锐角三角函数易错点解析

何星依

(江苏省海门市中南东洲国际学校 226100)

根据新课标，对初中锐角三角函数的教学要求是掌握锐角范围内三角函数的正弦、余弦及正切三类函数的定义及基本性质，并能够熟练使用特殊角的三角函数值，能够结合基础知识解决一系列简单的锐角三角函数实际问题.在实际教学过程中，初中数学教师普遍反映学生对锐角三角函数的理解存在很多问题，对其具体定义及性质的理解不够深入.本文结合实际教学过程中常见易错题型开展解析研判，深化学生对锐角三角函数的认知.

一、对锐角三角函数概念理解不透彻

中学函数的定义是：在变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值均有唯一的y值与之对应，则可称x是自变量，y是关于x的函数，锐角三角函数也是如此.但与一次函数、反比例函数等常规函数相比，锐角三角函数属于特殊函数，它不是依赖于表达式来表示，而是依靠直角三角形两边比值所得.

例1在Rt△ABC中，如果各边长度均扩大2倍，则锐角A的余弦值( ).

A.不变化 B.扩大2倍 C.缩小1/2

解析根据锐角三角函数的定义可知，任意锐角三角形的余弦值是指在直角三角形中，邻边与斜边的长的比值.结合题意可知，各边长度均扩大2倍，自然直角三角形邻边及斜边均扩大两倍，其比值不发生变化，故选项A正确.本题较多学生错选B选项，知道锐角三角函数的定义，也明确了余弦的概念，但却忽略了边长比值的不变性，从而发生错选.

点评锐角三角函数属于抽象类函数问题，不同于常规函数，在实际求解过程中，建议学生脚踏实地，列出余弦值表达式，代入边长变化关系，从而准确得出正确选项.

二、遗漏锐角三角函数隐含条件

锐角三角函数不仅与常规函数(一次函数、反比例函数等)存在差异性，其于钝角三角函数在求解时也存在差异性.钝角三角形只要保证有一个角为钝角即可，而锐角三角形则需要保证三个角均为锐角.对此，很多学生在求解锐角三角函数类问题时，常常会忽略三个角均为锐角的隐含条件，从而造成多解或取值范围判断过大.

例2在锐角三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中b=1、c=2，求a的取值范围.

点评判定直角(钝角)三角形时，只要保证其中一个角为直角(钝角)即可，即可判断其中一角的余弦值等于(小于)零.而在锐角三角形求解时，务必保证该三角形三个角均为锐角，即需要展开三次判断，方可得到最终结论.

三、忽略锐角三角函数分类求解思想

锐角三角函数在实际求解过程中往往存在多解情况，需要采取分类讨论的措施，以保证求解的准确性.尤其是将锐角三角函数与方程等知识点进行综合求解时，更需要注意求解边界的问题，避免漏解情况的发生.

例3如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC两条边的长度，假设△ABC的最小角为∠A，那么tanA的值为____.

解析由Rt△ABC两条边长分别为方程x2-4x+3=0的两个根，求解可知：原方程的两个根分别是1和3.由于未明确△ABC的直角边，故进行分类讨论.

点评值得注意的是，在锐角三角函数与方程等知识点相融合时，切记求解分析全面，开展分类讨论.由于该题在已知条件中，并未明确方程两根是否为两直角边，故需要分类进行讨论分析.在实际求解过程中，学生往往容易忽略上述第二种情况，造成漏解.

总之，锐角三角函数是中学数学的重要知识点，存在众多易错误区.教师在实际教学过程中，应尽可能围绕锐角三角函数概念，结合函数图象形象化展示锐角三角函数所存在的对应关系，帮助学生分清锐角三角函数的自变量与因变量关系，强化学生对于函数思想的应用.