从“教材结构”到“教学结构”

胡晓颖

摘  要：结构性教学是促进学生数学生命自然生长的教学。基于学生立场，教师要解读教材的知识结构、方法结构和思想结构。通过过程重塑、结构重组以及反思重构，实施结构化教学。通过结构化教学，不仅让学生获得“知识链”，而且让学生更多地获得“能力块”“素养群”。

关键词：小学数学;教材结构;教学结构

所谓“结构”，是指“事物各组成部分的序列、搭配”。瑞士著名教育心理学家皮亚杰在《结构主义》一书中深刻地指出：“结构是一个整体、一个系统、一个几何、一个心理整体。”小学数学教学应当是一种结构化的教学，这是因为数学教材是一种结构性教材，学生的学习过程是一种认知结构的发展过程。结构化教学的旨趣在于帮助学生从多个视角、多个维度、多个层次理解数学知识，不断丰盈学生的知识表象，让学生建构起知识内外的多重关联，从而促进学生知识结构、认识结构和认知结构的不断完善和发展。

一、基于学生立场，解读教材结构

数学知识是结构性的，数学知识在教材中的存在样态也是结构性的。当然，数学知识的结构性与数学知识在教材中的结构性存在样态不是完全匹配的。由于数学教材是教师进行数学教学的直接载体，因而对数学知识的结构性解读就落实在对数学教材的结构性解读上。解读教材结构，要基于学生立场。读懂教材的编写意图、内涵、旨趣，读懂教材中的知识的形成过程、知识的产生方式，读懂教材中知识彼此之间的关联。

1. 基于学生立场，解读教材知识结构

解读教材结构一般分为三个层面，首先是教材中最为直观的数学知识结构，其次是教材中的数学方法结构，再次是教材中的数学思想结构。对数学教材中的知识结构解读分为两个维度：其一是纵向的知识结构解读维度，主要解读知识的内在发展脉络、知识的前世今生;其二是横向的知识结构解读维度，主要解读数学知识之间的内在关联。这里，以苏教版五年级下册《圆的认识》教材内容为例，教材编排顺序是“识圆”“画圆”“概念”“特征”“关系”。其纵向结构特征是：“经验中的识圆”——“操作中的识圆”——“概念中的识圆”——“关系中的识圆”。其横向结构特征是：基于单元的横向结构视角，圆的认识是扇形的认识、圆的周长及面积的教学基础;圆的认识是平面图形中最后一个图形的认识，同时又是学生后续学习圆柱的认识、圆锥的认识的基础。解读教材中的知识结构，可以引导学生这样思考：知识是怎样产生的？本知识点与之前、之后的知识点有怎样的关联，发挥着怎样的作用？怎样去设计有结构的教学？……

2. 基于学生立场，解读教材方法结构

知识结构在教材结构中是一种显性存在，而方法结构、思想结构在教材结构中则是一种隐性存在。在教材结构中，方法结构、思想结构具有自身独立的特质。通常情况下，方法结构有着固定的特点和指导性。不同的数学知识，其内隐的方法结构有可能是相同的。而同一个数学知识，也可能内隐诸多不同的方法结构。以苏教版四年级下册《运算律》教材内容为例，其内容主要包括“加法交换律”“加法结合律”“乘法交换律”“乘法结合律”以及“乘法分配律”。尽管这些知识各不相同，但却蕴含着相同的方法结构。比如这些知识都是从学生的生活经验中来，尤其是根据生活经验，用不同的思路构建的数量关系;然后提出相应的猜想，再举例验证，最后运用不完全归纳法，得出数学结论。显然，“猜想——验证——不完全归纳”就是整个这一单元不同知识背后相同的方法结构。这样的方法结构有助于发展学生的猜想力、验证力。

3. 基于学生立场，解读教材思想结构

数学教材中的思想结构是一种比方法结构、知识结构更为凝练的结构，是贯穿于数学知识结构、方法结构中的绵绵红线。从某种意义上说，学生学习数学最为根本的目的、旨趣就是要把握蕴含在数学知识、方法中的思想结构。数学思想是数学的精髓，正如日本著名数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘记了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、思想方法和着眼点等，却随时随地地发挥作用，让人终身受益。”比如《多边形的面积》（苏教版五年级上册）这部分内容，教师要引导学生推导多边形如平行四边形、三角形、梯形的面积。尽管推导平行四边形、三角形和梯形面积公式的方法是多样的，比如剪拼法、倍拼法等，但其蕴含的数学思想却是相同的，那就是转化，即将新图形的面积转化成旧图形的面积。在对教材进行结构性解读时，如果能透过教材的知识结构找到内在的思想结构，学生就不仅能“知其然”，更能“知其所以然”。在数学教学中，从思想结构上去把握教材，有助于提高学生掌握数学知识的本质，提高数学学习效率。

