广义Nekrasov矩阵的判别法及其迭代算法

郭爱丽, 左建军

(贵州工程应用技术学院 理学院, 贵州毕节551700)

§1 引 言

广义Nekrasov矩阵是一类广泛应用于经济数学, 控制理论及工程数学等领域的特殊矩阵(见[1-11]), 例如数值计算中遇到的大型线性方程组AX=b, 当系数矩阵A为广义Nekrasov矩阵时许多经典的迭代算法均是收敛的; 又如数学物理中考察迭代矩阵谱半径时, 当所考察的矩阵为Nekrasov矩阵时其迭代矩阵的谱半径比其为对角占优矩阵时的谱半径更精确. 因此, 探究广义Nekrasov矩阵简单实用的判别法具有重要的理论和实践意义, 文[5]在弱Nekrasov矩阵的前提下, 利用子矩阵和链对角占优给出广义Nekrasov矩阵的一个充分判定; 文[12-17]利用矩阵元素的性质, 针对矩阵元素下标区域的不同划分, 给出广义Nekrasov矩阵的若干判别法. 本文对一般任意给定的矩阵, 通过对其下标集给予不同的递进式划分, 利用定义构造特殊的正对角矩阵,结合不等式的放缩, 给出广义Nekrasov矩阵的两个充分条件, 并以此为理论基础, 进而获得广义Nekrasov矩阵的两个迭代算法, 改进和推广了已有相关结果.

则A是广义Nekrasov矩阵.

显然, 若N1= ∅, 则A ∈N, 由引理1.1[4]知A ∈N∗; 若N2= ∅, 由引理1.2[5]知A/∈N∗,此外, 若矩阵A的主对角线元素中存在零元, 由引理1.3[8]知A/∈N∗. 因而, 这里总假设数集N1,N2皆非空, 且矩阵A的主对角线元素均非零.

§2 广义Nekrasov矩阵的判别法

下面通过对方阵行下标集不同的区域划分, 构造特殊的正对角矩阵因子, 结合不等式的放缩技巧, 给出广义Nekrasov矩阵两个新的判别法.

由(14)-(15)式知, 对∀i ∈N1,j ∈N2, 都有(|bii|−αi(B))(|bjj|−βj(B))>βi(B)αj(B), 从而由引理1.6[18]知B=AX1∈N∗, 故存在正对角矩阵X2, 使得BX2=AX1X2∈N, 而X1X2=X仍是正对角矩阵, 所以A ∈N∗, 即A为广义Nekrasov矩阵.

§3 广义Nekrasov矩阵的迭代算法

定理3.1如果算法经过有限步迭代后终止,且产生一个正对角矩阵,则A是广义Nekrasov矩阵.

证 若算法经过m步迭代后停止, 且产生一个正对角矩阵, 则说明已获得一个Nekrasov矩阵A(m)=A(0)X(1)X(2)···X(m−1)=AX, 其中X=X(1)X(2)···X(m−1)是一个正对角矩阵, 从而A是广义Nekrasov矩阵.

§4 数值算例

下面用数值算例说明本文定理2.1和2.2互不包含, 且所得结果推广了文[12]定理1.

例4.1设

由Matlab数值实验得N1={1,2},N2={3,4,5},N(2)1=N(1)2={1,2},N(1)1=N(2)2= ∅,矩阵A满足定理2.1条件, 所以,A为广义Nekrasov矩阵. 但是

(1) 当i=2,j=4时,

容易验证A不满足本文定理2.1和引理1.4[12], 但矩阵A满足定理2.2的条件, 所以, 可判断A为广义Nekrasov矩阵.