借助GeoGebra对圆锥曲线中一类定直线问题的探究及拓展

闫 伟 (广东省中山市濠头中学 528437)

1 问题的提出

圆锥曲线中的定直线问题历来是各类考试的重要考点，此类问题通常是一些特殊的点在特定约束条件下运动的轨迹形成了直线．本文介绍笔者在一节高三复习课中讲评的定直线问题，先猜想问题的一般情形，然后借助GeoGebra进行实验探究，并对试题作了深入的探究和拓展．

(1)求椭圆C的方程.

笔者注意到，当动直线l绕点F旋转时，直线l′与直线PN的交点恒在椭圆的准线x=4上．此结论引起了笔者的关注，基于此提出以下几个新问题．

问题4若将椭圆改成双曲线，直线l′与直线PN的交点是否还恒在一条定直线上呢？若换成抛物线，结果又会是怎么样的呢？

问题5若点F不在对称轴上呢？是椭圆内的其他点，我们又会得到什么结论呢？

2 基于GeoGebra的探究

问题2～5将椭圆和点F及点P一般化后，由于涉及到的运算和直线PN的直线方程较为复杂，判断上述结论成立与否有一定的难度，因此笔者借助GeoGebra进行探究，通过实验演示观察结论是否成立，同时为后面的代数证明提供更加直观、形象的思路支持．

实验1 (1)在GeoGebra绘图中先设置两个“滑动条”控制变量a,b，输入x^2/a^2+y^2/b^2=1得到一个椭圆c；(2)输入框中输入焦点[c]，得到椭圆的右焦点F；(3)使用“滑动条”创设变量m，作出经过点F的直线l:x=my+c，利用交点工具确定点M,N；(4)过点M作y轴的垂线l′；(5)在输入框中输入P=((2a^2-b^2)/2sqrt(a^2-b^2), 0)得到 点P；(6)作出直线PN与直线l′的交点T；(7)选中交点T并跟踪，然后通过滑动条m拉动直线l，发现交点T的轨迹是一条竖直的直线；(8)输入框中输入x=a^2/sqrt(a^2-b^2)得到椭圆的准线，发现上述轨迹与准线重合(图1)．

图1

实验2 按照上述实验操作步骤修改第(2)(3)步，去掉右焦点，再通过“滑动条”设置一个变量t，作出点F(t, 0)，并作出过点F的直线l:x=my+t，第(5)步变为：在输入框中输入P=((a^2+t^2)/2t,0)得到点P，其他步骤不变．改变点F的位置，再拉动直线l，发现直线l′与直线PN的交点T的轨迹跟着变化(图2)，点T的横坐标即图2中竖直的直线位置随着变量t的增大而减小，并且与t的乘积恒为a2．当改变椭圆的方程时我们仍然有同样的结论．

图2

3 问题的拓展与证明

通过以上两个实验的探究，笔者将上述问题拓展到一般情形：

当t=c时，F是右焦点，结论1是结论2的特例．借助GeoGebra继续探究，将椭圆换成双曲线和抛物线，同样发现交点恒在定直线上，于是可得：

结论4 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，点P(0,0)，过抛物线对称轴上一点F(t,0)(t>0)且斜率不为零的动直线l与抛物线交于不同两点M,N，过点M作y轴的垂线l′，则直线l′与直线PN的交点恒在直线x=-t上．

结论3、4的证明以及GeoGebra平台演示实验都和结论2的过程相仿，此处不再赘述．

图3

结论7 已知抛物线C:y2=2px(p>0)和内侧一点F(x0,y0)，过点F作直线m:p(x+x0)-yy0=0的垂线，垂足为点A，取FA中点P，过点F的任一直线l交抛物线C于不同两点M,N，过点M作直线FA的平行线l′，则直线l′与直线PN的交点恒在极线m上．

结论5～7的证明留给有兴趣的读者．根据极点和极线的性质，我们将结论5～7统一概括为：

结论8 已知圆锥曲线C和异于曲线中心的一点F(x0,y0)，点F关于曲线C的极线为m，过点F作直线m的垂线，垂足为点A，取FA中点P，过点F的任一直线l交曲线C于不同两点M,N，过点M作直线FA的平行线l′，则直线l′与直线PN的交点恒在极线m上．

极点与极线是解析几何中的一条重要性质，它在圆锥曲线问题的探究中有十分重要的应用，本文借助GeoGebra平台对这一类定直线问题的探究很好地佐证了这一点．

4 探究后的反思

在“互联网+”时代，信息技术的应用对数学教学产生了深远的影响.如何使数学教学适应时代的发展，已经成为新时代教师关注的焦点．在本文的实验探究中，运用GeoGebra制作椭圆模型，再通过控制变量不断改变动直线和方程参数来演示图形变化过程，让学生观察所求点的轨迹的运动情况，进而将实验结果拓展到圆锥曲线的统一结论，不仅为学生理解试题本质创设教学情境，而且为学生探索试题规律启发思维，为学生解决数学问题提供直观形象．GeoGebra平台技术的可视化实验让学生有机会亲身体验探究问题背后的规律，还能“看透”深层次的数学本质，让学生主动发现问题、解决问题，发现和体会数学的美，充分调动了学生的学习兴趣和积极性，有助于学生树立学好数学的信心，亦有利于培养逻辑思维、空间想象、探究学习、创新和实践等能力，从而促进学生数学学科素养的提升．