关于实数系的几个基本定理在“泛函分析”教学中的应用

张清业

（江西师范大学，江西 南昌 330022）

1 引言

从上世纪初开始，人们逐渐意识到经典分析学、微分方程、积分方程等传统数学分支在处理问题的思想和方法上都具有很多惊人的相似之处，这促使了当时的数学家们试图从这些研究对象貌似迥异但思想方法却十分相似的理论中发现本质的东西从而寻求一种统一的抽象化的处理方法。在此情形下，泛函分析这一新的数学分支应运而生，并在当时的数学物理、量子力学等学科领域的应用中取得了巨大的成功。此后，受自身理论研究以及众多其它学科领域应用需求的推动，泛函分析经历了近一个世纪的飞速发展，时至今日，它已成为现代数学体系中最重要的数学分支之一，并在众多其它应用学科领域中发挥着非常重要的作用。

正因为泛函分析这一数学分支的理论如此之重要并且应用如此之广泛，所以，在国内外很多大学数学专业本科课程中“泛函分析”通常都是作为一门十分重要的专业主干课来开设的。然而，由于泛函分析的理论体系与生俱来就具有高度综合性和抽象性的特点，所以通常的泛函分析教材（例如[1-2]）中不可避免地会有众多极其抽象的概念和定理，这就导致学生在学完“数学分析”这一相对具体和直观的课程之后开始“泛函分析”课程学习的时候通常都会显得非常不适应并且感觉面临极大的学习困难，从而十分影响他们对于这门重要的专业主干课的学习效果。针对这一困难，近些年，陆续有一些学者开始致力于“泛函分析”课程教学的研究，相关成果可参考文献[3-5]及其中的参考文献。在本文中，我们将结合作者多年的“数学分析”与“泛函分析”课程的教学经验与思考，尝试对“泛函分析”课程的教学方法进行一定的改革探讨，希望能帮助师生最大程度地克服这种困难从而取得更好的教与学的效果。

2 关于实数系的几个等价基本定理的回顾

通过“数学分析”课程的学习，我们知道关于实数系的几个等价的基本定理是建立微积分学中极限理论的基石，其重要性不言而喻，理解并熟练掌握它们之间等价性的证明有助于数学专业学生对于实数理论和极限理论的本质有一个更深刻的认识与体会；不仅如此，作者从多年的数学专业的教学中发现，它们还可以对作为“数学分析”后继课程的“泛函分析”课程中距离空间这一章里众多极其抽象的概念和定理的理解和掌握起到很好的启示作用，并能使学生更深刻地体会到“泛函分析”与“数学分析”内在的传承关系。在本文中，以通常泛函分析教材中第一章关于距离空间的教学为例，我们将尝试改变堆砌式地直接给出众多抽象概念和相关定理的传统教学方法，通过探讨上述这些等价基本定理在“泛函分析”课程中一般距离空间上能否进行推广的这一独特的教学方式来引出这一章中相关的众多抽象的概念和定理，使得学生在学好了数学分析之后对于泛函分析中的这些概念和定理理解和接受起来更加自然和容易，从而帮助他们取得更好的学习效果。

在数学分析中，关于实数系的基本定理共有六个，分别是确界原理、单调有界定理、柯西收敛准则、区间套定理、聚点定理和致密性定理以及有限覆盖定理。通过“数学分析”课程的学习，我们知道这些基本定理两两互相等价，本质上它们是从不同的角度刻画了实数系的完备性。在本节中，我们将主要回顾其中几个将在泛函分析课程中讲授距离空间这一章内容时会涉及到的基本定理。

2.1 柯西收敛准则

定义2.1设为一数列，若对任意的总存在正整数N，使得当n，m>N时，总有则称为柯西序列或基本序列。

定理2.1[6]（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是为柯西序列。

2.2 区间套定理

2.3 聚点定理和致密性定理

定义2.3设S为数轴上的点集，ξ为定点，若ξ的任何邻域中都含有S中无穷多个点，则称ξ为点集S的一个聚点。

定理2.3[6]（聚点定理）实轴上任一有界无限点集至少有一个聚点。

聚点定理的另一种等价的表现形式就是如下的致密性定理：

定理2.4[6]（致密性定理）任何有界数列必有收敛的子列。

2.4 有限覆盖定理

定义2.4设S为数轴上的点集，H为开区间的集合。若S中任何一个点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。

定理2.5[6]（有限覆盖定理）设H为闭区间的一个无限开覆盖，则从H中可选出有限多个开区间来覆盖。

3 距离空间中关于完备性的一些抽象概念及定理的引出

3.1 距离空间中完备性概念的引出

在前面我们回顾的柯西收敛准则是“数学分析”课程中较早引入的反映实数系完备性的基本定理，而我们通过探讨在一般距离空间中是否也有柯西收敛准则成立就自然引出了距离空间完备性的概念，在此之前先给出如下推广的概念：

定义3.1设为距离空间中的点列，若对任意的 ，总存在正整数N，使得则称为柯西点列或基本点列。

在一般距离空间中，我们能证明如下命题：

命题3.1距离空间中任一收敛点列必是柯西点列，但反之未必成立。

由此命题，我们就可仿照实数系的完备性在一般距离空间中引入完备性的概念。

定义3.2若距离空间 中任一柯西点列必收敛，则称其为完备的距离空间。

显然，上述定义就将一般距离空间划分为完备的和非完备的两大类，而由上节的定理2.1（柯西收敛准则）知，实数系作为特殊距离空间当然是完备的，这与我们前面所说的柯西收敛准则反映的是实数系的完备性是一致的。

