在数学学习反思中促进学习力成长

胡子丰

摘要：复习的目的在于通过不同方式对已有知识进行回顾，达到“二次成长”。把数学解题中需要的一些数学思想和基本思维模式当成一种习惯来培养和提高。要以复习课为载体，以知识的发展为线索，开展主题研修式课堂学习，通过问题背景来构思数学思想，以指导解题过程的开展，从而提高学生的数学学力。

关键词：二次成长;复习课模式;数学思想;思维模式;数学学力

古语有云：“温故而知新。”复习的目的在于让学生通过不同方式对已有知识进行回顾，实现“二次成长”。学生的知识成长主要体现在两个方面：第一，知识的积累;第二，学习方法和能力的提升。而课堂作为教学主阵地，常见的复习课主要有三种模式：基础性复习课、专题复习课及试卷讲评课。三种模式的复习课形式上相对独立，差异与共性共存。复习课是我们教学工作中的一种重要课型，它因时段、学情不同而表现为不同的课型，如一题一课、一图一课、主题研修课等。笔者在日常教学研讨活动中发现：部分年轻教师上复习课，纠结于问题的解决，重在阐述题目的解题过程，而缺乏问题的剖析和方法的提炼，结果只是自己带着学生走进“茫茫题海”;部分老教师解决问题轻车熟路，对解题夸夸其谈，而缺乏对学生的学情分析，缺乏知识生长的换位思考，是“解题高手”却不是“教学能手”。那么，如何更好地开展复习课教学，进一步强化深度学习？下面，笔者结合自身教学做如下思考。

一、明晰三种模式复习课的特征

基础性复习课注重知识点的落实，侧重于通过复习让学生更加明确知识点的认知和熟练程度，通常会更注重利用同类练习加强巩固;专题复习课偏向于学生能力的提升，常以某个知识点为背景，注重渗透数学思想方法，培养问题分析解决能力，刻画数学思维，提升学生的数学学力;试卷讲评课则更注重“实战性”，针对性更强，在查漏补缺的同时，要能引领学生更多地去总结和进行问题迁移，养成良好的数学学习习惯。这是在我们的教学中非常重要的三种复习课模式，对提高教学质量有着举足轻重的作用。在不同的教学阶段，选择哪种课型来完成复习任务需要合理地设计，适时而为。

二、注重学法指导，提高复习课效率

心理学研究表明：学生将已学的知识和技能应用到新的问题背景中去，这种能力不是自发形成的，是需要培养的。回顾这几年来的复习课教学，笔者主要经历了两个阶段。

第一阶段，给课堂“增容”。思考：设计怎样的课堂能教给学生更多的知识，达到全面复习的目的？笔者效仿了很多复习课课型，也曾给自己定过复习课的一些条条框框。其中“一题一课”的复习课模式是我比较喜欢用的一种复习方式。这种复习方式能串联知识，也能开展一题多解，开展变式训练，将问题挖深挖透，但这种课型多应用于几何问题的复习，有一定的局限性。笔者也思考过应用到一些纯代数问题的单元复习课设计，效果不是很好。交叉采用多种授课模式，确实让课堂变得“结实”“精准”、覆盖面广。但为了达到这些效果却忽略很多细节因素，结果是：老师设计得很辛苦，为追求环节的完整性而忙碌劳累，学生却没了“感觉”。

第二阶段，寻求课堂“思维火花的碰撞”。教和学本身就是两个相对独立而又相互依存的过程。有效的授课模式固然很重要，但不管用哪种方式去授课，都不能忽视课堂的实际效果。有一个话题困扰我多年：考试结束后与部分学生交流，学生总会说：“上课我都听懂了，但考试的时候却又不会做了。”为此，我在课堂上对这类学生给予重点关注，发现他们确实是认真听了，但只是顺着老师的思路，把讲解听明白了，至于为什么要这样做却全然无知，学生的思维缺乏主动性。于是，我经常在课堂讲解中问这样一些问题：“从这个条件你会想到什么？”“为什么要连这条辅助线？”“是题目中的哪句话或哪几个字让你想到要这样做的？”“是哪个知识或数学模型让你想到要这样做的？”……并把这些当成是一种学习习惯来进行培养和训练。?

