论初中方程的教育价值及其实现

张杏华

[摘 要]方程是初中数学的核心内容之一，实施有效的方程教学的前提是对方程的教育价值有正确的认识.方程的教育价值在于方程蕴含着数学三大基本思想之一——模型思想.

[关键词]方程;教育价值;模型思想

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）26-0001-03

在初中学段，无论是哪个版本的数学教材，方程都是核心内容之一.因此，在实施教学前，教师有必要明确两个问题：1.通过方程的学习，我们最希望学生获得的是什么？2.基于这样的需要，我们该如何开展教学？这是实现方程教学有效性的前提.本文以人教版教材为例，论述初中方程的教育价值及其在教学实践中的实现.

一、方程的概念

方程是含有未知数的等式.例如，[3x-6=0，34+2x=5 ， x2+2x=15-x].方程体现的是两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间的相等关系.

二、初中方程内容的分布及结构

在初中数学教学内容中，方程占有重要的地位.以人教版教材为例，编排了三个完整章和两个分散节，共计十三节.在内容上，有一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程;在结构上，分为三个板块，即方程（方程组）的概念、方程（方程组）的解法、实际问题与方程（方程组）.

三、初中方程的教学要求

（一）基本知识和技能

使学生能根据所研究问题中的数量关系列出方程，并能用方程进行表述;掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的解法.

（二）基本思想

使学生在用方程表述数量关系的过程中体会模型思想;在解方程的过程中体会化归思想.

（三）基本活动经验

使学生经历 “实际问题—数学问题（方程、方程組）—实际问题”的过程，初步具备从不同角度分析问题和解决问题的能力并掌握一些基本方法.

四、方程的教育价值

关于方程的教育价值，七年级上册第三章《一元一次方程》起始节中有一句点睛的话—— “通过今后的学习，你会逐步认识： 从算式到方程是数学的进步” . 这句话的引出在教材中是有其特殊背景的. 教材给出了一个问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是[70 km/h]，卡车的行驶速度是[60 km/h]，客车比卡车早[1 h]经过B地. A，B两地间的路程是多少？教材先是提示学生尝试列算式来解决，紧接着又引导学生利用小学的方程知识，列方程求解.

教学实践证明，用算术的方法来解决，思维要求较高，相当一部分学生不能顺利地解出，而用方程的方法，绝大多数学生可以较容易地列出方程.教材如此编排，意图很明显——让学生亲身体会在解决较复杂问题时方程优于算式，从而对“从算式到方程是数学的进步”有初步的感性认识.

那么，方程优于算式仅仅在于思维更简捷吗？ 其实不然.方程比算式的进步在于数学思想上的进步.作为初中数学核心内容，方程是解决实际问题的重要数学模型之一（中学阶段常见的模型还有不等式、函数等），更是算术法到代数法思维提升的重要标志. 它的进步性在于： 算术法的解题过程中只含有已知数，而方程通过等式使得未知数与已知数产生联系，未知数得以参与运算，为解决问题提供了更多便利.这不是简单的解题技巧，而是思维上的飞跃.

（一）方程的教育价值之一：模型思想

何谓“数学模型”？广义地说，数学模型是一种数学关系（ 包括数量关系、位置关系、逻辑关系） 或结构，它采用形式化的数学语言，抽象、概括地描述了特定对象的特征.数学概念、数学理论体系、数学公式、数学方程以及由之构成的算法系统都可以称为数学模型.

《课标》指出：模型思想的建立是学生体会理解数学与外部世界联系的基本途径.在解决实际问题时，人们往往需要先剥去具体对象的物质性，将现实世界中的具体事物抽象为数学元素，再用数学符号建立方程、函数等数学模型来表示问题中各相关要素的数量关系或者变化规律，接着解决与实际问题毫无联系的数学问题，最后再将结果还原至实际情境中，进行是否符合现实意义的验证.在这个过程中，关键环节是建立模型.

下面以上述路程问题为例，体会模型思想在解决问题时所起的重要作用.

1.算术解法

由题意可知，因客车的时速已知，欲求路程，须求出客车的行驶时间.因为客车比卡车早[1 h]到达B地，所以客车到达时卡车距B地仍有60 km（60 × 1），而每经过一个小时，客车便比卡车多行驶10 km（70 - 60），因此可以知道客车和卡车已经分别行驶了[6 h6010].列出的算式为[70×60×170-60=420（km）].

