Banach格上b-AM-紧算子的性质

程 娜

（西华大学理学院，四川 成都 610039）

Riesz空间及其上算子理论的研究始于二十世纪三十年代。1928年，F.Riesz在Bologna国际数学家大会上的报告“关于线性泛函的分解”标志着Riesz空间和正算子理论研究的开端。F.Riesz，L.V.Kantorovic和H.Rreudenthal分别从不同的背景最早研究Riesz空间及其上算子。围绕这一理论研究产生了几个主要学术流派，如前苏联学派(L.V.Kantorovic,A.J.Judin,A.G.Pinsker,B.Z.Vulikh)、美国学派(G.Birkhoff,H.F.Bohnenblust,S.Kakutani,M.MStone)、日本学派(H.Nakano,T.Ogasawara,K.Yosida)、荷兰学派(W.A.JLuxemburg,A.C.Zaanen），以及德国蒂宾根学派(H.H.Scheafer)。H.H.Scheafer利用经典的Banach空间和算子理论的结果来证明一般Banach格背景下的相关结果，从而使Banach格及正算子理论成为经典分析不可分割的组成部分。

Banach格上算子理论从二十世纪60年代开始得到迅猛发展，研究者对Banach格上算子的各种性质进行了深入的研究，得到一大批重要成果[1-22]。1992年，Abramovich等讨论正则紧算子空间的格序性[1]。1996年，Wicktead给出正则紧算子空间是Dedekind-σ完备向量格的刻画[2]。1998年，Chen讨论了正则弱紧算子空间的格序性[3]。2007年，Chen给出r-紧算子是正则算子空间的子格的刻画，并且证明r-紧算子的完备性[4]。数学家们不仅研究算子空间的格序结构和拓扑结构，对算子的格序性以及控制性、共轭性，与其他算子的联系，以及用算子性质刻画空间结构也展开广泛研究。Aqzzouz等考虑正则AM-紧算子空间的结构[5-6]。2011年，Chen等考虑了序连续正紧算子的扩张性质[7]。2013年，Michane等研究b-弱紧算子的弱紧性[8]。2015年，Baklouti等讨论了几乎弱紧算子的控制性，且给出了Strictly Singular、不交Strictly Singular和几乎弱紧算子的关系[9]。2016年，Chen等讨论了Two-Sided Multiplication算子的模以及范数[10]。2020年，Elbour等给出了紧算子是几乎L-弱紧算子和几乎M-弱紧算子的充要条件[11]。由此可见，Banach格上的算子理论得到了大家广泛的研究。

下面介绍Banach格上的概念和基本性质，其余概念参考文献[12-13]。本文中的Riesz空间具有可分的序共轭空间。

定义1如果Riesz空间E的子集A在(E～)～中序有界，则称子集A在E中b-序有界。如果A⊂E是序有界则A在(E～)～中是序有界的，则称Riesz空间E具有性质（b）。

Riesz空间E具有性质（b）当且仅当对每个网{xα}∈E，若，其中，则{xα}在E中序有界。

注：每个完备的Riesz空间也就是每个序共轭空间具有性质（b）。每个自反的Banach格具有性质（b）。每个KB-空间具有性质（b）。另一方面，考虑c0中A={en}，则可知c0不具有性质（b）。

1 b-AM-紧算子的基本性质

E,F是Banach格，X是Banach空间。

定义2如果T:E→F将E中的每个b-序有界集映成X中的相对紧的集，则称算子T是b-AM紧算子。

Kb-AM(E,X)表示从E到X中的所有b-AM-紧算子集合。Kb-AM(E,X)是L(E,X)的闭子空间，其中L(E,X)是从E到X的连续线性算子空间。AM-紧算子是将有序区间映射到相对紧集的算子，用KAM(E,X)表示从E到X中的所有AM-紧算子集合。令K(E,X)是从E到X中的所有紧算子空间。则：K(E,X) ⊆Kb-AM(E,X) ⊆KAM(E,X)。

接下来我们举例说明这些包含关系。

例1（a）考虑恒等算子I:lp→lp(1＜p＜∞)。因lp是自反的Banach格，lp中b-序有界子集是序有界的并且是相对紧集。则I是b-AM-紧算子，但I不是紧算子。

（b）考虑恒等算子I:c0→c0。因c0是一个离散的Banach格，具有序连续范数，I是AM-紧算子。但I不是b-AM-紧算子。因l1是KB-空间，I′:l1→l1是b-AM-紧算子。

（c）I:l1→l1是b-AM-紧算子，I′:l∞→l∞不是b-AM-紧算子。

定理1若F是无限维Banach格，则E是KB-空间当且仅当每个从E到F的AM-紧算子是b-AM-紧算子。

证明：若E是一个KB-空间，E具有性质（b），因此每个E到F的AM-紧算子是b-AM-紧算子。

如果每个从E映到F的AM-紧算子是b-AM-紧的，但是E不是KB-空间，则它包含一个同构c0的子格H（文献[12]定理 2.4.12）。令ψ是这个同构，则它有正扩张ψ：E→C0(文献[13]定理1])。