经历了以上两个阶段的思考与实践之后，在笔者的脑海中，有这么一个想法比较强烈：把数学解题中需要的一些数学思想和基本思维模式当成一种习惯来专门训练提高。我决定以复习课为载体，以某个知识为背景开展主题研修式课堂教学。复习课中要能达到通过问题背景来构思数学思想，以指导解题过程的开展，从而提高学生的数学学力。

三、强化深度学习，构建主题研修式课堂

（一）课例：“旋转变换在解题中的应用”学习单

1.复习引入。通过图形分析明确旋转变换的三个核心知识：（1）旋转变换是一种全等变换。（2）原图上的任意一条线段和旋转后的像所在的直线所夹的角都等于旋转角度。（3）旋转变换中任意两组对应点和旋转中心连接所成的两个三角形是一组相似的等腰三角形。

2.练习回顾。已知在正方形ABCD内有一点E，若                 ，              ，        ，求∠AED的大小。

延伸思考：通过改变条件，还可以解决哪些问题？

[设计意图]在该环境中设计具体数据，意在培养学生的建模能力和问題迁移能力。尤其是通过思考题，提升学生的数学学力。

3.问题迁移。在正三角形内部取点P，给定P到三个顶点的距离，请思考：通过将哪个三角形旋转60度，又可以产生哪些类似于上面一个练习中的相关问题？请思考设计。

[设计意图]通过分析旋转90度能构造等腰直角三角形，进而思考旋转60度构造出的是什么图形，并对问题做进行进一步的挖掘和探究，提高学生学力。

4.尝试通过“旋转变换”完成问题的转化。如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，AB=AD=3，∠EAF=60°，点E、F分别在BC、CD上，求△AEF的面积的最小值。

[设计意图]培养学生的转换思想和问题迁移能力，对旋转的思想进行进一步刻画，以形成一种思维模式。

5.突破难点。如图，矩形ABCD中，AB=1，

，点P在边BC上，点Q在边CD上，且∠PAQ= 60°，连接PQ，求△APQ的面积的最小值。

[设计意图]培养学生进一步挖掘问题的习惯，强化其转换思想和建模思想。

6.归纳小结。要将已学的知识和技能应用到新的问题背景中去，这不是自发形成的，需要进行不断的训练，并结合问题对数学思想方法进行刻画，以提高自身学力。

（二）课例：“玩转直尺——平行四边形中的直尺作图”教学设计

该课为九年级的复习课。到底要给学生讲点什么？跨区域借班上课要考虑的因素比较多，坦白说，这确实是一个比较难以确定的问题。找个热点题型？上个专题复习课？来张试卷讲评？用一题一课强化某块知识？这些在我脑子里都匆匆过了一遍，似乎都不是很理想。思考这16年来的九年级教学，有那么一段，我一直在思考和实践怎样通过一节课让学生收获更多的知识性的东西。后来我慢慢发现，自己想得太累，学生也学得太累。宛如车夫赶着骡子运送重物远行，都太累！于是我一直困惑于如何通过一节课能让学生收获更多有用的东西。教和学是相对独立而又相辅相成的两件事情。复习课从一定层面上来讲，教学生怎么更好地思考应该比复习多少知识点更加重要。

确定了这个课堂立意之后，我在想：当前一些几何解题学生失分较多，究其原因，就是对几何问题的动手作图能力比较欠缺，对图形的形成过程（命题意图）缺乏根源上的探究。数学思想的形成及对问题的表述都是学生比较薄弱的。那么，确定哪个几何图形来进行作图训练，既能训练学生作图能力，又能訓练学生的学习习惯及思维习惯。一开始，我考虑将多个背景图形整合在一起，但发现问题会很杂乱，思路也不清晰。课堂立意是一节思维训练和解题习惯的强化训练课，知识点的入手并不是最重要的。于是我最终确定了平行四边形这个问题背景，确定用一把无刻度的直尺作为工具，简洁清晰，侧重思维训练，将本节课的基调定为：一节根植于理解性学习之上的主题研修课。具体课堂环节设计如下：

1.在学案上先呈现一段引导性话语。“我希望大家通过本节课的无刻度直尺作图探究，加强‘分析——小结——探究——提炼——拓展等学习习惯的培养，并能够在今后的学习中注重数学思想方法渗透，提高数学学力。”

