环R + uR + vR + uvR 上的常循环码

王艳萍

有限域上码的研究已经相对成熟，代数编码学者将研究重点转移到有限环上.文献［1-3］研究一些环上的循环码，给出其结构，讨论其性质；文献［4-8］研究一些环上的常循环码（负循环码是特殊的常循环码），通过构造映射，研究其结构以及性质.本文主要研究新的环ℜ =R+uR+vR+uvR，其中满足u2=u,v2=v,uv=vu，且该环为有限非链环.建立了环ℜ 上的码与环R上码之间的关系；给出环ℜ 上的Gray 映射，讨论其性质；最后研究环ℜ 上的θ-常循环码是与R上常循环码有关系的，并研究了环R上码的结构与环ℜ上码的结构之间的关系，为代数编码理论提供参考意义.

1 预备知识

记ℜ =R+uR+vR+uvR，u2=u，v2=v，uv=vu.其中p（奇数）是的特征，R：有限链环；<λ>：为R的极大理想；⇒ℜ =R+uR+vR+uvR为非链环.设α1=1-u-v+uv，α2=uv，α3=u-uv，α4=v-uv, 易 得：αi=ℜ,i=1，2，3，4，αiαj=0(i≠j)，⇒ℜ ≅α1R⊕α2R⊕α3R⊕α4R. 而 对∀r∈ℜ，唯 一 有r=α1a+α2b+α3c+α4d,a,b,c,d∈R. 我 们 约 定θ=η1α1+η2α2+η3α3+η4α4：ℜ上的单位，其中η1,η2,η3,η4∈R.设n=psk,(p,k) = 1.

定义1［9］置换τ:τ(y0,y1,…,yn-1) = (θyn-1，y0,…,yn-2)，称该置换为ℜn→ℜn上的θ-常循环置换.

定 义2［9］置 换σ:σ(a0,a1,…,an-1,a′0,a′1,…,称该置换为R4n上θ-准常循环置换.

对于∀a∈R，

对 于∀a= (a0,a1,…,an-1) ∈Rn，它 的 齐次 重 量是R 上 的 线性码，则码A的齐次距离：dHom(A) =min{wHom(A)|a≠0,a∈A}.我 们 定 义Gray 映射φ:ℜ →R4,φ(r) = (a,b,c,d)，Gray 重 量：wG(r) =whom(a,b,c,d).扩展Φ：ℜn→R4n，∀r=(r0,r1,…,rn-1) ∈ ℜn,ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di，有

（ℜn，Gray 距离）→（R4n，齐次距离）：保距的.

定义：

⇒Ci(i= 1,2,3,4)是R 上的线性码；C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4，表示唯一.

引 理1［10］码C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4∈ℜ，则有：

①C⊥为ℜ 上的线性码；

②Φ(C) =C1⊗C2⊗C3⊗C4, |C| =

③Φ(C⊥)=

2 主要结论

定 理1θ=η1α1+η2α2+η3α3+η4α4是ℜ 上的单位⇔η1,η2,η3,η4是R 上的单位.

证明“⇒”若θ=η1α1+η2α2+η3α3+η4α4，则 有θ′ =η′1α1+η′2α2+η′3α3+η′4α4，使 得θθ′=(η1α1+η2α2+η3α3+η4α4)(η′1α1+η′2α2+η′3α3+η′4α4)= 1，即

则η1η1′+(-η1η1′+η3η3′)u+(-η1η1′+η4η4′)v+(η1η1′+η2η2′-η3η3′-η4η4′)uv= 1 ⇒η1η1′=η2η2′=η3η3′=η4η4′= 1，即 得η1,η2,η3,η4是R上的单位；

“⇐ ”若η1,η2,η3,η4是R 上的单位，∃η1",η2",η3",η4", 使 得η1η1"=η2η2"=η3η3"=η4η4"= 1. 设θ"=η1"α1+η2"α2+η3"α3+η4"α4∈ℜ，经计算可得θθ"= 1.

定理2 ℜn上的码C，则有C为θ-常循环码⇔C1：η1-常循环码，C2：η2-常循环码，C3：η3-常循环码，C4：η4-常循环码.

