“预备知识”预备什么、如何预备
2020-09-24章建跃
章建跃
(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)
0 开篇的话
教育部于2013年启动了普通高中课程修订工作，这是深化课程改革落实立德树人根本任务的标志性工作.人教A版高中数学教材编委会几乎与课程标准修订工作同步，开展了全方位的教材修订研究工作，并于2016年4月正式启动新一轮教材的修订与编写工作.本次教材修订深入总结2004年开始使用的《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》的经验与教训，充分借鉴国内外高中数学教材改革的优秀成果，竭尽全力将教材修订成符合新时代中国特色社会主义需要的，反映学生认知规律和数学学科特点的，具有思想性、科学性、时代性、系统性和引领性的一流教材.通过构建逻辑合理的数学“教”、“学”活动所需要的学习主题、基本线索和具体内容，使教材成为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展数学学科核心素养的关键性教学资源.
2020年秋季，全国将有20多个省份开始实施新课程、使用新教材.趁着本刊开辟“新课程新教材新教学”栏目的机会，我们以人教版《普通高中教科书·数学(A版)》研究与编写过程中思考和讨论的重点问题为背景，以问题解答的方式，对教材中的一些重点、难点、疑点进行较为详细的解读、讨论，希望给广大教师把握教材的编写意图，形成基于数学学科核心素养的教学策略与方法，开展核心素养导向的课堂教学提供帮助.
本轮高中数学课程标准修订工作的一个显著特点是回归数学学科本质，回归数学教育的本来面目，注重发挥数学学科独特的育人功能，这可以从课程标准凝练的数学学科核心素养6个要素的鲜明数学学科特征中得到反映.我们一直主张，数学育人要发挥数学的内在力量，数学教学不能搞花架子，要努力把数学教好，教好数学就是落实核心素养.数学教学要用数学的方式，要加强一般观念的引领，突出数学对象的抽象过程与方法的引导，要使学生在掌握定义的同时知道它的来龙去脉，实现过程与结果的有机融合.要使学生在明确“运算中的不变性、规律性就是代数性质”、“几何图形组成元素之间关系、几何图形之间的位置关系就是几何性质”等等的前提下，在把握研究数学性质的一般套路的基础上展开新知学习，从而把学会学习、学会思考落在实处.“数学的主要方法，是逻辑的推理”(陈省身)，“推理是数学的命根子”(伍鸿熙)，运算是数学的童子功，所以要十分重视推理和运算在发展学生理性思维、科学精神和个人智力中的不可替代作用，要采取有力措施提高作业设计水平，增强解题训练在提高逻辑推理、数学运算素养中的有效性.加强综合实践活动是落实立德树人根本任务、促进学生核心素养发展的关键举措，所以要认真落实数学建模活动和数学探究活动的教材编写任务，为高中育人方式的改革作出贡献.所以，我们在撰写本栏目的文章时，特别注意加强数学学科本质、数学教育本来面目的思考，着重从挖掘数学内容蕴含的育人资源角度阐释教材的编写意图并提出教学建议.
以下从“预备知识”板块的内容设置、教材解读和教学建议开始.
1 设置“预备知识”的必要性
为了帮助学生顺利完成初高中学习的过渡，《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(简称“课程标准”)中设置了“预备知识”板块，作为高中入门阶段的学习内容，授课时数为18课时，要求“以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.”([1],p.14)我们知道，学段之间的衔接历来是课程建设的一个难点，是课程设计和教材编写中始终要面对的问题.本轮课程标准专门设置着眼于初高中过渡的学习内容，使“衔接教学”有章可循、有据可依，消除了五花八门的《初高中数学衔接教材》，避免了教学秩序的混乱，减轻了各方面的负担.所以，设置“预备知识”板块，无论在课程设计理念还是在实践操作上都具有创新意义.本文以课程标准的设计理念为指导，以人教版《普通高中教科书·数学(A版)》中“预备知识”的编写为背景，讨论初高中数学衔接的内容和教学问题.
2 初高中数学衔接的基本任务
我们知道，影响学生数学学习的因素包括认知因素和非认知因素，因此确定初高中数学衔接任务也要从这两个方面入手.
2.1 非认知因素方面
数学学习中的非认知因素，作为数学学习的一种心理准备状态，是长期的数学活动经验的结晶，对个体的数学活动产生直接的或动力的影响，包括兴趣、动机、性格等.兴趣，在深度、广度及稳定性上都随着数学学习的深入而不断发展，这种发展一般要经历对数学的新事实或有趣现象的直接兴趣、对数学内容本质属性的兴趣到对数学理论(各种数学事物的因果关系、数学的基本规律等)的兴趣等几种水平.动机，特别是与数学学习直接相关的成就动机，是追求数学能力和期望取得数学学习成功的一种需要，是以取得数学成就为目标的数学学习内驱力.数学学习的兴趣、动机与数学能力发展密切相关，较高的数学能力可使学生以科学的方法高质、高效地完成学习任务，从而激发更大的兴趣，进一步形成积极的、高水平的数学学习动机；反之，浓厚的兴趣、积极的动机也能促进数学能力的高水平发展.性格，作为个性的核心，是人对客观现实的稳定态度以及与之相适应的习惯化行为方式，良好的性格特征表现为正直诚实、实事求是、尊重理性、追求真理、坚定自信、刻苦勤奋、责任心强、勇于创新、百折不挠、持之以恒、严谨细致、独立思考等.正如课程标准指出的，数学学习“在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用”，学生的良好性格养成与数学学习有密切关系，这在课程标准确定的课程目标中得到了充分反映：“通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.”([1]，p.8)
从学生的年龄特征看，高中新生处于从少年到青年的过渡期，对数学内容本质的追求会逐渐成为他们的兴趣中心，成就动机也会逐步占据主导地位，他们渴望在数学学习中取得成功，希望自己具有高水平数学能力，数学学习中的理性成分不断加大，这些都是由个体心理发展的年龄特征所决定的.同时，这是学习生涯的一个新起点，学生站在了一个共同起跑线上.如何抓住学段升级和学生身心发展转折期的契机，点燃学生的数学兴趣，促使他们以积极的态度投入数学学习，从而顺利实现初高中数学学习的光滑衔接，这是高中入学教育的重要任务，是课程、教材和教学所要面对的共同问题.
