随机Dirichlet级数的广义Hadamard乘积的增长性

崔永琴，徐洪焱

(1.景德镇陶瓷大学信息工程学院，江西 景德镇 333403；2.上饶师范学院数学与计算机科学学院，江西 上饶 334001)

1 引言与主要结果

考虑Dirichlet级数

(1.1)

其中{an}⊆C，0<λn↑+∞，σ和t是实变量。当级数(1.1)满足

(1.2)

则根据文[1，2]中Valion公式可得，级数(1.1)的收敛横坐标是-∞，那么f(s)在全平面上解析，即为整函数。记D为级数(1.1)满足条件(1.2)的整函数f(s)的全体集合。

定义1.1[2]若f(s)∈D，f(s)的q-级与下q-级的定义为

注log[0]x=x，log[q]x=log(log[q-1]x)，q∈+。

定义1.2[2]如果ρ=χ，那么称Dirichlet级数(1.1)具有ρ[q]-正规增长;如果τ=T，则称级数(1.1)具有完全ρ[q]-正规增长。

Dirichlet级数表示的整函数的增长性一直是复分析领域研究经典且有趣的问题，过去的几十年里，国内外许多学者，如:Hardy，Filevych，余家荣、孙道椿、高宗升等对Dirichlet级数的增长性做了大量重要且有意义的工作，得到了许多具有经典与纲领性结果(见[1-6])。这里仅列出全平面收敛的Dirichlet级数的涉及(下)q-级和(下)q-型的几个经典结果(见[7-9])。

定理A设f(s)∈D，则

(1.3)

(1.4)

其中q=2，3，…。

定理B设f(s)∈D，则

(1.5)

其中q=2，3，…，上式中等号成立当且仅当

(1.6)

为关于n的非减函数。

定理C设f(s)∈D，则

(1.7)

其中q=2，3，…，上式中等号成立当且仅当(1.6)为关于n的非减函数，且log[q-2]λn-1～log[q-2]λn，(n→∞)。

2009年与2014年，孔荫莹等通过引入Dirichlet-Hadamard乘积定义，在两种不同的系数条件下，讨论了Dirichlet-Hadamard乘积级数的增长性，得到了其(下)q-级与(下)q-型的上界和下界的估计定理(见[10-11])。2018年，李云霞与孔荫莹文[12]定义了随机Dirichlet-Hadamard乘积级数，同时讨论了该乘积级数的增长性，得到了乘积级数与原级数之间增长性的联系，拓展了Dirichlet-Hadamard乘积的研究。2019年，应锐与徐洪焱文[13]中在不同的系数限制下进一步讨论了随机Dirichlet-Hadamard乘积的增长性。

本文通过引入随机Dirichlet级数的广义Dirichlet-Hadamard乘积，进一步讨论乘积级数的增长性，并得到乘积级数与原级数之间的(下)q-级和(下)q-型的关系定理。为叙述本文结果，先给出如下随机Dirichlet级数的广义Hadamard乘积定义。

(1.8)

cn(ω)=[an1Xn(ω)]μ[an2Xn(ω)]υ，λn=αλn1+βλn2

(1.9)

其中anj，λnj(j=1，2)满足条件(1.2);{Xn(ω)}是概率空间(Ω，Α，P)中的独立复随机变量列，μ和υ是正实数。

引理1.1[2](ⅰ) 若{Xn(ω)}满足:∃c>0，

(1.10)

那么对ω∈Ω，∃N1(ω)，当n>N1(ω)时，

(1.11)

(ⅱ) 若{Xn(ω)}满足:∃d>0，

(1.12)

那么对ω∈Ω，∃N2(ω)，当n>N2(ω)时，

(1.13)

(ⅲ) 若{Xn(ω)}满足(1.10)和(1.12)，那么对ω∈Ω，∃N(ω)，当n>N(ω)时，

n-k0≤|Xn(ω)|≤nk0

(1.14)

若随机Dirichlet-Hadamard乘积(1.8)满足(1.2)式，且{Xn(ω)}满足(1.10)式，由定义(1.3)及引理1.1中(1.11)式得

于是

因此σc(ω)=σc=-∞，即随机Dirichlet-Hadamard乘积(1.8)于全平面收敛。

在系数条件

λn1～λn2，(n→+∞)

(1.15)

限制下，随机Dirichlet级数的广义Hadamard乘积级数的增长性，我们有

(1.16)

(1.17)

(ⅰ) 若f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正规增长的整函数，那么G(s，ω)也是ρ[q]-正规增长，且它的q-级满足

(1.18)

(ⅱ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，则G(s，ω)的q-型满足

log[q-2]λn1～log[q-2]λn-11(n→∞)，log[q-2]λn2～log[q-2]λn-12(n→∞)

(1.19)

以及(2.1)是两个关于n的非减函数且满足(2.2)，f1(s，ω)，f2(s，ω)是完全ρ[q]-正规增长的整函数，那么G(s，ω)也是完全ρ[q]-正规增长，且它的q-型和下q-型分别满足

(1.20)

(1.21)

在系数条件

γn=ηξn

(1.22)

限制下，随机Dirichlet级数的广义Hadamard乘积级数的增长性，我们得到

(1.23)

(1.24)

(ⅰ) 若f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正规增长的整函数，那么G(s，ω)也是ρ[q]-正规增长，且它的q-级满足

(1.25)

(ⅱ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，则G(s，ω)的q-型满足

(1.26)

