多边形内角和与外角和拓展探究

张振锋

[摘 要]通过探究五角星中角之间的关系、剪切图形后角之间的关系、凹多边形中角之间的关系，可以提高学生合作探究的能力，学生能够在新情境问题中，把陌生的图形转化为熟悉的图形，通过代数式的不断转化发现新的结论.

[关键词]多边形;内角;外角;探究

[中图分類号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2020）26-0007-02

由若干条线段把它们的头尾顺次连接，形成封闭的平面图形就是多边形.这些线段就形成了多边形的边，这些线段的夹角形成了多边形的内角.把多边形的各边顺次延长，延长线与相邻边的夹角形成了多边形的一组外角.从m边形的一个顶点出发引对角线，能把多边形分成数量最少的三角形，这些三角形的个数为m-2.根据三角形内角和为180°，所以m边形的内角和为（m-2）×180°.由于多边形的内角与相邻的外角互为补角，所以每个多边形的一组外角和为固定值，即360°.四边形、五边形等多边形具有不稳定性，也就是说同样边长的多边形可以具有多种形状.

一、探究五角星中角之间的关系

顾名思义，五角星是指有五个尖角的星形图案.任何一个正五角星都由周围的五个三角形和中心的一个正五边形组成.因为五边形的内角和为540°，所以正五边形每个内角均为108°，因为周围三角形的一个内角就是正五边形的一个外角，所以周围三角形的一个内角是72°，又由于它们都是等腰三角形，所以尖角的角度均为36°.

[例1]（1）如图1所示的图形是一个五角星图案，那么这个图案五个尖角的度数和是多少？（2）如图2所示的图形也是一个五角星图案，如果五个尖角的度数彼此相等，那么∠1的度数是多少？

分析：（1）设CE与BD、AD的交点分别为M、N，可分别在△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质求得∠DMN=∠B+∠E、∠DNM=∠A+∠C，进而在△DMN中根据三角形内角和定理得出所求的结论.

如图3，设BD、AD与CE的交点为M、N;△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知：∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C;△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;

（2）根据多边形的外角和等于360°解答.

如图4所示，因为∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，所以每个角的度数为360°除以5等于72°，因为∠1与∠2互补，所以∠1的度数为108°.

评注：五角星五个尖角的和为180°，从这里可以看出，它的五个尖角可以集中在同一个角三角形中，集中的依据是三角形外角的性质.

二、探究剪切图形后角之间的关系

将三角形的一个角剪切后，得到一个三角形和一个四边形，这个四边形的两个内角是原三角形的两个内角，另两个内角是新三角形的两个外角，这两个外角的和等于180°与原三角形剪去角的和，这两个外角平分线的夹角等于90°与原三角形剪去角一半的和.如果将四边形再剪切一刀，可得两个四边形，其中一个四边形的内角平分线的夹角刚好是另一个四边形两个外角的夹角.

[例2]如图5，在一张三角形纸片上，剪去△ABC，得到四边形BCHG，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，

（1）请你试着说明：∠1+∠2=180°+∠A;

（2）如图6，如果沿着EF再剪一刀，∠3与∠4分别为△AEF的两个外角，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量关系为         ;

（3）如图7，EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，求∠EPF与∠A的数量关系;

（4）如图8，在四边形BCFE中，EP、FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，请写出∠EPF、∠1、∠2这三个角的数量关系，并说明理由.

分析：（1）根据外角的性质得到∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，求得∠1+∠2=360°-（∠ABC +∠ACB），根据三角形的内角和得到结论.即∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，∴∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∴∠1+∠2=360°-（∠ABC +∠ACB），∵三角形的内角和为180°，∴∠ABC +∠ACB=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-（180°-∠A）=180°+∠A;

（2）由（1）得，∠1+∠2=180°+∠A，同理，∠3+∠4=180°-∠A，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故答案为：∠1+∠2=∠3+∠4;

（3）由（1）得，∠GEF+∠HFE=180°-∠A，根据角平分线的定义得到结论.即

由（1）得，∠GEF+∠HFE=180°-∠A，∵EP，FP分别平分外角∠FEG、∠EFH，∴∠PEF=[12]∠GEF，∠PFE= [12]∠HFE，∴∠PEF+∠PFE= [12]（∠GEF+∠HFE）= [12]（180°-∠A），∴∠P=180°- [12]（∠PEF+∠PFE）=180°- [12]（180°+∠A）=90°+ [12]∠A;

（4）由（3）得到∠A+2∠P=180°，由（1）得到∠1+∠2=180°+∠A，于是得到结论：∠1+∠2+2∠P=360°.由（3）可知，∠A+2∠P=180°，由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠A，∴（∠1+∠2-180°）+2∠P=180°，∴∠1+∠2+2∠P=360°.

评注：以上分析不难发现，一个四边形相邻两条内角平分线的夹角等于其他两个内角和的一半;一个四边形两条外角平分线的夹角等于180°减去其他两个内角和的一半.

三、探究凹多边形中角之间的关系

将一个多边形的任何一边向两个方向延长，可以得到一条直线，如果其余各边不是全部在直线的同侧，这样的多边形就是凹多边形.凹多边形一定有一个内角大于180°，一定有两个顶点连线后不在多边形的内部，生活中的五角星、四角星、六角星等星形图案都属于凹多边形.凹多边形的内角和与凸多边形的内角和一样，均为（m-2）×180°，但凹多边形的外角和不是360°，而是（m+2）×180°.

[例3]发现：如图9，在有一个“凹角∠A1A2A3”的n边形A1A2A3A4…An中（n为大于3的整数），∠A1A2A3=∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An-（n-4）×180°.

验证：（1）如图10，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，求证：∠ABC=∠A+∠C+∠D.

（2）如图11，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，求证：∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°.

延伸：（3）如图12，在有两个连续“凹角A1 A2 A3和∠A2 A3 A4”的四边形A1 A2 A3 A4……An中（n为大于4的整数），∠A1 A2 A3+∠A2 A3 A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6…+∠An-（n- ）×180°.

分析：（1）如图10，延长AB交CD于E，根据三角形的外角的性质得到结论.延长AB交CD于E，则∠ABC=∠BEC+∠C，∠BEC=∠A+∠D，∴∠ABC=∠A+∠C+∠D;

（2）如图11，延长AB交CD于G，则∠ABC=∠BGC+∠C，根据多边形的内角和与外角的性质得到结论.延长AB交CD于G，则∠ABC=∠BGC+∠C，∵∠BGC=180°-∠BGD，∠BGD=3×180°-（∠A+∠D+∠E+∠F），∴∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°;

（3）如图12，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1An于B，根据三角形的外角的性质得到∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4，根据多边形的内角和得到∠1+∠3=（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An）.即如图12，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1An于B，则∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4，∵∠1+∠3=（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An），而∠2+∠4=360°-（∠1+∠3）=360°-[（n-2-2）×180°-（∠A5+∠A6+…+∠An）]，∴∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An-（n-6）×180°.故答案為6.

评注：对于解决凹多边形问题，要通过作辅助线分割为三角形和凸多边形，然后利用三角形的内角和与外角性质，凸多边形的内角和与外角和加以解决.本题探究了凹多边形有一个凹角、有两个凹角时，凹角和与其他内角和之间的关系，是对多边形知识的有益拓展.

其实，对于多边形的内角和与外角和，它的考查方式还包括已知边数求内角和、已知内角和求边数、已知内角和与外角和的关系求边数、求对角线等，这些问题的解决需要应用内角和与外角和公式建立方程求解.

（责任编辑 黄桂坚）