浅谈如何培养学生的逆向思维

张志华

[摘  要] 在高中数学教学中，正向的思维在解题中起着决定性的作用，但是任何知识都是具有双面性的，思维也是具有可逆性的. 如果我们完全局限地使用正向思维来解题，难免会在解题过程中付出加倍的辛苦，而最后也可能会是徒劳无功，百思不得其解.在数学教学中，其实我们是常接触到逆向思维的，比如反证法.文章主要探索的是逆向思维在高中阶段数学教学中所起到的作用，以及教师应该如何在教学中渗透、培养学生的逆向思维能力.

[关键词] 高中数学;解题;逆向思维

作为个人思维训练的基础载体，逆向思维不仅是数学思维和创造性思维的重要组成因素，更是培养学生逆向思维形成的重要依据. 培养逆向思维的同时也促成了灵敏性的思维养成. 在解决问题时，学会从反向的角度入手，即在知道结果的前提下，去探究问题的根源.在高中数学教学过程中，逆向思维的问题一直是教学的重点和难点，这体现了培养逆向思维的重要性，通过对学生逆向思维的训练，以此来帮助学生掌握运用逆向思维分析、解决问题的方法，形成良好的思维习惯.

逆向思维的内涵

逆向思维听上去似乎有些陌生，但是其实在生活和学习中很多地方都应用了逆向思維. 当前，有一些高中生由于缺乏观察力、分析力、拓展力和创造力，导致他们的数学成绩始终处于中等偏下水平，这与行业学者所称的“逆向思维能力薄弱”有关. 其实，简单意义上，逆向思维就是将问题反过来思考，或者利用某些定理和数学公式、法则反向推理从而找到解决问题的办法. 尤其是在面对一些特殊问题的时候，可以选择从结论往回推导，换一种思维方式，从已知条件中找寻答案，这样会使问题简单化. 逆向思维也是重要的数学思维方式，逆向思维的训练是实现培养学生思维灵敏性思考的重要途径，强化逆向思维的训练，可以更好地培养学生思维的敏捷性和发散性，使学生所掌握的数学知识能够得到有效的迁移.另外，通过正确的引导，将逆向思维运用到拓展解题的过程中，能够调动出学生学习数学的积极性，改变学生的定向思维结构，更好地从正向思维能力向逆向思维能力转变，从而激发出学生探索数学奥秘的热情，增强高中生的自主学习能力.

逆向思维在数学教学中的培养

在我们学习与了解了逆向思维之后，我们意识到了逆向思维的重要性，在实际教学中，我们该采取何种有效的措施将其引入进来，并成为教学的重点？在综合了解数学教学的各个环节之后，我们发现逆向思维的培养可以从以下几个方面进行.

首先，可以依据教材来加强基础知识学习，培养学生的逆向思维.从概念教学着手，教材中有很多的互逆概念，在解答这些概念时，可以适当借助正向、逆向思维来回互换和相互关联的方式来进行分析，引导学生在这个过程中，通过发掘数学中的互逆因素，自主形成逆向思维，帮助学生打破传统思考模式的束缚，达到高效学习的目的. 如此一来，才会使学生更加充分、透彻地理解这些数学概念，逐步形成双向思维能力.

其次，通过借助定义来进行逆向思维的锻炼.某些跟定义直接相关的问题，其条件和结论是相互等价的，是可以互相推导出来的，因此从某种意义上讲，定义是既可以正用，也可以逆用的. 例如，在进行哪些逆命题是真命题的练习中，有这样一道练习题“当集合A是集合B的子集时，A∩B=A”，反过来讲，“当A∩B=A时，集合A就是集合B的子集”. 在教学中，教师应该多举一些这样的例子，从而锻炼学生的逆向思维能力.

