转之有法 化之有理

江苏南京市江宁实验小学 经 娟

解决问题的策略对学生来说并不陌生，从三年级开始，每一册都安排了这样一个单元，这也是苏教版教材的一大特色。 通过与一线教师交流发现，大家都觉得解决问题的策略这一类课相对比较好上，因为教材的编排很清晰，出示问题→分析问题→解决问题→回顾反思， 每一步都有大问题做导向，并且每个大问题下还有相应的提示（如图1-1、1-2、1-3），教师以此为依据可以引导学生向好的方向发展。而且像这样教，肯定不会出错。但我们也会发现，这样很容易上成解题课，学生忙着套用课堂所学的策略解题，课堂气氛热烈，但下了课，学生独立完成的情况并不好。 这样的现象说明学生并没有形成策略意识，内化为自己的数学思想。 因此，教师应该让学生真听、真学、真感受，并从中提升自己的数学思想。

“解决问题的策略——转化”是笔者参加比赛执教的一节课，在磨课过程中，笔者深刻感受到数学思想融入课堂的重要性。

一、动手操作，体验转化策略

解决问题的策略不是学生解决完一个问题就能完全获得的，此时的学生可能只知道“什么是策略”，至于“用到了什么方法”“为什么可以用这个策略”等问题却很迷惘。 所以教师还需要探究策略学习的过程和方法， 这就需要教师调动学生多感官参与、动手操作、亲身经历，初步感受策略的本质和价值。

【片段1】

出示例1（如图2）：

师：请看大屏幕，你能直接比较出两个图形面积的大小吗？

师：你打算怎样比较这两个图形的面积？你是怎样想的？

（数格子、分割、平移……）

师：请大家带着思考进行操作，老师为大家准备了这样的两种图形，先看一看、想一想，然后可以在这张纸上动手画一画，也可以在剪好的图形中剪一剪、拼一拼。看看可以如何比较它们的面积？有没有不同的方法？

（汇报交流：指名上台演示。）

生1：可以运用数格子的方法。

生2：可以运用剪拼、平移、旋转的方法。（如图3-1、3-2、3-3）

师：如果是你解决这个问题，你会选择哪种方法？

（学生体会到数格子的方法不太简单，容易数错，但是数格子也是一个解决问题的好方法）

师：比较剪拼和平移、旋转，它们之间有什么共同点？

师：是的，把不规则的两个图形变成长方形，也就是规则图形，可以更快速、方便地比较它们的大小。这里的变一变，也就是刚才说的“转化”。转化也是一种解决问题的策略。（补充板书：转化）

师：回顾刚才解决问题的过程，你有什么体会？

（不规则到规则；复杂到简单；旋转，平移；图形面积没变，形状变了）

师（如果没有人回答出变和不变）：转化的前后什么变了，什么没有变？

正是由于在变化的过程中， 面积没有发生变化，所以我们可以通过这两个图形的面积相等来推测原来两个图形的面积是相等的。

思考：学生在这一环节要达到什么样的学习目标？ 通过研读教材和试教的过程，笔者认为有两个“初步感受”。 一是通过动手操作，初步感受转化策略；二是通过回顾反思，初步感受转化思想。 一个是方法层面的，一个是思想层面的。 我们不难知道，以五年级学生已有的知识经验，想到将一个不规则图形转化成规则图形来比较面积的大小并不困难，但上升到数学思想，让学生总结出“转化前后，面积没变，形状变了”这样的结论，会有一定难度。 说明五年级学生思维还处在由具体到抽象的转变过程中，对于知识的理解通过动手操作感受会比较深，而内在转化的本质“变中有不变”的思想不容易被发掘。当然，数学思想不是一蹴而就的，需要教师耐心引导，此环节学生做到初步感受即可。

二、联系旧知，深挖转化本质

策略的认识通过各种探究活动可以迅速地揭示，但对策略的建构和策略中所包含的数学思想的发掘还需要加强讨论和感受。

【片段2】

师（引导）：在以前的学习中，我们曾经运用转化的策略解决过许多问题。请同学们回想一下，我们曾经运用转化的策略解决过哪些问题？在图形中有没有，计算中呢？

（学生四人小组讨论。）

生：平行四边形转化成正方形。

师：你采用什么方法？转化前后什么变了，什么没变？

……

师：这么多地方用到转化的策略，说说你有什么新的体会？

学生可能体会到：转化策略应用很广泛；转化策略能把复杂的问题变简单。把新的未知的问题转化成已经解决的已知的问题。（板书：未知→已知）

师：转化的方法多种多样，图形中我们可以……计算中我们可以……但不管我们怎么变，关键找到内在不变的东西，也就是“转之有法，化之有理”。掌握方法，思想指导，形成转化思想。

