基于窗函数法设计FIR滤波器技术研究

郭 敏，高俊浩

（国家无线电监测中心检测中心，北京 100041）

0 引言

滤波器的分类方式多种多样：从通频带方面分类，有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器：从所处理的信号类型进行分类，可分为模拟滤波器和数字滤波器。数字滤波器的输入输出信号均是离散的，随着数字电路和计算机技术的快速发展，不同设计类型的数字滤波器在不同场景下得到了广泛应用。数字滤波器按其冲激响应函数的特性可分为：无限冲激响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限冲激响应FIR（Finite Impulse Response）滤波器[1]。IIR数字滤波器的相位是非线性的，而FIR数字滤波器有精确的线性相位特质，具有非递归特性，良好的稳定性，较高的精确度。所以，FIR数字滤波器在数字信号处理、图像处理、传输数据等方面，得到了广泛的应用。

常用的FIR数字滤波器设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等纹波逼近法[2]。本文以MATLAB为设计平台，研究分析不同窗函数对FIR滤波器设计的性能影响，进行仿真比较，最后给出了如何根据实际需求选择不同窗函数的设计建议。

1 窗函数法

傅立叶变换是数字信号处理的重要工具之一，其作用范围是正负无穷，但是在实际信号测试处理中，无法采样和分析无限长的信号，所以只能采取有限长度的信号进行测量和运算。因此，可以对原始时域信号hd（n）截取，将截取的部分片段信号进行周期扩展，这样就可以模拟实现得到一个虚拟的无限长信号，后续再对其进行傅立叶变换和频谱分析。但是，这样的截断会带来频谱泄露，使频谱发生畸变。所以，需要采用不同的截取函数w（n）对信号进行截断，可以有效减少频谱能量泄露，称此截取函数w（n）为窗函数，可用式（1）表示：

h（n）=hd（n）*w（n） （1）

图1展示了信号加窗函数前后的时域图和频谱图。如图1左上方所示，为信号未加窗函数处理，对信号部分截取后的时域图，其频域图如图1右上方所示，有较严重的频谱泄露现象。图1左下方的信号是在对原始截断后的信号基础上，做加窗处理得到的时域图，其起始时刻和末尾时刻幅度均为0，相当于加窗后将非周期信号转换成周期性信号，然后对该信号进行傅立叶变换，如图1右下方所示，与未加窗的频谱比较，泄漏得到明显改善，但没有完全消除。因此，窗函数可以有效减少频谱泄漏，但不能完全消除频谱泄漏。

2 基于窗函数法设计FIR滤波器

工程中常用的窗函数有六种，分别为：矩形窗、三角形窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗和凯塞窗[3]。不同窗函数特性有所不同，对信号的频谱特性影响不一样。

2.1 窗函数对比

图1 信号加窗前后时域图和频域图对比

2.1.1 矩形窗函数

矩形窗的定义为：

式中，N为窗的长度。

其时域波形图和频域波形图如图2所示：

图2 矩形窗及其频谱特性（N=60）

由图2所见，矩形窗函数的主瓣宽度为4π⁄N，矩形窗主瓣宽度最窄，旁瓣衰减最大[3]，旁瓣峰值比主瓣峰值低13 dB。

2.1.2 三角形窗函数

矩形窗存在0到1的越变，而三角形窗提供了一个比较缓慢的变化，其定义为：

其时域波形图和频域波形图如图3所示：

图3 三角形窗及其频谱特性（N=60）

由图3可见，三角形窗函数的主瓣宽度为8π⁄N，是矩形窗函数主瓣宽度的两倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低26 dB。

2.1.3 汉宁窗函数

汉宁窗是一个升余弦窗，其定义为：

其时域波形图和频域波形图如图4所示：

图4 汉宁窗及其频谱特性（N=60）

由图4可见，汉宁窗函数的主瓣宽度为8π⁄N，是矩形窗函数主瓣宽度的两倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低31 dB。

2.1.4 海明窗函数

海明窗和汉宁窗类似，其定义为：

其时域波形图和频域波形图如图5所示：

图5 海明窗及其频谱特性（N=60）

由图5所见，海明窗函数的主瓣宽度为8π⁄N，和汉宁窗函数的主瓣宽度一样，是矩形窗函数主瓣宽度的两倍，但海明窗的旁瓣峰值低于汉宁窗，旁瓣峰值比主瓣峰值低42 dB。

