从“一题多解”审思解题教学的思维培养①

程 华

(咸阳师范学院数学与信息科学学院 712000)

2018年1月《普通高中数学课程标准(2017版)》颁布,提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大数学核心素养,随即,核心素养如何落地实施受到教育界的普遍关注.当前,通过积累数学思维的经验,提升学生思维能力,有助于形成核心素养,成为较为一致的共识[1].项目组对咸阳市九所中学的调查显示,中学教师普遍地将思维的培养作为落实核心素养的举措.问题是思维的载体,数学解题需要涉及多个核心素养,解题教学历来是提高思维能力的重要途径.其中,“一题多解”教学由于能够反映出解题教学的一些普遍性现象,又对培养学生的思维效果显著,因此,通过“一题多解”来审思解题教学中思维培养的问题,为什么有的课堂解法纷呈,不久就被学生遗忘?为什么有的学生能够“一题多解”,有的却思路单一?如何更好地提升学生的思维品质?基于思维培养的解题教学对我们教师提出哪些要求?等等.

1 “一题多解”教学问题的分析

“一题多解”是从不同角度分析问题,根据所给信息,应用已有的数学知识、经验,通过观察、推测和想象,沿着不同方向思考、重组已有信息,获得多种解法的过程.解题教学并不仅仅是研究解法、讲授解法的教学,虽然一些一线教师对“一题多解”的研究已经相当深入,然而调查反映出,在思维培养的层面上,普通教师的教学还存在着问题,有的也是解题教学的共性问题.

1.1 对解题思维的形成过程揭示不足,罗列解法,忽视对解法之间联系的分析

一些教师无暇或者不善于揭示解题思维的形成过程,过于追求解法的数量,罗列解法,削弱了学生对通解、通法的掌握.特别是,解法之间的联系常常被忽略,对解法的本质揭示不够充分,影响了学生思维的深刻性.以下用一个简单例子来说明.

1.2 面对不同思维层次和类型学生的认知差异,因材施教的措施不足

有时课堂反应很热烈,但是课后能掌握多种解法的学生却不多,教师感叹“学生没有看起来聪明！”事实上,由于同一班级学生思维发展并不均衡,认知也存在不同偏好.当解法列举过多时,活跃的反应往往出自思维敏捷的学生.他们与教师思维互动积极,而普通学生可能还没理清头绪,就表现为认真听讲和记笔记.一些思维难度大的解法,普通学生可能只停留在欣赏,不能实质性地思维参与.思维敏捷的学生常常掩盖了普通学生实际的接受能力.同时,为了照顾思维敏捷性、灵活性低的学生,一些教师又“启发”过度.引导问题过于精细,限制了思维空间,使学生思维锻炼不够.

“顺学而教”“以学定教”其实还没能真正落实,教师在鼓励学生个性化思维的同时,面对不同思维层次、类型的学生,如何深度参与思考,还欠缺有效的因材施教措施.

1.3 对学生观察方法的引导不足,对数学语言转换能力的培养突出不够

有的学生能够“一题多解”,有的却思路单一.学生的思维灵活发散程度,决定了解法的多少,原因虽然复杂,但是与学生数学观察能力的强弱,知识模块的丰富程度,进而导致的数学语言转换能力的高低有直接关系.但是,在当前过快的课堂节奏下,教师难以耐心引导学生观察,等待他们找到适宜的语言转换方式,影响了学生思维发散性、灵活性的提高.

观察是学生解题思路的源头,解法来自对问题的观察、表征,进而分析、解决.“多解”需要能找到多个观察角度,引发多方面的联想,要基于对数学对象意义的丰富认识的.数学对象是以数学语言表述的,一般认为,如果按照数学语言的外在表征,分为符合语言、图形语言、文字语言等形式;如果按照数学语言所属的数学分支,又可分为代数语言、几何语言、三角语言、复数语言等形式[2].同一种数学语义可以用不同的数学语言形式表示,不同的数学语义解释,提供不同的思维方向,这才为不同的化归提供了可能,即通常所说的“化归的语义转换策略”.数学语言的转换,就是在不同数学语言之间所进行的翻译.以下举例来说明.

可见,“一题多解”往往来自对同一数学形式做出的不同语义解释.如果学生观察力不强,认知结构中的知识模块不丰富,就难以发现对象意义的多样性,不能在数学语言之间灵活地转换,则难有“一题多解”.学生思维上的“想不到”,往往与其相关的语义形式不熟悉或者不擅长有关.

2 基于思维培养的“一题多解”教学的思考

以上这些现象,既与应试环境下教师难以突破“囚徒困境”无奈地适应有关,也与教师的教育理念、思维能力、数学素养等综合因素相关,对此提出几点建议.

2.1 基于三个维度精选解法,依据教师的解题思维设计学生的思维序列

对解题教学的思维价值,教师要有正确的认识.教师要从关注自己的解法是否被学生所理解和学会,转为关注学生思维参与的深浅,是否经历了较为充足的解题思维过程的体验,领悟到多少思维方法.所以,解法不可能求全,而要精选.