思考：为了让学生深刻体会转化策略，跳出例题的教学，让学生回顾以前利用“转化”策略解决的问题，学生在表达的同时，紧抓“变中有不变”的核心思想。 学生找到了在面积计算时要保证图形面积不能变、在计算时要保证结果不能变，启发学生理解“转化的方法多种多样，但必须保证内在不变的本质”，即“转之有法，化之有理”。

三次感受，层层递进，学生深刻地体会到“什么是转化”“怎样转化”“为什么要转化”“转化的依据是什么”等问题，感受转化策略应用的广泛性和便利性，促使学生从方法和思想层面思考，使感悟从低阶走向高阶。 这样的教学处理，加深对转化策略的第三次感受，促使学生在新知学习中将已有知识经验纳入到新知的框架中， 从而建构转化策略，形成转化思想，突出变中有不变的思想。

三、应用策略，内化转化思想

策略的建构和内化，其中数学思想的形成必须从解决问题开始，在回顾中升华，再回到解决问题中进行灵活运用。 学生经过多次体验和感受，从而上升为自己的数学思想。

【片段3】

1.指导完成“练一练”（如图4-1）。

明明和冬冬在同样大小的长方形纸上分别画了一个图案（图中直条的宽度都相等）。 这两个图案的面积相等吗？ 为什么？

师：读完题，你觉得转化需要注意些什么？想想可以怎样比较，同桌互相说一说。

（学生进行教具操作。）

师：大家看懂了吗？还有不同的方法吗？

2.完成练习题1（如图4-2）。

师：刚刚我们研究的都是关于面积的，有没有周长不变的呢？

师：观察上面两个图形，要求出右边图形的周长，怎样计算比较简便？如果每个小方格的边长是1厘米，右边图形的周长是多少厘米？

（学生独立尝试解答，师巡视指导。投影交流反馈解答的情况，着重让学生说说具体的转化过程）

师：你们看明白了吗？你为什么想到这样转化？

师：这样原来的图形就转化成了一个长方形，而它的周长有没有改变？

生：没有。

师：现在你能快速计算它的周长了吗？

生：（3+5）×2=16（厘米）。

师：完全正确！通过这个练习，我感觉同学们的转化水平又提高了。

3.完成练习题2，用分数表示各图中的涂色部分（如图4-3）。

先让学生独立思考，并把自己的想法说给小组成员听，再在全班进行交流。

（1）通过割、补的方法，把涂色部分转化为扇形，从而很容易就可以看出占了整个圆面积的。

（2）通过平移的方法，把涂色部分转化为正方形，从而很容易就可以看出占了长方形的。

（3）辨一辨：通过教具演示，纠错。

方法1：涂色部分思考。

方法2：空白部分思考。

思考：通过三次感受，学生对转化思想有了更深刻的认识，但要想内化为自己的东西，还需要通过练习不断巩固。 本节课重在感受策略中的数学思想，前面的节奏比较慢，所以，在练习时，笔者只设计了3道题。 “练一练”在试上的过程中，学生遇到了这样一个问题，通过移动其中一条路，中间会空一个小方块，移动前后面积变了，即使利用课件学生也难以想象。 为了解决这个问题，笔者将左右两条小路都贴上磁铁，让学生自己上台通过剪拼，使学生理解“消失的小方块”其实是移动到其他地方了，左右两条小路是可以相互转化的。 练习题1，通过平移可以使右边不规则的图形转化成左边的长方形，虽然简单，但教师应该引导学生理解转化前后除了面积不变以外，移动线段，也可使转化前后周长不变。 练习题2，特别是第3幅图，学生很快就会想到利用旋转，得到涂色部分分数是。通过课件演示，抓住“变中有不变”的思想，发现这个结果小了。 在教师的点拨之下，学生立刻就总结出可以通过从空白部分入手，通过剪拼，得到涂色部分应该用来表示。 3道题由易到难，学生重在体验，学生在质疑问难的过程中，不断修正自己的想法，促进知识和想法由片面转向全面，不断深化和转化思想，并总结出和变中有不变得思想。

本节课通过学习转化策略，启发学生理解“转之有法，化之有理”中蕴涵的转化思想和变中有不变思想的数学基本思想， 重在学生的体会和感受，突出学生在数学思想上的提升。 在以后的教学中，教师要仔细研究教材，了解学情，创新和设计有“思想”的数学课。