因每个正算子Sc0→F是AM-紧的，但可以不是b-AM-紧的。考虑算子乘积S°ψ:E→c0→F。它是正的AM-紧算子但不是b-AM-紧算子。完。

定理2假设E是Banach格，以下结论是等价的。

1）E是离散的KB-空间；

2）对Banach格F，每个从E到F的连续算子是b-AM-紧算子。

证明：假设E是离散的KB-空间，T是从E到F的连续算子，A是E的b-序有界集。因每个KB-空间具有性质（b），A是E中的序有界，则存在一个正元素x∈E+且A⊂[-x,x]。因E是离散的具有序连续范数，序区间[-x,x]是E的紧集并且是范闭的。因A的闭包是[-x,x]的一个子集，因此A是E中一个相对范紧集。因T是连续算子，T（A）是F的相对范紧集。因此，L(E,F)⊂Kb-AM(E,F)。另一方面，Kb-AM(E,F)⊂L(E,F)(文献[14]，定理1.3])，则L(E,F)=Kb-AM(E，F)。

现假设任何Banach格FL(E,F)=Kb-AM(E,F)成立。考虑算子I:E→E是b-AM-紧算子，因此是b-弱紧算子，则E是KB-空间（文献[15]命题2.10]）。由于IE→E是b-AM-紧算子，则E中的序区间是相对紧集。因Banach格中的序区间是范闭的，因此E中的序区间是紧的，则有E是离散的（文献[16]推论21.13]）。完。

算子T:E→X，将E的每个b-序有界子集映到X的相对弱紧集叫做b-弱紧算子。向量格E的非零元素x是离散的如果由x生成的序理想序是由x生成的子空间。

定理3若拓扑共轭E′是离散的，则从Banach格E到Banach空间X的每个b-弱紧算子都是b-AM-紧算子。

2 b-AM-紧算子的控制性

3 b-AM-紧算子的共轭性

因(l∞)′具有序连续范数且T′是b-AM-紧算子，则S′是b-AM-紧算子。

另一方面，算子S°P:E→l∞→E不是AM-紧算子。否则，将它限制到l∞上是AM-紧算子，因为l∞是具有单位元的AM-空间且算子S是紧算子。这就产生了矛盾。完。

4正则b-AM-紧算子空间的Dedekindσ-完备性

Banach格上算子的模已经被许多数学家广泛研究。如果E和F是Banach格，T是E到F的一个算子，T的模可以不存在，即使存在，模一般也不会有相同的性质。1981年，Aliprantis等在文献[16]中证明了从AL-空间到KB-空间的每个弱紧算子都有一个弱紧模。Chen等在文献[19]中将此结论进行推广，证明了如果E是AL-空间，且F具有性质(W1)，则E到F的弱紧算子空间是一个向量格。

另一方面，Lr(E,F)∩K(E,F)是K(E,F)的一个真子空间，L(E,F)∩(E,F)可能不是L(E,F)的向量子格。因此,大多数讨论序理论的紧性通常是讨论所有正则紧算子空间[20-22]。Wickstead给出在正则紧算子的线性空间是Dedekindσ-完备向量格的充要条件(文献[20],定理2.1)。Chen等研究了正则弱紧算子空间是Dedekind完备向量格的情况(文献[19]，定理3.5)。2009年，Aqzzouz等给出正则AM-紧算子空间是Dedekindσ-完备向量格的条件(文献[6]，定理2.3)。

对于b-AM-紧算子，我们考虑相应的问题。接下来我们给出(E,F)是Dedekindσ-完备向量格的充要条件。

由文献[16]中的例子16.6可知，存在b-AM-紧算子，其模不存在。定义(E,F)是所有从E到F的正则b-AM-紧算子空间的线性空间。

定理10设E和F是Banach格，则下列结论等价:

则(Tn)是递增的且有上界U。因此Tn有上确界S且S(x)是(tn)的上确界。因此F是Dedekindσ-完备的。

下面证明F具有序连续范数或者E′是离散的。否则，假设F包含同构于ℓ∞子格H且存在从F到H的正投影P。记(en)e=Sup{en:n∈N}为H的离散素，Pn:H→Ben，其中Ben是en在H中生成的正则带。

由文献[16]中推论21.13可知存在Φ∈(E′)+和序列(Φn)⊂[-Φ,Φ]使得(Φn)由弱拓扑σ(E′,E)收敛于0，但不绝对弱拓扑|σ|(E′E)收敛于0。

下面假设yn∈[0,y]使得

说明此序列不是柯西列。矛盾。完。