[设计意图]在思考提前设计的寄语后进入课堂环节，能让学生更加明确听课过程中所需要关注的点，避免部分学生由于知识点熟悉而分神或学习目的性不够明确。

2.复习引入。“在□ABCD 中，你能得到哪些与边、角、对角线有关的结论？”此问题意在让学生对平行四边形的“中心对称性”加深印象。

3.例题呈现：在□ABCD中，点E在 AB上，且EA=EB，请你仅用一把无刻度的直尺，完成下列作图，并简述作图过程。之后，作DC边的中点F。

[设计意图]对平行四边形性质的巩固，明确当动点E变成特殊点时，得到的从动点F也是一个特殊点。并引导学生能小结出：在平行四边形中，已知一边中点，能做出对边中点。同时也为变式提供问题新背景的铺垫，让学生能够理解命题人对问题梯度设置的惯常思维。

（1）变式1：在上图中作CB边的中点G。

[设计意图]引导学生在掌握基本结论后，观察新问题背景，提高分析问题本质的能力。并能进一步深化、完善结论：在平行四边形中，已知一边中点，能做出其余三边中点。重点渗透数学转化思想和一些数学解题习惯训练。

（2）变式2：连接AC，在AC上找一点M，使AM=     AC。

[设计意图]引导和培养学生观察分析背景图形的能力，在特定问题背景下构造合适的知识工具解决问题的能力。同时也为在下一个变式中渗透数学思想方法提供问题情境背景。

（3）变式3：在AC上找到另一个三等分点。

[设计意图]引导学生通过比较发现问题的关键是找到CD中点，培养用类比思想解决问题的能力。而找CD中点又回到了之前的问题上来了，进一步强化了转化思想在解题中的应用。

追问问题：当E点变成动点时，哪些是从动点？从图形形状上去考虑，在E的运动过程中，哪个图形的形状不会发生改变？

4.拓展延伸。

（1）在□ABCD 中，延长AD到点E ，连接CE、AC，若AE=AC，请你仅用一把无刻度的直尺作出△EAC的EC 边上的高，并简述作图过程。

[设计意图]强化学生应用转化思想分析问题的能力，将求作高线的问题转化为求作边的中点。类比平行四边形背景下作一边中点的结论，去构造平行四边形，并找其中一边中点。渗透数学建模思想，让学生在感知整个问题的背景下，进行数学思维训练和表达能力训练。期望学生能熟练“由转化思想将问题转化为求作CE中点，再由数学建模思想构造出平行四边形BCED，得知AC、BD的交点恰好是BD中点，则问题转化为本节课的结论中来解决。”当然本题还有转化为重心和构造以CE为平行四边形对角线的思路来解决，进一步通过转化思想开展一题多解，对解题思维和解题习惯展开训练。

（2）如图，在□ABCD中，AC为对角线，AC=BC，AE是△ABC的中线。

①用无刻度的直尺作出△ABC的高CH;

②用无刻度的直尺作出△ADC的高AK。

[设计意图]本题在课件中没有出现，如果时间允许，这是对第一个拓展题之后的一个总结;再思考和训练巩固，是对类比思想和转化思想的一个强化训练。

（3）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上，请在这个网格中作线段AB的垂直平分线。要求：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角;②保留作图痕迹。

[设计意图]相对来讲，拓展1的图形离需要构建的目标图形比较接近。而本题的图形则相对更加简洁，在上述拓展的基础上再来解决这个问题，更能训练和体现学生对问题思考和驾驭能力的整体性。要构造以AB为边的平行四边形很简单，从而将中垂线问题转化为过端点作垂线的问题加以解决。

5.课堂小结，谈收获：（1）平行四边形相关知识。（2）相关数学思想方法。（3）数学思维习惯的培养和训练。

心理学研究表明：学生要将已学的知识和技能应用到新的问题背景中去，这不是自发的，而是需要培养的！如何培养很值得思考和研究。在新教育背景下，作为老师，我们不能吃老本，要不断学习，转变教学观念和育人模式。围绕着如何开展更加有效的复习课教学，我们应该更多、更好地开展教与学的换位思考。只有潜下心来认真总结反思，才能真正抓住教学的节点，提高教学水平。从研究课堂入手，教给学生真正需要的东西，构建真正意义上的生本课堂！

参考文献：

[1]易良斌.中学数学教与学（研究与引领）[M].北京：光明日报出版社，2015.

[2]郑成杰.对数学迁移问题的探讨[J].数学学习与研究，2012（05）.

（责任编辑：韩晓洁）