不过，尽管非认知因素是数学学习的动力系统，重要性不言而喻，但空洞说教无济于事.只有当我们帮助学生切实解决了学习困难，使他们真正做好了高中数学学习的认知准备，能够听得懂、学得进、会解题，这样才能使他们对数学内容本身产生浓厚兴趣，才能产生持久的学习动力.因此，我们要采取非认知因素和认知因素相融合的观点，以加强“四基”、“四能”为抓手，使学生在打好学习基础、提高数学水平的过程中提升兴趣及动机水平，在取得数学学习成就的同时形成良好的性格.
2.2 认知因素方面
首先需要认清的一个问题是，从认知准备上看，“补知识点”是不是“衔接”的主要任务？多次调研发现，高中教师认为学生的“知识欠缺”比较严重.例如以下是《普通高中数学课程标准(实验)》(简称《标准(实验)》)在2004年开始实施后一份比较流行的“初高中数学课程标准衔接问题”清单：
需要补充的内容
立方和公式，立方差公式，十字相乘法、分组分解法，含有字母的方程，三元一次方程组，根式的分母有理化、最简根式、根式化简，可化为一元二次方程的分式方程，分式乘方，无理方程，高次方程，二元二次方程组，一元二次不等式，一元二次方程根的判别式，韦达定理，换元法，平行线等分线段定理、平行的传递性，平行线分线段成比例定理，梯形中位线，截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理，圆内接四边形的性质，轨迹定义，圆的有关定理(垂径定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理)相切作图，正多边形的有关计算，等分圆周，三角形的内切圆，三角函数中的同角三角函数的基本关系式.
初中要求低，需要提高的内容
有理数混合运算只强调三步(最多)，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力弱；多项式相乘仅要求一次式间的相乘，无除法；因式分解只要求提取公因式法、公式法(平方差、完全平方)，直接用公式法不超过两次；根式的运算要求低；绝对值符号内不能含有字母；配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单要求，在二次函数中不要求用配方法，求顶点、最值时只要求用公式，且又不要求推导和记忆公式(中考试卷中会给出公式)；几何中大大减少定理的数量，几何证明要求低；只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；辅助线，中考只要求添加一条辅助线.
显然，如果按照这份清单进行知识点补充，那么用一个学期的时间恐怕也补不完.
我们认为，大量补知识点既没有时间也没有必要.我们要区分清楚，哪些知识是高中学习必须的基础、需要专门补充，哪些是“过程性”的，用到时进行即时补充、或者通过学生自学就可以解决的.例如，十字相乘法是高中教师强烈要求补充的，但从本质上看，这种方法仅仅是针对一类特殊的二次三项式的技巧，不属于通性通法，而且初中教材中已经采取“拓展性资源”的方式予以解决，所以不需要进行专门补充.因为一元二次方程、一元二次不等式和二次函数在代数、函数中都具有基础地位，利用二次函数研究一元二次方程和一元二次不等式，不仅是一种重要的数学思想和方法，而且可以让学生理解函数在研究代数问题中的核心地位和关键作用，领悟数学的整体性、联系性.讨论函数定义和性质时，一般都以二次函数作为具体的模型；在微积分初步中，一般也都以二次函数为例.因此，“三个二次”必须得到加强，应作为重要内容，从概念、性质、思想和方法等进行全方位的“衔接教学”.
与“补知识点”紧密相关的另一个问题是如何加强“由内容所反映的数学思想和方法”.面对具体问题要调用某一知识时，能够“想得到，用得上”，这是要以理解其本质、把握其蕴含的数学基本思想、形成基本活动经验为基础的，否则，即使记住了也难以达到迁移运用的水平.我们知道，数学思想方法不仅蕴含在一个个概念、原理中，更体现在概念的体系、知识的联系中，也就是在数学的整体性中才能更深刻地体现出数学基本思想和基本活动经验的意蕴.所以，在衔接教学中，通过一定的方式对已学知识进行回顾整理，用新的语言进行再表达，形成思想性、结构性、系统性更强的认识，这是更加关键的.
实际上，初高中数学课程真正存在“缺口”需要“硬补”的内容很少.像老师们反响强烈的上一轮义教课标和高中课标不衔接的内容，特别是韦达定理、乘法公式、十字相乘法、不等式、函数、二次函数、几何等，在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中已经进行了修补，有的作为必学，有的作为选学.在基本技能方面，整体而言，世纪之交的课改确实令我国学生的运算和推理技能有较为明显的下降，但技能的提高不能靠短时间突击“恶补”，这是一个潜移默化的过程.
另外，从初高中数学内容的差异看，非常主要的是初中内容相对具体而高中内容的抽象程度较高.导致这种差异的原因是多方面的，语言表达方式的差异是其中很重要的一个原因.例如函数概念，初中采用形象化的“变量说”，与学生头脑中积累的日常经验比较吻合，而高中采用“对应关系说”，不仅要用到集合的相关知识，引入抽象的符号f：A→B，y=f(x)，x∈A，而且使用逻辑用语“非空”、“任意”、“存在”、“唯一确定”等，从而使理解难度陡然上升，函数概念成为拦路虎，导致大量学生在高中入门阶段就在数学上败下阵来，并进而失去学好数学的自信心.同时，函数概念理解不到位也使高中数学学习缺失了最重要的基础.所以，在进入函数概念学习之前，要让学生在所需要的知识与技能、语言表达、思想方法等基础方面有一个相对较长时间的准备，而不是像《标准(实验)》那样，把不等式、常用逻辑用语等都安排在函数概念之后，导致学生刚入高中没几天就要直接面对这个高度抽象的函数概念.