关于选择解法的标准,笔者曾调查培训教师,答案有：“对学生思维启发性好”“教师好教”“学生好学”“优美”“简捷”,等等,可见,教师选择解法有三个维度:心理学维度是大多数学生要喜欢,教育学维度是教师好教、学生好学,学科维度是要对后续学习思维价值高.其中,适合学生认知水平且思维价值高是最重要的.

教师的解题思路是教学思路的源头.只有真正钻研过解法的教师,才能设计出与学生的思维过程相吻合的问题,加速学生的思维进展.而解题成果到底需要呈现多少、如何呈现,必须真正掌握和依据大多数学生的认知水平,否则,就会出现课堂热闹,课后遗忘的现象.

2.2 合理组合和突出不同教学方式的优势,适应不同学生的思维差异

教师需要探索讲授、合作、探究等不同教法对不同思维类型学生的作用,合理组合以适应学生的思维差异.其实教法本身并不存在先进与落后之分,只有适宜与否的区别.教育心理学研究表明,不同的认知方式具有不同的信息加工偏好,会影响学生的学习方式.比如,“场独立”型学生更适合自主学习;“场依存”型学生需要有结构严谨的教学指导;“冲动型”认知方式思维敏捷,会用自己最先想到的答案,不注意细节,但能迅速抓住整体;“沉思型”认知方式谨慎细致,认知时间较长,但错误较少[3].合作学习有利于发挥“场独立”型学生的优势,但是要防止其成为话霸,使“场依存”型学生被边缘化;讲授法能突出系统性、逻辑性,但是要防止限制学生思维的广度,等等.教师可以摸索不同教法与不同思维类型的匹配性.

教师还要对不同教法如何引导思维,提高思维效率的研究细化.比如,“讲授法”中“讲什么”“何处讲”“怎么讲”,以及它们关系的问题.笔者认为,教师讲的比例要随学生思维力的增强而递减.“一题多解”教学中的“讲”,核心是凸显思考的方法.具体地,一是要以“讲”发挥组织和引导的作用,用高阶思维问题让学生发现方法、选择方法和寻找方法的联系.譬如,你的解法关键是什么?遇到哪些困难?如何解决?每种解法好在哪里?哪种解法更一般性?解法之间是否存在联系?这些解法都体现了哪些数学思想方法?等等.二是通过“讲”提炼如何想到和寻找解法的,使学生能与教师的思维作对比.三是解题总结中用“讲”串联解法的条件、优缺点、解法的本质,使散碎的解题知识结构化.四是讲出不同解法背后的思维差异,把差异也包括解法中的错误,转化为教学资源.要用“讲”,把学生的思维引向深刻.举一个例子说明.

案例3已知实数x1,x2,y1,y2满足

图1

思维要分享就需要思维显化,由学生先讲寻找思路的体会,整理思维,而教师的“讲”进一步梳理学生(或自己)是如何理解、思考问题的,讲出思维的异与同,思维逐步清晰.两个思路的本质都是化归方法和数形结合,把代数条件翻译为图形,直观推理.直觉的触发点都由平方结构关系引起的.差异在于,思路1由平方的结构联想到单位圆,目标翻译为单位圆上A,B两点到定直线的距离和,利用梯形中位线定理,直观简明,运算量小.思路2则是将平方关系转译为圆的参数方程,转化为三角进行化简,利用三角知识去解决最值.用“讲”引导学生从学习解法,上升到学习思维策略.这对教师的数学功底、思维能力以及对学生的了解度要求很高.

2.3 用讨论与追问促使学生思维深入,提高思维的批判性,形成思维互助的氛围

“一题多解”解法的多样化给予学生更多的探索、创造和分享的机会,要鼓励学生敢于试错,并学习化解错误.研究如何用讨论与追问促进学生深入思考,培养批判思维,也养成互助的习惯.以下结合案例来说明.

有的学生解得a10:b10=S19:T19=77:62.

又有学生获得另一解法:

令Sn=k(4n+1),Tn=k(3n+5),

则a10=S10-S9=4k,b10=T10-T9=3k,

所以a10:b10=4:3.

所以,获得解法并不是解题教学唯一的目的.让学生独立判断,从错误中析取合理的部分,获得信心;让学生参与错误的发现,也经历修正错误、思维互助和寻找正确解法的过程,培养逻辑思维能力,也收获如何从失败到成功的经验.一般地,教师可以用:“他说的对吗?为什么?”“你的方法与他的方法有什么不同?”等追问,学生学表达，学倾听,学优化，也学认同,学习欣赏他人的优秀.

2.4 加强观察方法的学习,丰富知识模块,增强数学语言转化的能力

观察能力与知识面是相辅相成的,认知结构中相关知识模块越丰富,观察触发点就越多,语义转化也会越丰富.

3 结束语

解题教学实质上是学生思维活动的教学,从这个意义上讲，“一题多解”其实只是思维教学的一种情境.教师要从教做题到教思维,这其中,教师思维的深刻程度是核心.教师是否善于抓住问题的本质,找到解题的规律,逻辑清晰而准确地概括和表达,决定了他能否帮助学生认识到问题的本质、解法的本质,经历完整的数学思考,才能够提高学生的思维能力,发展核心素养.罗增儒教授曾说:“数学家创造了知识,而教师创造的是对知识的理解”,这种创造,需要基于我们对自己教学思维活动的不断地反思.