在数学自主学习中培养学生的思维能力

成宝娟　石国凤

【摘 要】数学自主学习是一种让学生思维舞动起来的学习方法，在数学自主学习中，我们要努力培养学生的推广思维、类比思维和逆向思维等思维能力，挖掘学生思维潜力。

【关键词】自主学习；推广思维；类比思维；逆向思维

培根说：数学是思维的体操。我认为，数学自主学习就是一种让学生思维舞动起来的学习方法。常见的数学思维有：推广思维、类比思维、逆向思维、归纳思维、发散思维、创新思维、分析思维、抽象思维、质疑思维、逻辑思维、形象思维、组合思维、直觉思维等。当我们把自己当作一个科学家去自主研究数学时，要开拓思路，点燃思维火花，采用多种思维方式去研究数学知识和数学思想方法，培养思维的深刻性、灵活性、敏捷性、多向性、严谨性、发散性和独创性，挖掘思维潜力。

一、善于运用推广思维

我们对数学的认识，对知识的学习是一个循序渐进、由浅入深、不断推广的过程。数学家在数学研究中，许多概念都是通过推广原有概念而建立的，许多重要定理、公式也是通过对命题的推广而得到的。推广是人类发现数学规律的重要工具，是数学研究的基本方法。

比如说，我们在学习自然数时，当我们对自然数的性质、特点、运算规律有了一个深入的认识后，我们可以逐步自主研究出整数、有理数、实数、复数的性质、特点、运算规律，当我们完成对 的推广时，我们的自主学习能力、研究能力会得到很大的提高，逻辑思维、理性思维、推广思维、分析思维得到很好的锻炼。

随着我们对解一元一次方程和等式的性质的学习，我们可以推导出解二元一次方程组的方法。当我们能够熟练地解出二元一次方程组的时候，要理解解二元一次方程组的实质是消元，我们利用消元这样的一个方法，就可以推导出解三元一次方程组、n元一次方程组的方法。同样，当我们熟练掌握解二次方程降幂的思想时，利用降幂的思想我们就可以推广出解三次方程、n次方程的方法。利用消元降次的方法我们就可以推广出n元高次方程组的解法。如果解方程（组）的方法不是通过死记硬背而得到的，不是通过老师灌输给我们的，而是我们自己研究出来的，那么这样学到的知识是最深刻、最难遗忘的，终身受益。我们要在复杂的表面现象中，发现并抓住数学问题的规律和本质，培养思维的敏捷性和深刻性、灵活性和严谨性。

二、善于运用类比思维

类比思维是通过对一些相似问题或规律进行比较，发现其中的联系和区别。自主学习的过程中我们可以利用我们熟悉的已知数学知识、数学思想方法类比出未知的知识点。

在数学中，到处都可以用到类比的思想。等差数列和等比数列中渗透着类比的思想方法，映射与函数中渗透着类比的思想方法。在解析几何中我们可以用类比的思想学习抛物线、双曲线、圆、椭圆。

类比的思维不仅广泛应用于数学概念和性质，也广泛应用于公式结构和解题思路。比如说我们可以由基本求导公式类比出基本微分公式；函数的复合运算满足结合律，但不满足交换律，我们可以类比出矩阵与矩阵的乘法也满足结合律，但不满足交换律；极限的线性运算规律类比出导数、不定积分、定积分都满足线性运算规律，Laplace变换和Laplace逆变换也满足线性运算规律。

三、善于运用逆向思维

逆向思维即“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面进行深入探讨、思考的一种思维方式。当顺向思维遇到瓶颈时，就可考虑逆向思维。逆向思维能够突破思维定势，解放思想、开阔思路。逆向思维在数学中有着广泛的应用。

数学中的很多运算总是正逆交替，成对出现的，而且可以相互转化。比如：当我们熟悉指数函数

时，我们可以大胆设置下一个研究方向：指数函数的逆运算是什么呢？由此我们可以推导出对数函数

的定义、运算规律及其应用。利用逆向思维我们还可以学习乘方的逆运算开方，微分的逆运算积分，加法的逆运算减法，乘法的逆运算除法，Laplace变换的逆运算Laplace逆变换。

自主学习数学定理、公式、法则时，要注重它的逆用。比如说基本求导公式、微分公式反过去背就是基本积分公式。平面几何中的“性质定理”与“判定定理”是互逆的关系。在学习数学定理时我们总是问自己：它的逆命题成立吗？否命题成立吗？如果不成立，应该加上、减去或改变一些什么样的条件才能让它成立？我们要有意识地、经常性地进行锻炼，从而促进逆向思维能力的提升、心理素质的优化。

在解题中，有些题目如果从条件入手，则会不知道从哪下手，很难解出，根据正难则反的原则，我们可以进行逆向思考。从问题的结论出发，一步一步逆推到条件，最终得到题目条件或者有关结论。用逆向思维解题时用得最多的是反证法。通常我们先假设结论不成立，再推出与题设、公理或者定义相矛盾的结论，故假设不成立，即证得题目结论正确。

数学思维体现在数学知识的方方面面，所以我们要把培养自己的数学思维能力贯穿于整个数学学习过程中，渗透于每个学习环节中。学习者不应该只满足于学到多少知识，而更应关注思维能力是否得到了锻炼和提高。

【参考文献】

[1]张桂梅.在高等数学教学中培养学生的思维能力[J].教育与职业，2013.（5）.

作者简介：

成宝娟，女，1981年09月生，咸宁市通山县人，讲师，理学学士学位，研究方向：数学教育与应用

石国凤，女，1980年08月，咸宁嘉鱼人，讲师，研究方向：数学教育与应用

基金项目：湖北省教育科学“十二五”规划课题——数学自主学习教与学的实践探究（课题编号2013B393）

（作者单位：咸宁职业技术学院机电工程系）