（3）写出所使用的向量坐标，注意所书写的点的坐标要与所创造的坐标系统一和一致④经过计算找出解决问题的办法。

3.在证明不等式的使用

向量在数学中应用表示内容广泛、构造形式多样的不等式。向量证明不平等的应用作为一种重要的数学工具，在教材中具有新的优先地位，近年来在教材中占有越来越重要的地位。因此，它经常被用来解决平面、立体和分析几何问题;同样可提供运算工具的帮助，可以简化和使它更容易处理不平等问题，特别是对于那些含有总和乘数的数学题提供解决的方案且简单明了。向量证明的不平等的构建涉及广泛的主题，它综合了几种思维方法的应用，如变换函数方程的数值和形式组合。其创建形式也非常多样化，通常具有简单、简洁、独创性和新颖性等特点，这使得数学解决方案能够超越常规，非常有创造力。在构造向量时，主要依据已知与结果所提供的信息（如特征、结构、计算等）进行想象，以此类推，巧妙地将不等式的证明转化为向量的性质或运算，能将烦琐的步骤以简化，这充分反映了构造的数学教学中的效果，帮助学生提高数学模型的敏感性和数学思维技能包括创造性思维和审美能力的发展。

结语

向量的学习给了我们空间几何给予了解代數的深刻概念，它将空间图形位置关系的研究转化为代数运算和推理，这对培养和发展学生的能力，特别是思维多元化的能力、推理论证能力提供了空间和平台。因此只有熟悉常用的解题方法，才能使解决相关问题游刃有余。向量方法在进行解决立体几何出现的问题时同时即使具有超大的优越感，但并不是万能的，只有那些适于建立空间直角坐标系的题目才更加适合。

参考文献

[1]郝子昱.高中数学平面向量解题分析[J].农家参谋，2017（14）：77.

[2]韩彬彬.浅谈空间向量在立体几何中的应用[C]//2017年课堂教学改革专题研讨会论文集.2017.

[3]吴春平.空间向量在立体几何中应用[J].池州师专学报，2004，18（5）：68-70.