2.方程解法

设A，B两地相距[x km]，从A地到B地，客车和卡车的行驶时间分别为[x70，x60]，列出的方程为[x60-x70=1].

3.两种解法的赏析

解此题时，可以判断学生对于“[路程=速度×时间]”或其等价变形如“[时间=路程速度]”是比较熟悉的.

采用算术法时，由于已知速度，所以必须求出总时间，基础一般的学生可能会试图去求取总路程，但总路程也是未知，因此产生了难度，需要挖掘更本质的关系，即

[客车行驶的时间=客车比卡车多走的路程客车时速-卡车时速]，方可列出正确的算式，[即客车行驶的时间=60×170-60=6（h）]，进而列出A、B两地间的路程[=70×6=420（km）].

采用方程解法时，依据求什么就设什么的一般原则，可设[A、B两地相距x km]，根据“[时间=路程速度]”，可知客车行驶的时间[=x70]，[卡车行驶的时间=x60]，由于[从A地到B地]，客车的行驶时间比卡车少[1 h]，所以列出方程为[x60-x70=1].

不难看出，虽然两种解法在本质上都是运用了“[时间=路程速度]”这个模型，但方程解法并不必像算术解法那样挖掘更本质的关系，思维难度明显降低了.

4.结论

事实上，算式的思维方式是从结果倒推的逆向思维（为了求出路程，必须求出时间; 为了求出时间，必须求出…… ），列算式时是从已知出发，追本溯源，最后才能发现结果.在这个过程中，思路千头万绪，纷繁复杂，很难看出求解的路径.方程则体现了模型思想，它最突出的优势是实现正向思考.更通俗的表述：方程法引入未知数，并把未知数视为已知数，相当于增加了已知条件，未知数与已知数享有相同权利，一起参与正向思考，更易于找到未知数与真正的已知条件的等量关系，便于列出方程.本质上是利用列方程求解的正向操作，回避了对问题的逆向思考，从而降低了解决问题的难度.

当问题的各相关要素关系复杂时，与算术法相比，方程法是一种思路更清晰的解法.方程法的两个步骤： （1）翻译.实现从文字语言向数学语言的转化.即用方程来表述问题中的等量关系;（2）解方程. 由于解方程有机械方法（程序性），故方程法的真正难点在第一步，与算式法相比，思维难度不可同日而语. 方程可以使用简单的等量关系，付出相对复杂的计算的代价来解决问题.算术方法则相反， 必须挖掘出更本质的等量关系，思维的难度显然要大得多，得到的回报是计算容易了.

（二）方程的教育价值之二：化归思想

化归，就是在研究问题时，把待解决的研究对象，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或可能更容易解决的问题中去，最终使原问题得到解决的思维方法.化归思想的精髓在于对各种数学问题进行合理变换，从而达到化陌生为熟悉、化未知为已知、化复杂为简单、化抽象为具体的目的.

化归思想主要体现在解方程的过程中.

解一元一次方程的过程是利用等式的性质及运算律使方程形式逐步化简，直至化为[x=a]（a为已知数）. 在此过程中，化归思想起了重要作用.

解二元一次方程组时，通过消元，把“二元”转化为“一元”，二元一次方程组转化为一元一次方程，这个过程体现了化归思想.

解一元二次方程的基本思路则是把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.具体做法是利用配方、因式分解等方法达到“降次”的目的.

解分式方程时，关键步骤在于将分式方程化归为整式方程，最常用的办法是去分母.

五、方程的教育价值的实现

著名荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾经说过：数学中最主要的成分始终是思想方法，真正能够指导思维训练作用的是数学方法而不是具体的题材，因而必须强调方法，并尽可能使之明确. 因此，在方程的教学中，应设法提供足够多的机会让学生亲身体会模型思想和化归思想.

以下以笔者的一次教学实践为例，阐述如何开发现有教学材料，让学生充分体会模型思想.

原题：几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种;如果每人种12棵，则缺6棵树苗.求参与种树的人数.

