利用GeOGebra实现初高中衔接二次函数教学难点突破

范玉香

【摘要】信息技术的飞越发展，为老师的教和学生的学提供了更加多元化的途径。在初高中数学的衔接中，二次函数成为学生学习的难点，为了更高效地帮助学生理解并突破这个难点，本文借助GeoGebra动态软件，引导学生观察，使学生直观感知图象变化，进而理解问题的本质，掌握解决问题的方法。

【关键词】二次函数;GGB;动态演示

初中数学到高中数学，是从具体数学到抽象数学的转化过程，是一次逻辑思维升华的过程。不少学生在经历着从初中学习数学的优越感到高中学习数学的挫败感的艰难学习生活，特别是在函数内容方面，体现的尤其充分。说到底，主要是因为函数比较复杂、抽象，而初中的教材上，只要求通过图象了解二次函数的性质，会用配方法把二次函数转化为顶点式：y=a（x-h）²+k，从而得到顶点坐标，得知图象开口方向，画出图象对称轴，能解决简单的实际问题.而在高中的数学课堂上，要求同学们对二次函数要灵活掌握。怎样让同学们快速地理解并掌握二次函数内容，成为高中数学老师教学上的一大重点内容。随着信息技术的飞速发展，电脑、手机、平板等电子产品已基本在高中学生中普及，引导同学们“跟着技术学习数学”可以成为我们教学中的一部分.在接触过几何画板、网络画板和GeoGebra等教学工具后，笔者强力推荐GeoGebra这款动态软件.GeoGebra在几何、代数、表格、图形、统计和微积分等方面都有优秀的表现。下面笔者以二次函数内容为例，说明如何利用GeoGebra（以下简称：GGB）辅助教师的教学及学生的自主学习。

一、利用GGB深刻认识二次函数图象

如下图，学生只需要在输入栏输入函数，即可得到相应函数图象，也可以在老师已经做好的GGB互动课件中分别输入二次函数的三个系数a，b，c来得到二次函数的图象。

通过改变二次函数的系数，观察函数图象变化情况，从而深刻认识二次函数图象的特点，老师引导同学们抓住二次函数特点，画出函数图象。

二、解决定轴定范围的最值问题

在历届学生中，总存在不少学生在求二次函数最值（自变量x范围给定》士，直接把端点。代入函数解析式进行求解，导致错误。通过利用GGB作图演示，可以达到清晰、高效、生动的效果。

例1：已知函数y=-x²-2x+3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值。

（1）x≤-2;（2）x≤-2;

（3）-2≤x≤1;（4）0≤x≤3。

利用GGB容易得到自变量x在不同取值范围下的函数图象，如下图所示：

通过以上动态演示，引导学生在理解和解决函数在定范围的最值问题时，学会如何利用图象解决问题，准确找到最值点。利用老师已经做好的互动课件，同学们还可以自主研究任意二次函数在任意一个区间的取值范围问题。

三、解决动轴定范围的最值问题

例2：求函数y=x²+2kx+1，（-1≤x≤2）上的最大值。

动轴问题要涉及到分类讨论思想，有相当一部分学生想象能力有限，遇到这样的问题不知道如何解决，利用GGB的动态演示，把动态对称轴的变化过程以具体的方式呈现在学生面前，对帮助学生理解和解决问题有极大的帮助。

以上4种情况可以通过点击按钮“移动对称轴”观察图象动态连续变化，还可以通过拖动滑动条k观察图象动态连续变化.引导学生观察函数在范围内的图象变化情况，使学生对函数图象变化从抽象理解转变为“可视化”，从而更加清晰、具体，进而引导学生准确找到分类的分界点。

四、解决定轴动范围的最值问题

例3：求函数y=x²-2x+3，（t≤x≤t+2）上的最大值。（t为实数）

定轴动范围的最值问题与动轴定范围的问题类似，同样需要分类讨论思想，这次运动的是范围。

以上4种情况可以通过点击按钮“移动自变量范围”观察自变量范围（t≤x≤t+2）从左到右“运动”时，函数图象连续变化的情况，还可以通过拖动滑动条c观察自变量范围变化，对应函数图象变化情况，使学生从抽象理解到具体的图象变化“可视化”，进而准确找到分类的临界点。

五、解决给定最值求自变量范围中的参数问题

例4：若函数y=1/2x²-2x+3，（0≤x≤p）有最大值3，最小值1，求实数P的取值范围。

利用GGB构造函数后，利用滑动条P改变自变量的范围，使对应范围内的函数图象发生動态变化，引导学生观察图象变化过程中，函数最大值与最小值的变化情况，通过观察图象的变化，引导学生找到临界点，从而得出实数P取值范围。

让学生接受新事物，是一个漫长的过程，笔者希望通过日常的课堂教学，把GeoGebra的优异性逐渐渗透在课堂中，通过慢慢渗透引导学生自主利用GGB学习探究数学问题.在以上3个含参的函数最值问题中，需要学生运用分类讨论的思想方法，笔者通过GGB的动态演示，使学生具体、直观的“看见”分类的临界点在哪里，进而突破解决本类问题的难点。GGB是一款易学易操作的动态软件，通过GGB的动态演示，高效地帮助学生理解问题，进而解决问题，只有学生理清问题的思路，看清解决问题的“路子”，才能更快更容易地理解本节内容，掌握解决本类问题的方法。

参考文献：

[1]张志勇.基于GEOGEBRA的数学实验与可视化教学[M].长春：东北师范大学出版社，2018.