联想类比在近世代数定理证明中的运用

尹正

[摘 要] 联想与类比既是一种普遍的科学思维方式，也是一种有效的教学手段，它是运用已经掌握的知识、方法及解决问题思路等来探索与之类似的问题。该文通过类比Lagrange定理和Sylow第三定理（计数定理）的证明思路，归纳总结其相同的思想方法并加以推广，从而打开学生的解题思路、激发学生的创新思维，提高学生学习近世代数的兴趣.

[关键词] 近世代数;类比思维;Lagrange定理;Sylow定理

[作者简介] 尹 正（1964—），男（白族），云南昆明人，硕士，云南师范大学数学学院讲师，主要从事代数学教学与研究。

[中图分类号] O153-4;G65    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）38-0262-02    [收稿日期] 2020-02-14

一、前言

近世代数是把研究对象通过集合、运算等方式，组织抽象为一些代数系统.例如：群、环、域等，然后再进一步研究每种代数系统的结构、分类、性质、规律，用以指导和解决生产和实践中的诸多问题.因此，学生在学习近世代数时，感受最深的就是概论多，内容抽象，难以理解和掌握其中的精髓.而且近世代数的课后习题多以证明方式出现，许多学生在遇到证明题时，感觉束手无策.解决问题的过程实质上就是一个思维的过程，如何教会学生科学的思维方式是每一位任课教师不得不面对的话题.

“数学的思维方法是一种科学的思维方式，通过观察客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型;运用自觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律”[1]。因此，要加强学生解题思路训练，提高其解决问题的技巧和能力，就要求专业教师在教授本课程的知识系统时，需要注重数学的思维方式，尤其在讲授定理证明时，通过类比、联想等环节进行探索.即在研究或者解决问题时，通过类比、联想与其相似并已经掌握的知识、方法，用推理、论证等的相似性，去探究解决问题的方法.

实践证明，在近世代数定理证明的教学中，多采用类比、联想思维方式，对证明思路进行剖析，发现证明思路的共同特点，就可以充分开拓学生的思路.联系已有的知识，将要证明的结论与已经解决了的熟悉的证明方法进行类比，从而创造性地解决问题.

二、通过联想、类比进行归纳和总结，剖析证明思路

定理无疑是有限群的基础结论，也是最重要的结论之一，其证明思路和方法非常值得我们学习和借鉴.

（一）Lagrange定理的证明思路

Lagrange定理[2] 设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|·（G：H）.

即Lagrange定理的结论.

从上面的证明思路可以看出其核心思想是：由元素之间的等价关系得到有限集合的一个分类，又由该分类得到有限集合的一个计数关系，再优化计数关系得到有限群的阶与其任意子群的阶之间的一个重要关系.而著名的Sylow第三定理[2]与Lagrange定理有相似之处，我们可以用类比思维的方式，用已经熟悉、掌握的Lagrange定理的证明思路来探究.

（二）Sylow第三定理（计数定理）的证明思路

p|（G：H）-（N（H）：H）.又因为，（G：H）=（G：N（H）·（N（H）：H）=k（N（H）：H），于是有：

素数p整除k（N（H）：H）-（N（H）：H）=（N（H）：H）（k-1）.又因为H是G的Sylow p-子群，

所以，p+（G：H），于是，p+（N（H）：H），故有：p|k-1，即，k≡1（mod p）.

近世代数不仅课程的内容抽象，性质、定理的证明也非常抽象，难以理解.但是，通过类比、联想已学过的相关相似命题证明的思路，揭示出证明过程的本质，不仅有利于学生接受，也有利于培养学生从现象到本质、从特殊到一般、从具体到抽象的认识事物的能力，诱导它们由命题的相似性，去猜想推理论证的相似性，从而发展其解决问题的能力.

三、将类比结论进行推广，培养学生的创新能力

通过类比上述定理的证明思路，我们联想到：如果抽象群G在集合M上有一个群作用

a？紫x∈M，a∈G，x∈M，这里的x是集合M中任意一个元素，记在该群作用下元素x的轨道（即x所在的轨道）为：Mx={a？紫x|a∈G}，那么，我们在集合M上规定一个二元关系：

这个等式称为群的类方程，是有限群研究中重要的结论之一.

四、结束语

实践表明，在近世代数课堂教学中，不仅可采用类比、联想思维方式来讲授概念、性质等，对讲授定理的证明思路和证明过程也可采用类比、联想思维方式，这样既可以有效地培养学生的数学思维和培养学生发现问题和分析解决问题的能力，也可以打开学生的解题思路，激发出学生的创新思维，提高学生学习近世代数的興趣，起到事半功倍的神奇效果.正如康德所说：“每当理智缺乏可靠的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”

参考文献

[1]丘维声.数学的思维方式与创新[M].北京：北京大学出版社，2011.

[2]杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]徐明曜.有限群引导（上）[M].北京：科学出版社，1999，9-10.

[4]丘维声.抽象代数基础[M].北京：高等教育出版社，2008.

The Application of Association and Analogy in Proving Modern Algebra Theorems

YIN Zheng

（Yunnan Normal University，Kunming，Yunnan 650092，China）

Abstract：Association and analogy is a common way of scientific thinking.It is also a kind of effective teaching method.It uses acquired knowledge，methods and problem solving thinking to explore a similar problem.Through the analogy of the proofing ideas of the Lagrange theorem and the Third Sylow theorem （counting theorem） ，this paper summarizes the same thinking methods and promote them.This opens students' problem solving ideas，stimulates students' innovative thinking and improves the students' interest in learning modern algebra.

Key words：modern algebra;thinking by analogy;Lagrange theorem;Sylow theorem