2 定理1.1～1.4的证明

为证明定理1.1～1.4，先给出Dirichlet级数的广义Hadamard乘积的定义(见[14])。

cn=an1μan2υ，λn=αλn1+βλn2

其中μ和υ是正实数;{an1}，{an2}⊂，0<λn1，λn2↑∞。

引理2.1[14]假设

(2.1)

为2个关于n的非减函数且满足

λn+12-λn2|=kλn+11-λn1|，(k>0)

(2.2)

(ⅰ) 广义Dirichlet-Hadamard乘积F(s)的q-级和下q-级满足

(2.3)

(ⅱ) 若f1(s)，f2(s)是ρ[q]-正规增长的整函数，那么F(s)也是ρ[q]-正规增长，且它的q-级满足

(2.4)

(ⅲ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，则F(s)的q-型满足

(2.5)

(ⅳ) 若f1(s)，f2(s)是完全ρ[q]-正规增长的整函数，且满足(1.19)，那么F(s)也是完全ρ[q]-正规增长，且它的下q-型满足

(2.6)

(2.7)

定理1.1的证明先证ρ1(ω)=ρ1，ρ2(ω)=ρ2。由引理1.1中(1.14)知

|anj|n-k0≤|anjXn(ω)|≤anj|nk0，j=1，2

从而

于是

因此，ρj(ω)=ρj，j=1，2.

由定理A知∀ε>0，∃N1，N2>0，当n>N=max{N1，N2}时，有

根据cn(ω)的定义可得

从而

(2.8)

又由λn1～λn2(n→∞)，则

log[q-1]λn1～log[q-1]λn2～log[q-1]λn(n→∞)，q=2，3，…

结合ε的任意性，可得

这样，定理1.1证毕。

定理1.2的证明类似定理1.1的证明易得χ1(ω)=χ1，χ2(ω)=χ2。又根据定理B，∀ε>0，∃N1，N2>0，当n>N=max{N1，N2}时，有

根据cn(ω)的定义有

从而

(2.9)

由λn1～λn2(n→∞)，则

log[q-1]λn-11～log[q-1]λn-12～log[q-1]λn-1(n→∞)，q=2，3，…

结合ε的任意性得

因此，定理1.2得证.

定理1.3的证明(ⅰ) 结合定理1.1与1.2可得

根据f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正规增长的整函数，则ρ1=χ1，ρ2=χ2。因此ρ(ω)=χ(ω)，即G(s，ω)是ρ[q]-正规增长，且满足

(ⅱ) 先证Tj(ω)=Tj，j=1，2。由引理1.1知

由引理2.2中(2.5)知

根据cn(ω)的定义和引理1.1中(1.14)知

定理1.4的证明(1) 结合引理2.2中(2.6)与引理1.1，类似于定理1.3易证之。

(2) 类似于定理1.3的证明τj(ω)=τj，j=1，2。由引理2.2中(2.7)知

根据cn(ω)的定义和引理1.1中(1.14)知

3 定理1.5～1.8的证明

为证明定理1.5～1.8，需以下引理.。

γn=ηξn

以及(2.1)是两个关于n的非减函数且满足(2.2)，则

(ⅰ) 广义Dirichlet-Hadamard乘积F(s)的q-级和下q-级满足

(3.1)

(ⅱ) 若f1(s)，f2(s)是ρ[q]-正规增长的整函数，那么F(s)也是ρ[q]-正规增长，且它的q-级满足

(3.2)

(ⅲ) 若ρ1，ρ2∈(0，+∞)，则F(s)的q-型满足

(3.3)

(ⅳ) 若f1(s)，f2(s)是完全ρ[q]-正规增长的整函数，且满足(1.19)，那么F(s)也是完全ρ[q]-正规增长，且它的下q-型满足

(3.4)

(3.5)

定理1.5的证明由定理1.1知ρ1(ω)=ρ1，ρ2(ω)=ρ2，且∀ε>0，∃N1，N2>0，当n>N=max{N1，N2}时，(2.8)式成立。

由λn1=ηλn2，则λn=(αη+β)λn2与

log[q-1]λn1～log[q-1]λn2～log[q-1]λn(n→∞)，q=2，3，…

结合ε的任意性，可得

这样，定理1.5即证.

定理1.6的证明由定理1.2可得χ1(ω)=χ1，χ2(ω)=χ2，且∀ε>0，∃N1，N2>0，当n>N=max{N1，N2}时，(2.9)式成立。

由λn1=ηλn2，则λn=(αη+β)λn2以及

log[q-1]λn-11～log[q-1]λn-12～log[q-1]λn-1(n→∞)，(n→∞)，q=2，3，…

结合ε的任意性易得

定理1.7的证明(ⅰ) 结合定理1.5和1.6可得

由于f1(s，ω)，f2(s，ω)是ρ[q]-正规增长的整函数则ρ1=χ1，ρ2=χ2。因此ρ(ω)=χ(ω)，即G(s，ω)是ρ[q]-正规增长，且

(ⅱ) 由(3.3)知

再结合定理1.3中Tj(ω)=Tj(j=1，2)，T(ω)=T易得定理1.7成立.

定理1.8的证明(1) 由引理3.1与引理1.1，类似于定理1.4易证。

(2) 由引理3.1知

类似于定理1.4可得τj(ω)=τj(j=1，2)，τ(ω)=τ，则G(s，ω)的下q-型满足(1.18)。这样，定理1.8证毕。