证 明“⇒ ” 对 于∀(a0,a1,…,an-1) ∈C1,(b0,b1,…,bn-1) ∈C2，(c0,c1,…,cn) ∈C3,(d0,d1,…,dn) ∈C4,r= (r0,r1,…,rn) ∈C，ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di，则 有τ(r) = (θrn-1,r0,…,rn-2)∈C，其中θrn-1=an-1η1α1+bn-1η2α2+cn-1η3α3+dn-1η4α4，则推出(η1an-1,a0,…,an-2)∈C1，(η2bn-1，b0,…,bn-2)∈C2，(η3cn-1,c0,…,cn-2)∈C3,(η4dn-1，d0,…,dn-2)∈C4成立；

“⇐”∀r= (r0,r1,…,rn) ∈C,ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di，则(a0,a1,…,an-1) ∈C1,(b0,b1,…,bn-1) ∈C2,(c0,c1,…,cn) ∈C3,(d0,d1,…,dn)∈C4, 又 (η1an-1,a0,…,an-2) ∈C1,(η2bn-1,b0,…,bn-2)∈C2，(η3cn-1,c0,…,cn-2)∈C3,(η4dn-1,d0,…,dn-2)∈C4，则 (an-1η1α1+bn-1η2α2+cn-1η3α3+dn-1η4α4,r0,…,rn-2) ∈C，即(θrn-1，r0,…,rn-2) ∈C，有C为θ-常循环码.

注1：C是ℜ 的θ-常循环码⇔C⊥是ℜ 的θ-1-常循环码；

注2：C是ℜ 循环码⇔C1,C2,C3,C4是R 的循环码.

定 理3τ,σ,Φ 分 别 为 前 文 对 应 置 换、映射，则有Φτ=σΦ.

证 明 ∀r= (r0,r1,…,rn) ∈C,ri=α1ai+α2bi+α3ci+α4di,有τ(r) = (θrn-1,r0,…,rn-2),则Φτ(c) = (η1an-1,a0,…,an-2,η2bn-1,b0,…,bn-2,η3cn-1,c0,…,cn-2,η4dn-1,d0,…,dn-2)；又Φ(c) =(a0,a1,…an-1,b0,b1,…,bn-1,c0,c1,…,cn-1,d0,d1,…,dn-1)，则σΦ(c) = (η1an-1,a0,…,an-2,η2bn-1，b0,…,bn-2,η3cn-1,c0,…,cn-2,η4dn-1,d0,…,dn-2).

推论1 ℜ 上的θ-常循环码C（长为n）⇔Φ(C)是R 上的θ-准常循环码（长为4n）.

由定理2 可知，对于ℜ 上的θ-常循环码C，它的结构与C1,C2,C3,C4上常循环码的结构是有关系的，因此可得下面定理4.

定理4 ℜ 上的θ-常循环码C，C1,C2,C3,C4对 应 在中有 C1=(f),C2= (g)，C3= (h),C4= (q)，f,g,h,q首 一的，且为R上的多项式，则C的生成多项式可表示：C= (α1f+α2g+α3h+α2q).

证 明 因 为C1= (f),C2= (g)，C3= (h),C4=(q)，则 有C= (α1f,α2g,α3h,α4q). 设e=α1f+α2g+α3h+α4q，则e∈(α1f,α2g,α3h,α4q)，即(e) ⊆ (α1f,α2g,α3h,α4q)；又α1e=α1f,α2e=α2g,α3e=α3h,α4e=α4q，则有(e) ⊇(α1f，α2g，α3h，α4q).

推论2 对定理4，若C1,C2,C3,C4它们的对偶 码对 应 在中有成立，同样，f′,g′,h′,q′也是首一的，则C⊥可表示：C⊥= (α1f′ +α2g′ +α3h′ +α2q′).

3 结语

文章研究新的有限非链环ℜ =R+uR+vR+uvR，其中满足u2=u,v2=v,uv=vu.构建了环ℜ 上码与环R上码之间的关系；介绍环ℜ 上的Gray 映射，讨论其性质；最后研究ℜ 上码C是θ-常循环码的充要条件，以及R上码的结构与环ℜ 上码的结构之间的关系.本文的研究为代数编码理论提供一定参考.