由2020年江苏数学高考压轴题质疑引发的思考

俞杏明 (江苏省兴化中学 225700)

石志群 (江苏省泰州教育局 225300)

张 青 (江苏省苏州中学校 215006)

2020年江苏高考数学压轴题是数列题．试题编制新颖独特，跳出收敛性、单调性的窠臼，跨入我们既熟悉又陌生的领域．及至试题与答案公布，微信公众号中质疑不断．

1 试题呈现

(1)若等差数列{an}是“λ～1”数列，求λ的值.

(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{an}为“λ～3”数列，且an≥0？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

下面是江苏省教育考试院提供的参考答案.

解(1)(2)略.

①若λ≤0或λ=1，则(*)式只有一解cn=1，即符合条件的{an}只有一个．(此数列为1，0，0，0，…)

由于数列{Sn}从任何一项求后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{Sn}有无数个，则对应的{an}有无数个．

综上所述，能存在三个各项非负的数列{an}为“λ～3”数列，λ的取值范围是(0,1)．

2 典型质疑

当0<λ<1时，Sn+1=Sn或Sn+1=t3Sn．

因此0<λ<1时符合题意的不同数列只有两个．

所以，不存在三个各项非负的数列{an}为 “λ～3”数列．

3 等价思考

3.1 特殊探路，结论初现

3.2 解读考试院答案

当t为大于1的任意一个常数时，“Sn+1=Sn或Sn+1=t3Sn对一切正整数n恒成立”的含义是指对每个固定的n,Sn有两种选择：可以取满足Sn+1=Sn的Sn,也可以取满足Sn+1=t3Sn的Sn．譬如,由S1=a1=1,那么S2可以取1,也可以选择取t3(t>1),取好S2后,再取S3,依次类推,直至得到一个完整的和数列{Sn}．

4 对考试院答案的改进

①若λ≤0或λ=1，则(*)式只有一解cn=1，即符合条件的{an}只有一个．(此数列为1，0，0，0，…)

综上所述，能存在三个各项非负的数列{an}为“λ～3”数列，λ的取值范围是(0,1)．

说明 第(3)问没有考查等差数列、等比数列等C级核心知识考点，只是考查了一般的数列，和考试说明的要求有一定偏差．