二、基于學生立场，实施结构教学

由于数学知识是结构化的，数学教材的编排也是结构化的。在解读数学知识结构、方法结构、思想结构的基础上，教师要基于学生立场，实施结构教学。实施结构教学，要求教师要纵横融通，不仅要把握数学知识结构之形，而且要把握数学知识结构之神，同时还能感悟到数学结构之魂。通过结构化教学，不仅让学生把握知识结构，而且让学生把握方法结构、感悟思想结构等。在实施结构化教学中，教师不仅要着眼于课时，而且要着眼于单元、着眼于数学学科。

1. 过程重塑，在纵向追寻中领悟结构之形

实施结构化教学，首先要进行过程重塑。所谓“过程重塑”，就是要瞻前顾后地追寻数学知识的生成、生长、生发的全过程，就是要追溯数学知识的源流。比如教学《分数的意义》（苏教版五年级下册），教师就必须研读三年级上下册中的《分数的初步认识（一）（二）》，从而把握五年级“分数的意义”的教学起点、教学目标、教学思路。由于三年级上册学生已经学习了“将一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的几分之一和几分之几”，三年级下册学习了“将一些物体组成的整体平均分成若干份，认识对应的分数”，因此，五年级下册一方面要“承前”，将一个物体、一些物体组成的整体等抽象成单位“1”，平均分成若干份，表示这样的一份或几份，也就是“几份之几”叫作分数;另一方面要“启后”，通过分数的意义抽象、概括，为学生学习分数的基本性质、约分、通分以及分数的大小比较等知识奠定坚实的基础。如此，学生就能将分散在不同年级、不同学段教材中的数学知识串接起来，有助于学生深刻认识数学知识的本质。

2. 结构重组，在横向关联中把握结构之神

如果说，过程重塑是将散落的数学知识串起来，那么结构重组就是将散落的数学知识合起来。在数学结构化教学中，教师要善于引导学生将不同的学习内容进行比较、分析、概括，寻找知识之间的“同中之异”和“异中之同”，从而将原本看似无关、原本割裂的数学知识联结起来。带领学生将不同的学习内容进行比较分析，寻找它们之间的共性，这样，原本割裂的内容就能通过一条暗线统一起来。比如，对于苏教版二年级上册的《米和厘米》、苏教版二年级下册的《分米和毫米》等分散在不同教材中的长度单位教学内容，教师就有必要在教学《认识厘米》的第一课时进行结构化渗透，从而隐性地进行结构化教学。首先是概念表象的建立，“1厘米有多长”;其次是工具的构建——厘米尺，即多个长度单位的集结;再次是测量本质的感悟，即一个物体有多长，本质上就是看这个物体的长度中包含多少个长度单位，也就是一个包含除的问题。教师应站在学生立场上，充分地让学生动手操作、实验，让学生在“看一看”“做一做”“量一量”“比一比”的过程中建构厘米、米、分米和毫米的知识结构。通过不断地隐性结构教学，学生就能感悟到结构的灵魂。

3. 反思重构，在变式关联中把握结构之魂

反思常常能让学生的思维变得更为丰满，尤其是立体化、综合性的反思。通过反思，可以引导学生对数学知识进行重构，有助于学生形成结构化的思维。为此，教师可以运用变式的手段，让学生把握数学知识、方法、思想的结构之神。在结构化教学中，教师要着眼于整体布全局，要着重联系抓建构，要着力反思促自为。比如教学《异分母分数加减法》（苏教版五年级下册），教师可以引导学生联系“整数加减法的法则”“小数加减法的法则”，并引导学生反思：整数加减法、小数加减法和分数加减法的法则有什么共同点？学生发现，尽管法则的表现形式不同（变），但这些法则背后都贯穿着一条绵绵红线，那就是“只有計数单位相同才能直接相加或相减”（不变），这是整数、小数、分数加减法的结构之魂。在这个过程中，学生不仅洞察了数学知识的联系、区别，而且还体会到了“变与不变”的辩证关系。

从教材结构到教学结构，基于学生立场，教师要充分发掘数学教学过程中的生长价值。结构化教学，让教学经历了从“点状”到“结构”、从“局部”到“整体”的嬗变。结构化教学，帮助学生边学边“串”，让学生经历由“点”到“群”、由“散落”到“立体”的体验、感悟。通过结构化教学，学生获得的不仅仅是“知识链”，更多的是“能力块”，是“素养群”。结构化教学，实现了学生认识的螺旋上升以及数学学习力的发展。