总之，初高中衔接，不能以补充知识为主要任务.在认知因素方面，初高中数学学习的衔接任务应包含知识技能、语言表达、思想方法、思维方式等方面.
如何选择衔接的内容载体呢？因为函数是高中的第一条主线，函数的概念与基本性质历来都是高中数学首先要面对的，所以可以从函数学习的需要出发进行选择.课程标准对《标准(实验)》进行调整，将集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等初中已经有所接触的内容，作为衔接的素材，让学生用新的语言表述，用新的观点看待与分析，并通过用等式、不等式及其性质表示日常生活中常见的相等关系、不等关系，以及建立“三个二次”直接的联系等，提升学生数学语言表达的抽象水平的同时，提升数学思想和对数学整体性的认识.所以，课程标准在这个内容的设计上是比较合理的.
以下我们分别就这几个内容的课程定位、内容理解以及教学中需要注意的问题进行讨论.
3 集合
3.1 课程定位
课程标准开宗明义地指出：“在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具.本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验.”内容有集合的概念与表示、基本关系和基本运算.([1],p.15)根据这一内容定位，教材引导学生通过利用集合语言对初中的一些重要概念进行再抽象并用符号表示对象(集合的元素)、对一些重要内容(特别是方程、不等式、函数)进行“再表述”等，在提高数学表达的抽象化过程中达到提升学生抽象思维水平的目的，从而为高中学习做好准备.
3.2 核心内容的理解与教学思考
3.2.1 集合的概念与表示
课程标准提出的“内容与要求”是：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；(3)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
我们知道，集合的定义是形式化、描述性的.集合作为数学中的最基本概念，采用了“名义定义”的方式.那么，如何理解这个定义呢？
一般地，集合是由具有某种共同特征的元素组成的，只要构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等.这说明，集合是由元素所唯一确定的，因此我们只关心集合中的元素是什么而不关心它们的顺序.所以，理解集合的定义，首先要抓住集合中元素的特征(确定性)及元素间的基本关系(互异性、无序性).其次，要抓住元素与集合的关系，“属于”、“不属于”二者必居其一且只居其一(满足“排中律”).本质上，元素x与集合A之间的关系是指元素是否具有集合的“那个”共同特征，“是”用“x∈A”表示，“否”用“x∉A”表示.
既然集合作为语言，那么学习它的最好方法是运用，所以要让学生通过练习熟悉并能准确使用集合语言.使用集合的语言简洁、准确地表述数学对象，这里要表述的内容是共性特征、规律性、关系，表述的方法有自然语言、列举法和描述法，其中描述法是重点.因为共同特征、规律性、关系都要通过归纳而得出，并要引进适当的符号表示，所以学习“集合的表示”有利于发展数学抽象素养.
这里要特别强调一下描述法{x∈A|P(x)}.首先，学生会忘记x∈A这一限制条件.
例1给定集合A={x∈N|2x<5}，1.5，2，3∈A吗？
教学实践表明，学生的注意力往往集中在2x<5上，所以得出1.5，2∈A，3∉A.同类的错误表现在函数学习中，学生往往不注意函数的定义域对所讨论问题的限制.更一般的意义上，就是不顾讨论问题的前提条件而导致错误结论.在更普遍的意义上看，就是因为不注意研究的范围、前提条件的限制，得出南辕北辙的错误结论.实际上这里涉及思维习惯的培养，教学中要通过适当的问题引起学生注意，使他们养成首先搞清楚问题的范围、边界的习惯.
其次，{x∈A|P(x)}中的P(x)是指集合中元素所具有的共同特征，解题时往往需要学生针对具体问题进行归纳，因此可以利用集合的表示来梳理已学的知识.例如，初中学习的有理数概念采用“外延描述法”：正整数、0、负整数统称为整数，正分数、负分数统称为分数.整数和分数统称为有理数.教材[2]利用描述法表示有理数集，对有理数概念进行了再表述([2],p.4)：
在集合的表示中，通过表示法之间的互化可以培养学生的数学抽象素养，这里需要学生首先想清楚集合中元素的共同特征是什么，然后再做其他事情.
3.2.2 集合的基本关系与基本运算
课程标准提出的“内容与要求”是：(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；(2)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；(4)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
集合的基本关系与实数的大小关系有点类似，所以教材注意引导学生通过类比实数的关系提出集合之间相互关系的问题.这里要强调一下“相等”的重要性：通过相等定义说明在所讨论的对象中到底要关心什么.
在“集合的概念”中，教材说：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
在“集合的基本关系”中，教材又说：
如果集合A是集合B的子集，同时集合B是集合A的子集，就称集合A与集合B相等，记作A=B.
如何理解以上两个“相等”？这里，前一个是“集合相等”的定义，由此知道我们只关心集合的元素而不关心其他；后一个相当于“性质”，它使“相等关系”具体化，具有可操作性，可用于推理证明.
研究集合基本关系的一般步骤：先搞清楚集合中元素的属性(研究对象是什么)，再判定它们的关系.
分析集合中元素的共同特征需要调动已有知识，要有分析问题、理解内容本质的能力.
