函数的单调性快乐导学

孙建国

函数的单调性作为函数的基本性质之一，在高中数学中有着广泛的应用，因此，牢固掌握函数的单调性这一知识点十分重要。那么如何才能学好函数的单调性呢? 同学们应注意下面四个问题。

一、注意对函数单调性定义的正确理解

1.增函数、减函数是相对于相应区间而言的，有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。离开相应区间就根本谈不上增减性。如函数f(x)=x2，在区间(-∞，0]上是减函数，而在区间[0，+∞)上是增函数，所以不能说f(x)=x2是增函数或减函数。因此，判断某个函数的增减性时，必须标明所在的区间。

2.一个函数在某个区间是增函数或减函数，不能由特定的两个点来判断，必须严格依据定义：在给定区间内任取x1，x2，根据它们的函数值f(x1)和f(x2)的大小来判断其增减性。反之，若已知函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以由函数值的大小去判断自变量的大小。如函数f(x)=x2在区间[-2，2]上，取两个特定的值x1=-2，x2=1，x1＜x2，而f(x1)=4，f(x2)=1，则f(x1)＞f(x2)。若由此判断f(x)=x2在区间[-2，2]上是减函数那就错了。

二、注意函数的单调性与单调区间的区别与联系

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫作函数y=f(x)的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图像从左到右是上升的，减函数的图像从左到右是下降的。一个函数有单调区间，并不能说明它在定义域内单调，因为函数的单调区间是其定义域的子集。一个函数在定义域内具有单调性，那么定义域就是它的单调区间。

三、注意函数单调性定义的“双向”应用

所谓“双向”应用，就是指“顺用”与“逆用”。函数单调性的“顺用”，主要是利用函数单调性的定义判断函数是否单调、比较函数值的大小、求函数的值域等。而函数单调性的“逆用”往往被忽视，我们应加强这方面的训练，从而加深对函数单调性的理解。

四、注意函数单调性与不等式的联系

函数的单调性是函数的重要性质，它和不等式密不可分，它的核心也包含不等式的恒成立问题，即对函数定义域内的任意的x1，x2，不 等 式f x1( )＜f x2( )或f x1( ) ＞f x2( )恒成立。当已知函数的单调性时，可以从定义出发，将函数在指定区间上的单调性，转化为不等式的恒成立问题，从而可以通过分离参数求最值的方法来得到参数的取值范围。