3.2 距离空间中的闭球套定理与逆定理

我们还容易看到距离空间的完备性本质上就是要求柯西收敛准则在其上成立。至此，我们自然会想到在上节中与柯西收敛准则等价的其它几个反映实数系完备性的基本定理能否推广到一般的距离空间中来且也可以等价地刻画一般距离空间的完备性。首先我们来尝试将区间套定理搬到一般距离空间上来。为此我们首先要将区间套这一实数系上特有的概念（一般距离空间上没有区间的概念）推广成一般距离空间上闭球套的概念。

定义3.2设距离空间中的一列闭球满足：

由上节中的定理2.2（区间套定理）知道，实数系中的任一区间套都含有唯一的公共点，那么在一般的距离空间中是否任一闭球套都含有唯一的公共点呢？答案可由如下两个定理看出：

定理3.2（闭球套定理）设为完备距离空间中的闭球套，则存在唯一的点含于每一个闭球中。

定理3.3（逆定理）若距离空间中的任一闭球套都有非空的交，则该距离空间必是完备的。

上述两个定理说明，与实数系上的情形相似，在一般的距离空间中也可以用闭球套定理来等价刻画该距离空间的完备性，同时也说明了只有在完备的距离空间中任一闭球套都含有唯一的公共点。

3.3 距离空间中的关于紧性的一些概念和定理的引入

在这一小节中，我们来探讨是否在一般的距离空间中也有类似于上节中定理2.3至定理2.5的一些定理可以来等价刻画距离空间的完备性，为此，我们先引入下面的一些概念。

定义3.3若距离空间中的子集A包含在X中的某个开球内，则称A为有界的。

例3.1中的三角函数系按上述定义是中的有界无限点集，但显然其中任意两个元素之间的距离都是，从而不可能有聚点。

定义3.4设A是距离空间 中的子集，若A中的每个点列都含有子列收敛于X中的某一点，则称A为准紧集；若A中的每个点列都含有子列收敛于A中的某一点，则称A为紧集；若空间X自身是紧集，则称X为紧距离空间。

定义3.5设A，B是距离空间中的子集，ε为一给定的正数，若对于A中的任一点x，都有B中的点y使得则称B是A的一个ε-网。

定义3.6设A是距离空间中的子集，若对任给的ε>0，A总存在有限的ε-网，则称A是全有界集。

由定义容易看到全有界集一定是有界集，而例3.1也说明在一般距离空间中有界集则不一定是全有界集。下面的定理给出了一般距离空间中准紧集与全有界集的关系。

定理3.4距离空间中的准紧集是全有界的；若X是完备的，则X中的全有界集也是准紧的。

由此定理并结合“距离空间中的全有界集一定是有界集”这一性质，我们也就能回答前面所提到的问题，即距离空间中的准紧集必是有界集。同时，这一定理还告诉我们在完备的距离空间中，点集的准紧性与全有界性是等价的。在定义3.5之前，我们已经指出了上节中定理2.4（致密性定理）其实表述的是“在实数系中有界集必是准紧集”这一结论，并且它可以用来等价刻画实数系的完备性。当然，我们从前面的例3.1已经知道，一般距离空间中（即使是完备的）的有界集则不一定是准紧集。那么我们是否可以期望类似于实数系的情形，通过在一般距离空间中要求“有界集必是准紧集”来等价刻画该距离空间的完备性呢？答案是否定的。主要原因是在一般距离空间中“有界集必是准紧集”这一要求太强了，只有很特殊的一些完备距离空间才能满足，于是我们进一步考虑将这一要求适当减弱，于是就有如下的定理：

定理3.5距离空间是完备的当且仅当X中的全有界集必是准紧的。

这一定理中等价刻画距离空间完备性的条件可视为上节中定理2.4（致密性定理）的结论在一般距离空间中的推广。

沿着以上思路，我们最后来探讨是否可以在一般距离空间中用类似于上节中定理2.5 （有限覆盖定理）的结论来等价刻画其完备性。为此，我们首先要将有限覆盖定理中用开区间定义的开覆盖等概念在一般距离空间中进行推广。

定义3.7设为距离空间，A为X的子集，是中的某些开集组成的集族。若为A的开覆盖；若J是有限集，则称为A的有限开覆盖；若的某个子族构成A的开覆盖，则该子族称为的子覆盖。

利用该定义，我们可以给出一般距离空间中的紧集的如下等价刻画方式：

定理3.6距离空间中的子集A为紧集的充要条件是从A的任一开覆盖中必可选出一个有限子覆盖。

我们在此顺带指出，在拓扑学中的一般拓扑空间上正是采用该定理中的充要条件来定义紧集这一概念的。

定理3.7距离空间是完备的当且仅当X中的全有界闭集必是紧集。

与定理3.6类似，这一定理中等价刻画距离空间完备性的条件也可视为上节中定理2.5（有限覆盖定理）的结论在一般距离空间中的推广。

4 结束语

在本文中，我们通过尝试将数学分析中刻画实数系完备性的几个等价基本定理平行推广到泛函分析中一般距离空间上去这一过程来自然地引出其中相关的众多抽象的概念和定理，使得学生易于理解和接受，这样的教学方式在我们“泛函分析”课程的教学实践中起到了良好的效果。受此启发，我们将来还会不断尝试通过挖掘“数学分析”和“泛函分析”这两门课程的更多的内在传承关系来促进“泛函分析”课程的教学改革与研究。