例3已知集合A={x|0 如何分析已知条件？ 方法1：由B⊆A可知，∀x∈B都有x∈A，于是a≥2； 方法2：借助Venn图(图略)，可以直观、方便地得出结果. 这个问题看上去很简单，但它与老师们热衷的“恒成立”之类的问题是本质一致的：求实数a的值，使B⊆A恒成立.这再一次说明，语言之间的互化对发展思维能力很重要，其实对解题也很重要. 如何理解集合的基本运算呢？首先仍然要关注两个集合中元素的属性.设： A= {x∈X|P(x)}， B= {y∈Y|Q(y)}， 要对A，B进行运算，集合X，Y应该有共性，例如都是数，或都是点(坐标)等等. 实际上，集合的运算与事物的分类有内在联系，或者说我们可以通过集合的运算得到分类的结果. A∪B={x∈A或x∈B}，“或”可以细分为三类：x∈A，x∉B；x∉A，x∈B；x∈A，x∈B. A∩B={x∈A且x∈B}，所以A∩B⊆A∪B. 全集：讨论问题的范围约定. 补集：二分法，例如把整数集Z分为奇数集A和偶数集B，则A，B互为补集.(对立事件，矛盾的对立统一) 例4已知集合A={(x,y)|x，y不全是正数}，试将A中元素进行分类. 分类标准不唯一，由“x，y不全是正数”，可按x<0，x=0，x>0；y<0，y=0，y>0为标准.因为情况复杂，采取列表的方法： y是正数y不是正数x是正数(+,+)(+,-),(+,0)x不是正数(0,+),(-,+)(0,-),(0,0)(-,0),(-,-) 集合A中的元素是(x,y)，所以可以将它看成是直角坐标系中的点集.数形结合地看，集合A就是平面直角坐标系中除第一象限外的点组成的集合. 用集合的运算表示分类结果，可以作为复习有关概念、理清数学对象之间关系的载体；分类是基本而重要的数学活动，在后续学习中要频繁地用到. 课程标准指出：常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言.本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性.内容有：必要条件、充分条件、充要条件，全称量词与存在量词，全称量词命题与存在量词命题的否定.([1],p.15～16)根据这一定位，教材主要以初中学过的命题(特别是几何命题)为载体，引导学生分析命题的结构，理解数学命题的组成要素，提升命题的理解水平，从而提高学生数学思维的抽象程度. 我们知道，数学教育的核心任务是训练学生的逻辑思维.某种意义上，数学学习是数学语言的学习，特别是关于逻辑语言的学习与使用.“数学可以教会一个人，如何准确掌握词的含义，如何避免循环定义，如何正确运用语言来构造命题.各种数学语言的表达都具有确切的含义.”([3]，p.85)要使数学的语言表达成为一种思维训练的素材，就必须依赖于数学自身的方式，联系多方面相关背景，来获得相应的数学专门语言.其中数学概念的语言建设(也就是命题)是一个方面，量词的明确化是另一个方面.所以，明确命题的结构、懂得量词的意义对理解数学内容的本质非常重要.例如，有大量学生对“恒成立”、“存在性”之类的问题感到困难，这是为什么呢？实际上问题就出在对命题结构、量词意义的理解上，还有是一些逻辑用词的转化问题，例如相等与不等的转化、特殊与一般的转化、整体与局部的转化、正面与反面的转化……这些“转化”其实都是逻辑用语的问题. 4.2.1 必要条件、充分条件、充要条件 课程标准提出的“内容与要求”是：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.教材主要以平面几何知识为载体，通过用逻辑用语梳理几何定理，帮助学生理解有关逻辑用语，熟练使用有关符号，并使学生在用新的语言表述几何命题的过程中加深理解几何知识. 我们知道，所谓命题，是指用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.为了避免不必要的歧义，人教A版教科书的例子都是数学命题，其实这也是利用数学命题的确切性帮助学生理解逻辑用语的一个举措. 数学中命题的一般形式：“若p，则q”，“如果p，那么q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.“三种条件”实际上给出了“若p，则q”形式的命题中p和q的关系： p⟹q：p是q的充分条件，q是p的必要条件； p⟺q：p是q的充要条件. 关于“三种条件”的理解，任何一本逻辑学教材中都有，这里主要就如何引导学生理解“充分”、“必要”谈一点想法.初次接触时，学生的困惑在于：q明明是结论，怎么又成了条件？对此，建议从以下几个方面进行解释： 首先，“若p，则q”是一个整体，p是q的充分条件，则q就是p的必要条件； 第二，要通过梳理初中学过的数学知识，特别是几何知识，帮助学生加深理解命题的结构，通过对具体命题的结构分析(条件是什么，结论是什么，从谁推出谁等)，归纳出命题的一般形式，进而从抽象的、整体的角度认识命题； 第三，应通过具体例子，帮助学生理解“充分”和“必要”，例如：命题“全等三角形的周长相等”，还原为“若p：△ABC≌△DEF，则q：△ABC和△DEF的周长相等”，因为p能足以保证q，所以p是q的充分条件；同时，如果q不成立(即两个三角形的周长不等)，那么p不可能成立(即两个三角形不可能全等)，但q成立不能保证p成立(即周长相等的两个三角形不一定全等)，所以q是p的必要条件. 教学时还可以通过实例，引导学生对“充分不必要”、“必要不充分”等进行辨析，从而加深对“三种条件”的理解. 另外，课程标准第一次对理解三种条件与性质定理、判定定理和数学定义之间的关系提出要求，这里做一个简要说明. 性质定理与必要条件：任何一类数学对象都有自己特定的性质.设A是一类数学对象(如平行四边形)的集合，它的性质有n条，这n条性质组成集合B(如对于平行四边形，对边平行、对边相等、对角相等、邻角互补、对角线相互平分等等).对于某一个体x，只要不满足B中的任何一条，那么它就不可能属于A，因此B中的任何一条都是x∈A的必要条件.例如，x是一个四边形，如果它有一组对边不相等，那么它就不可能是平行四边形；但我们不能由“一组对边相等”得出它就是平行四边形.因此，性质定理可以用于判定一个个体“不是”某一类，但不能用于判定它“是”某一类. 