高中数学概念教学的宏观思考与微观探究

浦丽敏

[摘  要] 对于高中数学学科而言，数学概念的地位不容忽视，科学的数学概念教学有一个前提，那就是教师对数学概念教学的认识问题，这实际上也就是数学教师的教学观. 综合了数学观、体验观与学习观的高中数学概念教学，可以超越传统，从而更好地服务于数学学科核心素养的培育.

[关键词] 高中数学;概念教学;教学观

对于高中数学学科而言，数学概念的地位不容忽视，传统的认识当中，数学概念是建构数学知识体系的基础;而从学生学习能力提升的角度来看，数学概念的教学本身就是一个培养学生学习能力、培育学生学科核心素养的过程. 在现行的评价体制之下，数学概念的教学又常常被忽视，教师要将大量的时间投入到习题训练当中——这是一个非常吊诡的悖论：从学科教学规律的角度来看，数学概念的教学不可忽视;从解题能力的培养角度来看，数学概念的教学要让位于习题训练. 那么高中数学教学如何认识概念教学？如何还原概念教学应有的地位？在实际的概念教学当中，又应当采用什么样的合理途径？回答这些问题，笔者以为离不开一个前提，那就是教师对数学概念教学的认识问题，这实际上也就是数学教师的教学观. 本文拟从三个方面，阐述笔者的一些浅显认识.

数学观：数学概念教学的宏观指导

数学观是教师对自己所教学科的认识，同时数学观也是学生对数学学科的认识. 如果说前者为很多教师所熟悉的话，那后者往往为教师所忽视，但实际上学生的数学观对数学学习的影响非常大，因此教师必须予以高度重视. 一般认为，数学观是对数学这一对象进行理性思维的产物，学生的数学观必须在教师的引导下才能形成，教师的数学观对学生具有决定的影响，因而数学观的问题实际上就是数学教育的核心问题.

在核心素养背景下，科学的数学观应当具有这样的两个特征：一是数学的研究对象是简洁的. 数学是研究数与形的科学，数学所研究的数，既包括“数”，也包括“数与数之间的关系”;数学所研究的形，既包括實际生活中的事物抽象出来的形，也包括用以描述生活中的事物的形，还包括人们基于数学之间的逻辑关系而想象出来的形. 因此到了高中阶段，在理解数学学习的时候，高中学生应当认识到自己在数学学习的过程中，所研究的对象是什么. 二是数学学习的本质，与核心素养的六个要素是完全一致的，而数学学科核心素养经过专家的提炼之后，“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言描述世界”就成为一个非常重要的论断. 从这个角度讲，科学的数学观就意味着高中学生必须清楚地知道自己通过数学学习，应当达到一个什么样的层次.

具体到数学概念学习的过程中，科学的数学观所具备的两个特征，应当与学生对数学概念的认识这样对应：数学概念是描述数与形的关系的基石，同时也可以理解为最基本的数与形的关系的高度概括;而学生通过数学概念学习之后，就可以将数学中或者生活中与该概念相关的内容，直接以这个概念来进行表述. 举一个简单的例子，“函数”作为高中数学体系中最为重要的概念之一，在数学观的观照之下，学生不仅应当在看到明显具有函数关系的数学表达式，还能够想到“函数”这一概念;同时还应当在看到生活中具有函数关系的事物时，也能够反映出“函数”这个概念，最常见的就是生活中的商品促销与话费套餐，等等，这些实际上都是或简单或复杂的函数计算的产物.

