浅述高压油管内单向阀开启时间的控制

摘 要 高压油管广泛运用于各种燃油发动机中，高压油管中的压力过大可能会对油管等组件造成损坏，而压力过小可能会影响高压油管的工作效率。所以，控制高压油管内的压力具有十分重要的现实意义。本文首先求出燃油内压强与密度的关系，进而通过研究高压油管内的压强与进出液体的质量的变化，建立了微分方程组，解出油管内密度和压强关于时间的函数。然后通过判断前后两个时间周期的压强变化来表示当前状态下压强的稳定与否。最后通过以稳定压强值接近100MPa为目标对单向阀的开启时长进行变步长搜索。

关键词 流动方程;微分方程;变步长搜索

1问题

燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础，图1给出了某高压燃油系统的工作原理，燃油经过高压油泵从A处进入高压油管，再由喷口B喷出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，使得所喷出的燃油量出现偏差，从而影响发动机的工作效率[1]。

图1 高压油管示意图

某型号高压油管的内腔长度为500mm，内直径为10mm，供油入口A处小孔的直径为1.4mm，通过单向阀开关控制供油时间的长短，单向阀每打开一次后就要关闭10ms。喷油器每秒工作10次，每次工作时喷油时间为2.4ms。高压油泵在入口A处提供的压力恒为160 MPa，高压油管内的初始压力为100 MPa。如果要将高压油管内的压力尽可能稳定在100 MPa左右，如何设置单向阀每次开启的时长？

2模型建立

2.1 高压油管压力求解模型

压强的变化量与密度变化量成正比，且比例系数为，为该压力条件下的弹性模量，为对应压强下的燃油密度。根据上述条件，可以列出一个关于密度和压强的微分方程：

根据时的燃油密度为0.850mg/mm3这一初值条件，通过积分得到密度与压强的函数关系式。

假设从单向阀开始进油为计时起点，那么时间内从高压油管入油口A流入的燃油质量由A口的流量和高压燃油侧的密度决定。

在高压油管工作时间内，喷油口B喷出的燃油质量由油管内的燃油密度与流量有关。

通过上述方法可以求得高压油管工作时间内高压油管燃油进出的总质量。

得到流入高压油管的燃油质量后，根据质量守恒，得到单向阀开启后高压油管内的燃油的密度。进出高压油管的流量为，根据流量计算公式，即可得出入油口A的流量计算公式：

其中，表示为A处输入油的压强，为恒定值。

将上述公式联立求解得到油管内压力，密度与单向阀开启时间 的关系。

（1）

由上式可知，燃油的密度和高压油管喷嘴和单向阀处的压强都满足一个微分方程，为了求解该微分方程，加上初值条件，即可求解得出任意时刻下，高压油管入油口压强和喷油口燃油压强 [2]。

2.2 进油和喷油阶段之外的一维流动模型

当高压油管中的进油口和喷油口都不工作的时候，高压油管内的燃油可以近似看作一维有摩擦不稳定流动的流体。流体的连续性方程体现了流体在流动过程中质量守恒的关系。表示流体的流速。

由沿管径方向的一维流体动力学方程得到：

流体的动力学方程表示流体在沿管径方向上受到了沿管径方向的流体流动摩擦力。其中摩擦力由范宁公式给出：

联立上述方程并且简化可以得到描述高压油管内燃油一维摩擦不稳定流动的方程组：

（2）

2.3 高压油管压力整体模型的建立

对于高压油管我们已知其初始压强为其初始密度为所以通过公式（1）可求解每次进油和喷油阶段结束后的进油口压强，和出油口的压强 ，在已知这两个边界条件的前提下，通过公式（2）结合初始条件：

可以反复将各项条件进行反复迭代求解得到高压油管内各个时间点的压强[3]。

3模型求解

经过粗略估算，液体的流动对压强的影响很小，故为了简化模型，求解过程中不考虑液体流动产生的额外压强。

T 的大小不同，可能会使高压油管内的压强呈现不同的趋势，但都是单调的。当高压油管内的压强呈现不断增加的趋势，由于高压油泵一端的压强恒定不变，那么进油口A 处的压强差会不断减小，进入的油料流速也会不断减小，由于单向阀开启时间不变，那么进入的油料也会不断减少，直到高压油管内油料的密度不在改变，最后高压油管内的压强会稳定在一个高于100MPa的较高值。同理如果高压油泵内的压强呈现不断减小的趋势，那么最后也会减小到一个低于100MPa的较小值。

设置单向阀的开启时间的取值区间为[0，20]ms，以1ms为步长进行粗略搜索，求出每个值对应的高压油管稳定后的压强，设置限制条件，并逐步缩小搜索区间，然后以更小的步长进行搜索。最后可以计算得出的较为精确的区间为[0.25，0.30]ms，最后以0.001ms为步长进行精确搜索。

根据变步长搜索结果可以得到的结果为：单向阀的开启时间为0.287ms时，高压油管内的压强几乎稳定在100MPa。下为稳定后的压强数据[4]：

4结束语

在上文中，我们对高压油管进行力学分析，并且依此对其建模。通过对模型的求解得出在已知单向阀门开启时间固定时，高压油管内液体的压强稳定值。对稳定值进行搜索，反向求解出对应的单向阀门开启时间。最后，通过计算在=0.287ms时的模型，我们得到了高压油管压强最终可以稳定在100MPa，且上下波动不超过1.5MPa，这表明我们的模型很好地解决了问题。

参考文献

[1] 吴望一.流体力学[M]. 北京：北京大学出版社，1982：63.

[2] 王高雄.常微分方程第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2006：155.

[3] 刘寅立.MATLAB数值计算案例分析[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2011：51.

[4] 戴猷元，余立新.化工原理[M]. 北京：清华大学出版社，2010：87.

作者简介

樊泽弘（1999-），男，广东广州人;学生，学士，现就读学校：武汉大学数學与统计学院，研究方向：统计。