判定定理与充分条件：设A是一类数学对象的集合，判定定理给出了判定某一个体x是否属于A的充分条件，只要满足判定定理的条件，那么x就一定属于A，也就是说，判定定理可以用于判定某一个体“是”某一类；但因为充分条件不唯一，所以判定定理不能用于判定某一个体“不是”某一类. 数学定义与充要条件：数学定义给出了一类数学对象的共同本质特征.设A是一类数学对象的集合，B是由定义给出的特征的集合，由定义可知，如果x∈A，那么x一定具有B中每一条特征；反之，如果x具有B中每一条特征，那么x∈A.所以，数学定义是充要条件，它给出了区分此类对象与它类对象的精确标准.需要注意的是，定义所给的充要条件不一定是“不多不少”的，也就是说定义可以有“冗余条件”.例如，全等三角形的定义要求的是对应边、对应角都相等.因为要求的条件具有一般性，所以定义往往“不好用”.为此，需要进一步研究“条件不多不少”的充分条件，从而得出“好用”的判定定理，例如全等三角形的判定定理SAS，ASA，SSS等.另外，定义所界定的一类对象的共同特征是这类对象的最基本性质，为了全面、深入地认识这类对象，我们需要从定义出发进一步地探究它的其他性质，进而得出性质定理. 还有一点需要说明的是，研究一类数学对象，定义是出发点，通过定义明确研究范围，性质、判定则是对定义“圈定”的范围内的对象展开研究.例如，以“有两条边相等的三角形是等腰三角形”为定义，再研究等腰三角形这类图形的性质，就是要以三角形的两边相等为前提条件，对三角形的边、角、高、角平分线、中线等之间的关系展开研究. 4.2.2 全称量词与存在量词 课程标准提出的“内容与要求”是：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 全称量词，它表示在一个命题中对主项的全部外延作了断定，通常用“所有”、“一切”来表示.在命题的语言表达中，全称量词的语言标志(“所有”、“一切”等)可以省略.例如，“所有菱形是平行四边形”中的“所有”可以省略. 存在量词，它表示在一个命题中对主项作了断定，但未对主项的全部外延作出断定，通常用“有的”、“有些”来表示.在命题的语言表达中，存在量词的语言标志(“有的”等)不能省略.例如，“有的三角形不是等腰三角形”中，“有的”不能省略. 将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x).存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x). 以上内容，引进了抽象符号表示.教学中首先要通过梳理初中学过的知识，并用这些符号进行表示，从而让学生熟悉符号；并要通过运用，提高学生数学思维的抽象水平. 要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 教学中，要通过具体例子让学生感受逻辑的力量，这也是培养学生理性思维的契机，其中反映的思维方式需要重视. 4.2.3 全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准提出的“内容与要求”是：(1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，(2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 在面对具体问题时，学生的疑问是到底要“否定”什么？ 首先，这里的依据是形式逻辑中的排中律：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 要否定的是“量词”：通过否定全称量词，将全称量词命题转化为存在量词命题；通过否定存在量词，将存在量词命题转化为全称量词命题. 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 对全称量词命题与存在量词命题的否定，教学中要加强用“等值语言”转换的训练，即要引导学生多用“也就是说”的方式对命题进行重新叙述.例如，集合A={(x,y)|x，y不全是正数}，这是用全称量词命题的否定形式表述的，设集合B={(x,y)|x，y全是正数}，那么集合A是集合B的补集. 课程标准安排“预备知识”，以“语言”、“工具”为关键词，让学生在集合、常用逻辑用语的学习中，以一种新的语言表达方式梳理已学过的数学内容，通过掌握一些简洁、准确的数学语言，提升学生用抽象符号语言进行数学表达的水平，从而提高数学推理论证的严谨性和准确性. 因为语言是思维的载体，所以在学习利用集合、常用逻辑用语等“专业术语”进行数学表达和交流的过程中，数学思维的抽象水平也会得到提高，从而就使学生的理性思维在潜移默化中得到发展. 总之，“预备知识”预备了高中数学课程所需要的数学语言、数学推理的表达工具.教学中要根据语言学习的规律，让学生用集合、常用逻辑用语对初中的典型内容进行再理解、再表达，使学生在熟练运用集合语言和常用逻辑用语的过程中，加强思维的概括性、间接性和逻辑性，从而为后续学习做好准备. 前面就如何根据“集合与常用逻辑用语”单元的课程定位和内容要求，以教材为依托，抓住“数学语言”这个要点，在掌握集合语言、常用逻辑用语的过程中对初中的相关知识进行梳理，在用集合语言、常用逻辑用语重新表达已学知识的过程中，提升抽象思维水平，从而为高中数学学习做好准备.接下来讨论如何根据“相等关系与不等关系”、“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的课程定位和内容要求，在掌握不等式的性质、以二次函数为纽带建立“三个二次”知识体系的过程中，促进学生用联系的观点看待问题，体会数学的整体性，提升思维严谨性和逻辑推理能力等. 课程标准认为，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式.内容包括：等式与不等式的性质、基本不等式.([1],p.16)根据这一定位，人教A版教材注重利用学生在日常生活中积累的大量关于相等关系和不等关系的直觉经验，发挥初中已学的等式的基本性质、不等式的基本性质的作用，以代数学的一般观念和通性通法为指导，围绕“运算”这一核心，引导学生归纳等式性质中蕴含的数学思想和方法，类比等式的性质猜想和证明不等式的性质，然后用于研究基本不等式，并通过应用加深理解，从而为研究函数等做好准备. 