此题是人教版七年级上册第三章《一元一次方程》第二节《解一元一次方程（一）》的课后习题.由于刚刚学习了一元一次方程的概念和解法，为了达到及时巩固新知识和熟练掌握新技能的目的，大多数教师对此题的处理都是要求学生列方程求解，不鼓励甚至不允许学生列算式求解. 笔者认为，这是一道值得深挖内在价值的好题目，无论是用算式求解还是方程求解，都绕不开数学模型，可以让学生充分地体会模型思想.因此，笔者做了如下的教学设计.

环节一：请用算式和方程分别求解.

算式：[6-（-6）12-10=6（人）].

方程：设有[x]人种树，则[10x+6=12x-6].

分析：

（1）算术法的思路：欲求人数，须求树苗总棵数;树苗总棵数难求，但两次种树的人均种树棵数有差异，导致总棵数也有差异，根据这个隐含的条件可以不必求出总棵数而求出人数.

运用的数学模型是：

[种树人数=第二次所有人多种的棵数总数第二次每人多种的棵数]

需要注意的是，此解法有一个“假设前提”，即第一种种树方式要假设把剩下的6棵树苗也种上，第二种种树方式则要假设缺少的6棵数也要补种，这是算术解法继如上分析需要挖出隐含条件后的第二个障碍.

（2）方程法的思路：找到等量关系，经过“翻译”，列方程.

运用的数学模型是“第一次的树苗数=第二次的树苗数”.

环节二：

变式一：几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种;如果每人种11棵，则正好种完.求参与种树的人数.要求用算式和方程分别求解.

算式：[6-011-10=6].

方程：设有[x]人种树，则[10x+6=11x].

分析：思路与原题完全一致.变式的目的是巩固算术法和方程法的模型，强化模型意识，为变式二做准备.

环节三：

变式二：几个人共同种一批树苗，如果每人种11棵，正好种完;如果其中2人各种7棵，其余每人种13棵，也正好种完.求参与种树的人数.要求用算式和方程分别求解.

算式：[2+（11-7）×213-11=6].

方程：设有[x]人种树，则[11x=2×7+13（x-2）].

分析：

（1）算术法

由于第二次种树时2人少种，其他人多种，因此虽然算术法运用的数学模型表面仍然是[“种树人数=第二次多种的总棵数第二次每人多种的棵数”]，但这个模型本质上应该修正为[“种树人数=第二次与第一次的总棵数差第二次与第一次的每人棵数差”]，难度随之增大.

（2）方程法

运用的数学模型仍然是[“第一次的树苗数=第二次的树苗数”]，难度并没有随种树方式趋于复杂而增加.

环节四：

请归纳出此类题型的算式模型、方程模型，并体会这两种模型的优劣.

此环节的设计意图是让学生亲身体会模型思想并不是方程特有的，学生在小学阶段曾经非常熟悉的算式也是蕴含着模型思想的.但经过对比，学生可以体会到方程在处理复杂问题时，运用模型思想的思维简约美，并初步具备建模的意识和主动建模的意愿.

六、结语

数学是在对客观世界进行不断抽象概括的过程中逐渐形成的科学语言与工具.数学在人类社会的高速发展进程中发挥着越来越大的作用.数学也在不断地发展、进步.学习数学，从根本上讲是要获得数学的思想和方法.从算式到方程之所以是数学的进步，是因为方程较之算式不但是技能上的进步，更是数学思想上的飞跃.初中方程的教育价值在于方程蕴含着深刻的数学思想.因此，在方程的教学中，基本知识和技能的学习和训练固然不可缺失，但数学思想方法的揭示和提炼更重要.深刻理解方程的教育价值，结合学生实际，进行符合认知规律和学习心理的教学设计，使学生充分体会方程的思想并形成主动运用方程的意识，才能够从根本上实现方程教学的课程目标.

[   参   考   文   献   ]

[1]  教育部.义务教育教科书：数学七年级上册[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]  李靜.数学课程标准（2011年版）的关键词与初中数学教学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[3]  杨承军.义务教育阶段渗透数学模型思想的意义与策略探究[J].教育评论，2014（4）：117-119.

[4]  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]  明清河.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2004.

（责任编辑 黄桂坚）