体验观：数学概念建构的有效途径

在具备了科学的数学观之后，要思考的另一个问题，就是在数学概念学习的过程中，应当选择什么样的途径？在相当长的一段时间里，无论是教师还是学生，对于概念的教学往往都认为数学概念是已有概念经过一定的逻辑而演绎的产物，而一旦形成了这样的教学观，数学概念的教学过程，必然就只是数学概念与概念之间的逻辑演绎. 诚然，相当部分概念确实是可以这样生成的，但是如果忽视了学生的个体体验，那么学生就会感觉数学学习非常抽象;一旦学生认为某一个学科的学习比较抽象时，他们在心理上就会产生畏惧感，这显然是一种负面作用. 因此笔者认为，在高中数学概念的教学中，应当重视学生的体验，正如有同行所指出的那样，数学概念教学应当联系实际以体验概念的产生，联系旧知以揭示概念的形成，充分探究以凸显概念的生成，利用“问题串”以深入概念的核心，比较辨析以抓住概念的本质，这样才能真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，认识数学概念的思想和本质. 无独有偶的是，学习是发生在学习者个人内部的一种活动，情境理论则认为，学习的实质是个体参与实践，与他人、环境等相互作用的过程，是形成参与实践活动的能力、提高社会化水平的过程. 同样以“函数”概念的教学为例，从教学观的角度来看，需要让学生认识到函数是刻画或描述两个变量之间依赖关系的数学模型. 而为了呼应高中的教学要求，在实际教学中可以将该阐述中的“两个变量之间依赖关系”转换成生活中的实际事物，比如在实际教学的时候，可以给学生提供这样一些案例一共分析：某一个地方一天24小时的气温随时间的变化;某一个重物在下落的时候，下落的距离与时间的关系;某一个城市人口的数量与时间之间的关系……在这样的一些案例当中，学生所看到的不是抽象的“两个变量之间依赖关系”，而是实实在在的气温与时间、下落距离与时间、城市人口的数量与时间……这样的话，学生的思维对象就比较明确，也比较熟悉，于是他们在研究两个变量之间依赖关系的时候，也就更加顺利了.

应当说通过这样的一个案例提供，学生在函数概念的建构过程当中体验元素还是比较充分的，这种体验不是人们常说的身体参与，不是动手做，而是对生活中常见的具有函数关系的事物的感受，以及在此基础上形成的认识. 相比较而言，后者更为重要，因为数学概念的形成，本质上是学生通过大脑思考而建构出来的，这样的一个体验过程，是符合高中数学概念的建构需要的. 进一步分析：学生最为熟悉的其实是自由落体的实例，因为学生在其他学科中已经有了一定的研究，他们清楚一个物体在做自由落体运动的时候“下落的距离”与“时间”的关系，知道两者之间是一种函数关系;而此时形成的认识，如果演绎到其他的实例当中，其实就是一种认识的迁移，也是一种能力的迁移. 从这个角度来看，教师在给学生设计思维体验活动的时候，还应当注意案例提供的顺序，通常强调由易到难，这样学生的体验过程将更加科学，所建构出来的数学概念也会更加巩固.

学习观：数学概念教学的坚实依托

在研究高中数学概念教学的时候，如果认同以生为本的教学观念，如果坚信数学概念本质上是由学生通过自己的脑力活动而建构出来的，那么在数学概念的教学过程中，还应当去研究学生的学习观. 当然需要指出的是，站在学生的角度研究学生的学习观，本质上与上面提到的数学观与体验观并不矛盾，因为数学班本质上也是要指向学生的，教师既希望学生在数学概念的学习过程中，能够建立起科学的数学关系，又希望通过良好的数学观去促进数学概念更好地形成;而体验观的提出，原本就是强调学生应当通过自己的体验，去让数学概念的形成过程更加符合高中学生的认知特点.

故而回到学生学习观的讨论上来，教师一方面在高中概念教学中应当注意到不同概念的特点，合理选择运用理论，要深入理解建构主义，灵活运用于教学实践，要坚持“螺旋式上升”的教学原则，引导学生概念图式的建构;同时更应当认识到，在包括数学概念的教学过程中，要致力于培养学生良好的数学学习观念，只有当学生认识到数学概念的形成其实是一个累积式的、螺旋上升的过程时，他们在数学学习的过程中才能表现出更加良好的心态. 譬如上面所举的函数概念的教学实例，通过学生熟悉的例子的分析，再进行适当的实例变换，可以培养学生的一种学习观，即一个数学概念是可以从实例的分析当中获得的;而分析实例的过程，需要进行分析与综合，还需要进行概括，这些都是具体的数学思想方法的运用. 如果学生认识到数学概念的形成实际上是递进式思维的产物，那么对于其他概念的学习是有帮助的.

总之，学生的学习观对于数学概念的建构而言有着重要的依托作用，认识到这个作用的存在，能够为数学概念的教学提供内驱力，而综合了数学观、体验观与学习观的高中数学概念教学，也一定可以超越传统，从而更好地服务于数学学科核心素养的培育.