6.2.1 等式与不等式的性质 课程标准提出的“内容与要求”是：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.这里，“梳理等式的性质”意味着学生已经学了等式的性质，现在要对这些性质进行梳理，使其系统化、结构化，为学习不等式做好准备；“理解不等式概念，掌握不等式的性质”意味着不等式的概念和性质是新内容，要通过类比等式的概念和性质展开学习.所以，这一单元的核心内容是不等式的概念和性质. (1)如何构建本单元的结构体系？ 根据上述分析，本单元应围绕不等式的概念和性质构建教材体系. 因为不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，所以不等式概念的抽象应当经历从现实中的不等关系到数学中的不等式的过程.同时，根据概念学习的一般规律，要让学生经历从具体实例的属性分析到不同实例共同属性的归纳，再概括到一般的不等关系中去，进而获得不等式概念的过程. 类比解方程要用等式的性质，可知解不等式要用不等式的性质，因此要先安排不等式的性质，再安排解不等式. 因为不等式表示的是式的大小关系，而式的大小关系是实数大小关系的一般化，所以研究不等式的性质要以实数大小关系的基本事实为逻辑基础. 由上述分析可知，本单元的结构体系应该是： 现实中的不等关系→不等式概念→实数大小关系的基本事实→不等式的性质. 为了给研究不等式的性质提供类比基础，应在不等式的性质之前安排“梳理等式的性质”这一内容. (2)等式与不等式的性质所研究的问题是什么？ 教学中引导学生通过对问题的分析与归纳，明确要研究的具体内容，这是非常重要的一步.这样才能使学习方向明确、有的放矢，避免盲目学习、被动学习. 首先，等式是两个式的相等关系，不等式是两式的不等关系，这种“关系”有什么特性？ 其次，代数学的根源在于代数运算；解决各种各样的代数问题时，我们总是运用各种代数运算来分析量与量之间的代数关联.以“运算”为导向观察等式的性质、不等式的性质，归纳它们的共性，可以发现，这些性质反映的是“运算中的不变性、规律性”. 因此，等式、不等式自身有怎样的特性，它们在运算中有怎样的不变性、规律性，就是“性质”所要研究的问题. (3)研究等式与不等式性质的出发点在哪里？ 我们知道，实数之间的关系，基本而重要的是大小关系，其现实原型是事物数量的多少关系.实际上，将数量抽象成自然数的过程中，人们不仅用符号1，2，3，……来表示事物的量，同时也从数量的多少关系中抽象出了自然数的大小关系，这一点可以从自然数系的结构中得到反映：自然数系是人们用来数“个数”的工具，其本质是一个顺序排列的体系，它是以0为起点，然后顺序地“后继者”表示比“前者”多1个，即1=0+1，2=1+1，3=2+1，4=3+1，…….在将数的范围从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，数的这种“顺序”特性一直都得以保持. 因为式的关系是数的关系的抽象化、一般化、类化，所以由实数的有序性得出的两个实数大小关系的基本事实就成为研究式的关系的逻辑基础. 因此，两个实数大小的基本事实是研究等式与不等式的性质的出发点. (4)两个实数大小关系的基本事实说了什么？ 从整体上观察“基本事实”： a>b⟺a-b>0； a=b⟺a-b=0； a 可以发现它们的共性是把实数a，b的大小关系统一转化成了a-b与0的大小关系.这一转化看似简单但蕴含了深刻的代数思想.“要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小”这是对基本事实共性的归纳、思想的挖掘，不仅可以加深理解其本质，而且指出了如何运用：通过做差运算，实现问题的转化——统一地与0比大小.正如教科书指出的，“0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了‘标杆’”([2],p.38).因此，教学中要注意引导学生认真体会这句话，使他们感悟“运算”在解决不等式问题中的作用. (5)“梳理等式的性质”要梳理什么？ 一般而言，对已学知识进行梳理，其目的是更深入的理解内容的本质、思想方法，通过建立知识的内外联系形成结构化、系统化的知识，从而优化学生头脑中数学认知结构，提高知识的清晰性、可辨别性和可利用性水平.具体可以从如下几个角度展开： ①知识内容(是什么)； ②由内容所反映的数学思想和方法——同类知识的共性； ③相关知识的联系，可以从知识的发生发展过程入手(怎么来的). 这里的“梳理”还有一个目的：从中得到研究不等式性质所需的一般观念、研究内容、研究路径、研究方法等方面的启迪.教科书正是按这一思路编写的： 首先，以“不等式与等式一样，都是对式的大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发”为引导，提出任务： 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 然后，列举等式的5条基本性质，并以“运算中的不变性就是性质”引导学生思考. 最后，给出“发现”：性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. (6)不等式的性质有怎样的结构？ 任何一个(类)数学对象的性质都有层次性，这是数学对象的构成元素、相关要素之间关系以及与同类对象之间联系的反映，是数学结构与体系的具体化.定义给出了一类数学对象的内涵，是这类对象的基本特性，处于性质的“内核”，是研究其他性质的出发点(例如两个实数大小的基本事实是研究等式、不等式性质的出发点)；由定义直接推出的性质，往往称为基本性质；接着是对象的相关要素之间的关系，以及通过建立相关知识之间的联系而得出的性质，这种联系有“远近”之分.所以，数学对象的性质一般都是一个有序多级的系统. 教科书中给出的不等式性质分为三个层次： 第一层次：性质1(自反性)、性质2(传递性)，这是不等式自身的特性，是实数顺序性的规律反映. 等式与不等式的自反性、传递性是代数推理的逻辑基础.