函数的基本性质重点突破

游绍绪

函数的基本性质主要是指单调性和奇偶性，但是，我们应当明确函数的基本性质中有哪些重点，遇到相应的题型应如何处理与解决，又需要掌握哪些方法，这些都是我们需要落实的。

重点1：函数单调性的判断与应用

证明或判断函数的单调性的方法主要是定义法(在解决选择题或填空题时可用图像法)。

重点2：利用函数的奇偶性求解析式

若f x( )为奇函数，则它的图像关于原点对称，反之也成立；若f x( ) 为偶函数，则它的图像关于y轴对称，反之也成立。这个结论提供了结合图像处理函数奇偶性问题的依据，这也是数形结合思想的体现与应用。

重点3：函数奇偶性与单调性的综合应用

例3 定义在R 上的偶函数f x( )满足：对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，都有(x2-x1)[f x2( )-f x1( )]＞0，则当n∈N*时，有( )。

A.f-n( )＜f n-1( )＜f n+1( )

B.f n+1( )＜f-n( )＜f n-1( )

C.f n-1( )＜f-n( )＜f n+1( )

D.f n+1( )＜f n-1( )＜f-n( )

解：因 为 对 任 意 的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，都有(x2-x1)[f x2( )-f x1( ) ]＞0，所以当x2-x1＞0，即x2＞x1时，则f x2( )-f x1( )＞0，即f x2( )＞f x1( )。当x2-x1＜0，即x2＜x1时，则f x2( ) -f x1( )＜0，即f x2( )＜f x1( )。故函数f x( )在(-∞，0]上为单调递增函数。

又因为f x( ) 在R 上是偶函数，所以f x( ) 在[0，+ ∞)上为单调递减函数，则f n+1( )＜f n( )＜f n-1( )，即f n+1( )＜f-n( )＜f n-1( )。应选B。

奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性进行比较。