具有奇异的高阶Liénard方程正周期解

姚晓洁，秦发金

（广西科技师范学院，广西来宾 546199）

近年来，关于具有奇异的微分方程周期解的研究引起学者们的广泛关注，并取得了一些好结果［1-6］，其中文献［6］研究了一类具有奇异的二阶Liénard型方程

的周期解，利用Mawhin 连续定理和不等式分析技巧，获得方程（1）正周期解存在性的充分条件，并指出了解的具体存在范围.然而，据笔者所知，对具有奇性的高阶Liénard 型方程周期解的研究还是比较少的，且没有指出正解具体存在范围的相关报道，因此，本文讨论如下具有奇异的高阶Liénard型方程

的正周期解，这里n ＞ 为正整数，f：R→R是连续函数，b，p∈C（R，R） 是T-周期函数，且函数b可以变号.

1 主要引理

本文引入以下记号：

引理1［7］（Mawhin 延拓定理）设X，Z是实赋范向量空间，L：D（L） ⊂X→Z是指标为零的线性Fredholm映射，Ω⊂X是一个有界开集，N：→Z在是L-紧的映射.如果下列条件满足：

（i）对每个（λ，χ） ∈[（D（L）KerL） ∩ ∂Ω] ×（0，1） ，有Lχ+λNχ≠0 ；

（ii）当χ∈KerL ∩ ∂Ω 时，有Nχ∉ImL ；

引理2［8］设χ（t） ∈Cm（R，R），m≥ ，并且存在常数T＞0 ，使得t∈R有χ（t+T） =χ（t） ，则存在与χ（t） 无关的Mi＞0 ，使得

2 主要结果

定理1 若n = k，k为正整数，如果下列条件满足：

3 应用举例

考虑下面具有奇异的高阶Liénard方程

从而根据定理1 可知，方程（10）存在正的1-周期解.显然，此结果不能由文［6］获得，因此，本文推广和改进了文［6］的相关结果.