因为它“太基本”，在高一新生这个年龄段一般会“视而不见”，在他们看来甚至是有点“没事找事”，所以这两条性质学生不容易自主发现.教学时可以由教师直接提出来，并结合初中的相关知识让学生体会其必要性(如乘法公式和用公式法分解因式). 这里的另一个问题是这两条性质的证明.学生在初中代数学习中，数与式的运算是主旋律，严格的代数推理证明训练不多.例如，有学生对“自反性”的证明如下： 要证b 因为a>b，所以a-b>0. 两边同乘-1，得-(a-b)<0.(*) 所以b-a<0. 同理可证：如果b 所以，a>b⟺b 其中步骤(*)的依据是什么？学生往往说：以初中学过的“不等式两边同乘一个负数，不等号反向”为依据.但这是不可以的，这里只能用“基本事实”.所以，本单元是培养逻辑推理素养的一个契机，教学时可以利用学生中出现的上述类似问题引导学生思考、辨析，以使他们逐步理解代数推理的逻辑严谨性要求. 第二层次：性质3(加法运算)、性质4(乘法运算)称为基本性质. 因为在数的运算中，加法、乘法是最基本的运算，所以在加法、乘法运算中的不变性、规律性是基本性质. 第三层次：由实数的性质、不等式的基本性质推出的常用性质. 为什么要研究“常用性质”？这里我们给出一些理由： 首先，“常用性质”可以看成是基本事实、基本性质的推广、应用，它们丰富了不等式性质的内涵.例如，性质5“如果a>b，c>d，那么a+c>b+d”是性质3“如果a>b，那么a+c>b+c”的推广，性质6“如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd”是性质4“如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac 其次，这些性质由基本事实、基本性质推出，它们离具体问题“更近”，所以“更好用”. 再次，它们更深入地体现了“运算中的不变性、规律性”；等等. 实际上还可以有一些“常用性质”，教学中可作为用不等式的性质进行证明的例题，也可以作为探究性学习内容，让学生自己进行猜想、证明.例如： (7)如何在不等式性质的教学中发展学生的核心素养？ 从前面的讨论可以看到，不等式性质的学习可以使学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养得到发展.整体上看，本单元内容是按公理化思想编排的，所以有利于培养学生思维的逻辑严谨性.正如教材的小结中指出的：以实数大小关系的基本事实为基础，先通过类比，归纳猜想出不等式性质，再运用逻辑推理证明之，这个过程不仅可以使我们学习发现数学关系、规律的方法，而且可以培养借助直观理解数学内容、通过逻辑推理证明数学结论的思维习惯.([2],p.56) 6.2.2 基本不等式 (1)如何理解基本不等式的“基本”？ 另外，从运算的角度，基本不等式是两个正数在运算中出现的大小关系变化规律，是“运算中的规律性”. 根据以上认识，教学中可以引导学生对基本不等式的各种变式及其推广、几何意义等展开探究，努力使学生搞清楚相关的各种命题及其相互联系，形成以基本不等式为核心的结构体系(当然，有些内容需要随着学习的深入而不断补充、加强，例如两个正数的等差中项、等比中项及其关系等). (2)如何引导学生探索基本不等式？ 对于这样的处于基础而重要的位置，因为基本思想和基本活动经验准备不足而导致“想不到”，从而出现学习困难的问题，解决的途径大致有两种：一种是提供具体背景，使学生形成一定的直观经验基础，再进行归纳，抽象出结论，例如，有的教材设置不标准天枰称重问题、购物问题等，或者给一些具体数据让学生计算算术平均数、几何平均数，从中发现规律得出猜想；另一种是直接从a2+b2≥2ab进行变形，从一般到特殊地推出基本不等式. 显然，“发现”基本不等式的不同设计各有千秋.考虑到学生自主发现的难度、预备知识的教学任务以及学生的认知规律，人教A版采用从代数公式在代数运算中的重要作用角度提出问题：“是否存在与乘法公式类似重要不等式”？再从a2+b2≥2ab变形得出基本不等式，把重点放在不同证明方法和几何意义的探索上，帮助积累代数证明的经验，理解“几何平均”的含义等.同时，证明方法侧重在“用分析法探路，用综合法表达”上，这种“执果索因”、“由因导果”的方法是常用的，有利于发展逻辑推理素养.教学中要重视教材中的证明方法，引导学生认真体会并掌握书写格式.另外，可以让学生构造不同的几何图形解释基本不等式. (3)教材中4个例子有怎样的教学功能？ 教材所选的4个非常典型，有“数学模型”的味道. 例2已知x，y都是正数，求证： 某种意义上，这个命题可以作为一个定理.从这个题目可以概括出“一正二定三相等”. 与基本不等式相关的代数变形非常灵活，是培养学生逻辑推理、数学运算能力的好素材，应配套一些练习，使学生对一些基本变形达到“自动化”运用的水平. 例3、例4都是实际问题，通过建模，可以转化为基本不等式的问题.教科书重视通过语言转换、数学符号的运用等明确题意，例如对例3，教科书在“分析”中给出： (1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. (2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大. 这样的转换，不仅使题意更加清楚了，而且也得出了一个更具普遍性的数学结论. 这里需要注意的问题是把握好基本不等式训练的“度”，不要急于把复杂的变式、变形技巧很强的问题布置给学生.这里的训练主要从代数角度进行，与不等式的性质相联系，通过代数变换解决有关问题.所涉及的题目，应该是用基本不等式就能解决的.教材的例题、习题中给出了与基本不等式相关的主要变形，把这些题目处理好就可以了. 课程标准指出，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.通过本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式.通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性.内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式.