2.1.5 布莱克曼窗函数

布莱克曼窗函数和汉宁窗、海明窗类似，但是增加了升余弦的二次谐波分量，其定义为：

其时域波形图和频域波形图如图6所示：

图6 布莱克曼窗及其频谱特性（N=60）

由图6所见，布莱克曼窗函数的主瓣宽度为12π⁄N，是矩形窗函数主瓣宽度的三倍，旁瓣峰值比主瓣峰值低58 dB。

2.1.6 凯塞窗函数

凯塞窗不同于其他窗函数，是由零阶贝塞尔函数I0构成的窗函数，对于相同的N，可以通过调整参数β的值来选择不同的过渡带宽，其定义为：

其时域波形图和频域波形图如图7所示：

图7 凯塞窗及其频谱特性（N=60，β=8.5）

由图7所见，当β=8.5时，凯塞窗旁瓣峰值比主瓣峰值低62 dB。

从时域看，当β越大，窗的宽度越窄，从频域看，过渡带宽随β的增大而变宽，主瓣的宽度也随之增加，但频谱的旁瓣在减小，阻带最小衰减在增大，通带内更为平坦，如图8所示：

图8 不同β值的频谱特性对比（N=60，β1=4，β2=8.5）

2.1.7 不同窗函数对比总结

以连续信号x（t）=cos（2πf1t）+0.15cos（2πf2t），式中，f1=100Hz，f2=150Hz，采样频率fs=600Hz为例，采用矩形窗和布莱克曼窗分别对其进行滤波，结果如图9所示：

图9 采用矩形窗和布莱克曼窗对信号滤波结果对比（N=80）

（1）由图9可见，当窗的长度N相同时，由矩形窗函数设计的滤波器主瓣宽度最窄，过渡带宽最窄，但其阻带衰减最差，使得其频率分辨率最精确，幅度分辨率最差；由布莱克曼窗函数设计的滤波器主瓣宽度最宽[4]，过渡带宽也最宽，但阻带最小衰减最大，使得其频率分辨率最低，幅度分辨率最精确。由其他窗函数设计的滤波器性能介于二者之间。

以汉宁窗为例，采用不同的N值，对上述信号进行滤波，其结果如图10所示：

图10 采用不同N值对信号滤波结果对比（N1=40，N2=100）

（2）由图10可见，当采用相同窗函数设计FIR数字滤波器时，主瓣宽度随着N的增加在变窄，过渡带宽随之在缩小，阻带最小衰减随之在变大。因此，当滤波器的阶数N值越大，滤波器的实际频率响应越接近理想的频率响应，抗干扰能力越强。

2.2 窗函数选择

综上所述，由不同窗函数设计的FIR数字滤波器对信号的滤波效果和频谱特性有所不同。理想情况下，窗函数主瓣宽度越窄越好，其频率分辨率就越精确，越接近理想的频谱响应曲线；旁瓣最小衰减越大越好，其滤除干扰信号的能力越强，幅值精度就越高。但通常，主瓣宽度的减小是以旁瓣最小衰减的牺牲为代价的，二者不能兼得。

所以，在实际工程设计中，需要根据测试信号的特点和实际需求来选择不同的窗函数。如果需要测试出信号的精确频率，不需要准确区分信号的强度大小，那么可以选择主瓣宽度最窄的矩形窗函数，比如测量物体的自振频率；如果存在较强的干扰信号，需要增大对其的衰减能力才能分析所需信号，那么可以选择旁瓣衰减较大的汉宁窗函数；如果检测近似的两个频点、强度不同的信号，那么可选择布莱克曼窗函数；如果同时对幅值精度和频率精度要求较高的时候，那么可选择凯塞窗函数。

3 结束语

本文基于窗函数法设计FIR数字滤波器，介绍了窗函数的定义、加窗的意义、不同窗函数的性质及其对比、仿真分析不同窗函数对滤波器性能的影响，最后给出了在实际工程设计中，如何根据实际需求选择合适的窗函数，更好地进行信号分析和处理。