第三，高中数学教学中，解题需要运用到大量的公式，不仅需要学生能够了解公式，还要懂得如何运用公式，单纯死记硬背并不利于掌握. 除了能正向运用公式解题，很多时候我们还要学会逆向运用公式，增强学生对公式的掌握程度，进而达到融会贯通的目的. 例如：证明（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=223. 分析这道题，我们发现tan45°=1，所以1+tan45°=2，题干中的等式就可以变为（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）=222. 只要证明左边44个因式的乘积等于22个2的乘积就可以了，从tan45°=1入手，由于1°+44°=45°，而（1+tan1°）（1+tan44°）=1+tan1°+tan44°+tan1°·tan44°，此时运用逆向思维将正切公式变形，可以得到tan1°+tan44°=tan（1°+44°）（1-tan1°·tan44°）=1-tan1°·tan44°，所以（1+tan1°）（1+tan44°）=2，同理可以得到（1+tan2°）（1+tan43°）=2，…. 将左侧的因式以首末对应的方式两两相乘，（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan43°）（1+tan44°）=[（1+tan1°）（1+tan44°）]…[（1+tan22°）（1+tan23°）]=222.

最后，教师要发挥出对学生的引导作用. 以学生为主体，加强逆向思维的敏锐性和深刻性. 教师在高中数学教学中，起着主导性的作用，对于一些数学题目的解答，教师要适当运用反证法和分析法，并着重加强这两种逆向思维方式的使用. 培养学生的双向思考能力，特别是逆向思维这一方面，学生需要不断练习，将逆向思维灵活地运用到解题当中，总结数学知识之间的内在关系，使知识框架更加系统化.在习题课上，教师可以引导学生亲身体验逆向思维的魅力，通过将复杂问题简单化、特殊问题一般化，来激发其对逆向思维的学习兴趣.

如何在解题中运用逆向思维

在有些数学问题的求解过程中，若能开拓逆向思维的天地，反弹琵琶，不仅能使学生学到更多的解题方法，打开解题思路，从而有所选择，而且常常会有新颖独到的发现. 所以在数学解题中加强对学生逆向思维的培养，能使他们逐步养成追求新知、探索问题的习惯，从而产生新颖的、前所未有的思维成果. 通过逆向思考来解决问题的主要思路是：直接解决有困难时考虑间接解决;从正面入手解决不了就变换思维方式，从问题的反面入手;顺向推理不可行就考虑逆向推理……，它往往会得到意想不到的效果.说得具体一点，我们运用逆向思维解题的思路、方法有很多，比如逆用公式、定理，借用逆否命题，巧用反证法，妙用补集思想，变换“主元”思想等等，这里面最为典型的就是反证法. 下面以一题为例对此进行说明，已知f（x）=2x+■，证明：f（x）=0只有正数根.

分析：此题从正向直接入手较难.逆向思维f（x）=0有负数根（x=0不是f（x）=0的根），则只需论证f（x）=0有负数根是否成立.

证明：显然，x=0不是f（x）=0的根.

假设x=x0<0是f（x）=0的根，则0<2x0<1.

只需-1<■<0，解得■

这与x0<0相矛盾.

因此，f（x）=0没有负数根.

综上所述，f（x）=0只有正数根.

从这个例题中可以看出，反证法其实就是一种思维方式的转换（如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法），有的问题采用反证法来解决非常快捷，它锻炼了学生的逆向思维，开拓了解决问题的新途径，也为学生打开了思维的另一扇门. 在解题教学中，我们要有意识地培养学生的逆向思维能力，使之深入“生”心，这不仅可以培养学生灵活运用数学知识，开拓解题思路，提高解决问题的能力;同时也可以拓展学生思维，促进良好思维素质的形成.

结束语

总而言之，逆向思维作为在数学领域一种重要的思维方式，它不但能够探索出解决问题的合适方法，获得简单化的解题路径，同时也能帮助学生充分理解数学概念和原理. 教师作为教学的主导者，应该更加积极地关注学生思维能力的培养，与此同时，更要结合教材来训练学生的逆向思维能力.