可以发现，这一内容的课程定位与前面几个单元都有差异，强调了从知识的联系性出发梳理相关内容，从数学的整体性上提高认识.显然，这是从看问题的观点、数学基本思想上提出的明确要求. 课程标准提出的内容与要求是：(1)从函数观点看一元二次方程，会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.(2)从函数观点看一元二次不等式，①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.可以看到，课程标准强调在二次函数的统领下研究相应的方程、不等式，其中特别注重发挥图象的作用，强调数形结合的思想方法. 1.如何理解“从函数观点看”？ 这里我们需要思考的问题包括：什么叫“函数的观点”？“从函数观点看”，看什么？如何看？ 一般而言，函数观点是指运动变化观点、对应思想、联系的观点、数形结合思想等等. 从函数观点看方程、不等式：解方程、解不等式是求未知数的值或范围，将未知数看成自变量，f(x)=0、f(x)>0、f(x)<0就是函数y=f(x)的三类状态，并以f(x)=0为分界点.如果我们已经对函数y=f(x)的性质了解清楚了，那么就可以利用函数的变化规律解决相应的方程、不等式问题.显然，这是一种联系的观点. 从函数观点看方程：方程的解是与函数值为0时所对应的自变量的值(数)，是函数图象与x轴交点的横坐标(形)； 从函数观点看不等式：与函数值在某个范围时相对应的自变量集合(数)，是函数图象位于某个区域(如x轴上方或下方)时所对应的点的横坐标集合(形). “函数观点”带来的好处是可以借助函数的图象与性质，一般性地、程序化地解方程和不等式问题.这里，借助二次函数的图象和一元二次方程的解，可以“以静制动”，直观得出一元二次不等式的解，这比用代数方法解不等式要方便得多，由此可以让学生体会如何利用函数观点、数形结合的思想方法解决有关方程与不等式问题，体会数学的整体性、联系性. 2.学生的认知困难在哪里？ 函数观点属于数学思想层面.观念、思想之类的东西具有概括性、统摄性，往往是“可以意会不可言传”，用抽象语言说清楚是比较困难的，需要借助具体背景.所以，从内容本身看，需要学生积累较多的经验才能领悟“函数观点”的内涵. 学生的问题是“想不到那里去”，给出明确的提示后会有恍然大悟之感.这种“不是做不到，而是想不到”的状态就是素养不够的表现.所以，从认知过程角度，“函数观点”需要经历“渗透—明确—运用”的过程，最终要使学生达到“自动化”运用的程度.正因为如此，课程标准在这里让“函数观点”小试牛刀，在后面学习幂、指、对函数，掌握了更多类型的函数，积累了更丰富的函数知识后，将安排一般性的“二分法与求方程近似解”. 3.如何引导学生“从函数的观点看”？ 学生学习本单元的知识基础有：一元二次方程、二次函数的有关知识，从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式.所以，教材通过以下环节展开本单元内容： 首先，设计具体情境，引导学生从特殊到一般，抽象出一元二次不等式的定义. 然后，以“在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？”引导学生进行类比，明确研究思路. 接着，以一元二次不等式x2-12x+20<0与二次函数y=x2-12x+20之间的关系为例引入二次函数的零点，研究如何利用二次函数的零点求不等式解集. 最后，得出用二次函数解一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a≠0)的一般步骤： (1)观察二次项系数a的符号，对于a<0的一元二次不等式，把它的二次项系数化为正数； (2)计算判别式Δ=b2-4ac的值，如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0的根；如果Δ<0，说明方程ax2+bx+c=0无实数根； (3)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，结合图象得不等式的解集. 上述过程，以二次函数为纽带，把“三个二次”联系起来，借助二次函数的图象与性质，一般性地、程序化地解一元二次方程和不等式问题，体现了数学的整体性、联系性. 要注意，将ax2+bx+c=0、ax2+bx+c<0、ax2+bx+c<0(a≠0)统一起来，引入y=ax2+bx+c，对刚上高一的学生而言并不容易，需要加强引导. 整体上看，本单元的知识结构是： 这里我们以“关系”、“联系”、“基本思想和方法”等为关键词，让学生通过类比，理解等式与不等式的共性和差异性，掌握不等式的性质及其蕴含的数学基本思想和方法，体会“运算”在研究代数性质中的作用；用函数的观点看方程和不等式，把一元二次方程、一元二次不等式统一为相应的二次函数变化情况，建立函数、方程和不等式之间的联系，这是用新思想、新观点看旧问题，是认识层次的提高，可以使学生体会数学的整体性，感悟函数的重要性，体验到数学的思考方式，并提升发现和提出问题、分析和解决问题的能力.在此过程中，学生的思维抽象水平和逻辑严谨性都会得到提高，从而就在潜移默化中实现了学习方法、思考习惯的过渡. 再次强调，初高中数学学习的差异是由学习内容的抽象程度所决定的，相伴相随的是对逻辑严谨性要求的提高.但从认知规律看，数学概念、定理的形成一般是“起始于直觉，完成于逻辑”，因此“思想先行于逻辑，推理紧跟着直觉”，使学生有一个逐步走向严谨的过程，不仅符合学生的认知规律，也与数学知识发展规律相吻合. 把课程内容与学生感兴趣的事物以及已具备的知识经验联系起来，这样才能使学生在面对学习任务时产生有数学意义的心理过程，在学习活动中将思考、感受和行动融合起来，使学生在克服困难、掌握知识、发展数学思维、提高数学能力的过程中培养数学学习兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，这是安排“预备知识”的价值所在.
4 常用逻辑用语
4.1 课程定位
4.2 核心内容的理解与教学思考
5 小结
6 相等关系与不等关系
6.1 课程定位
6.2 核心内容的理解与教学思考
7 二次函数与一元二次方程、不等式
7.1 课程定位
7.2 核心内容的理解与教学思考
8 小结
