列车动荷载长期作用下圆形隧道衬砌损伤分布特征及演化规律研究

徐利辉，马 蒙，刘维宁

(北京交通大学土木建筑工程学院，北京 100044)

地铁隧道在运营期内的常见病害包括：衬砌裂缝、纵向不均匀沉降和结构渗漏水等[1]。由于施工等因素的影响，隧道衬砌结构往往含有初始缺陷，列车长期动荷载作用下，缺陷进一步萌生、发展，使结构力学性能下降，影响隧道结构使用寿命。

隧道结构的动力响应是一个广受关注的课题，针对这一问题国内外学者提出了许多有价值的隧道-地层耦合动力模型，如Pipe-in-Pipe 模型[2]、基于有限元法[3−4]、周期性有限元-边界元[5]、波数有限元-边界元[6]及基于2.5 维有限元-边界元法[7]的隧道-地层模型等，并基于此研究了隧道衬砌动应力响应与分布、位移导纳特性等，得到了有意义的结论；此外，杨骁等[8−9]、王平等[10]与Ma 等[11]分别基于解析法、辛方法与曲线2.5 维有限元法研究了隧道周围地层的动力响应。但研究中隧道衬砌均被视为不发生损伤的结构，未涉及列车动荷载对隧道衬砌结构损伤分布及疲劳寿命的影响。为研究隧道衬砌车致动力损伤分布，并预测衬砌结构疲劳寿命，黄娟[12]将损伤理论与Drucker-Prager 准则结合建立了混凝土损伤本构，研究了车致动力损伤分布并进行疲劳寿命预测；丁祖德[13]采用相同的方法探究了基底软岩对衬砌结构疲劳寿命的影响；刘宁等[14]利用Miner 累积损伤理论建立了仰拱结构寿命的预测方法；朱正国等[15]探究了列车荷载作用下隧道衬砌动力损伤分布，发现围岩条件对损伤发展有较大影响；晏启祥等[16]研究了垂直交叠盾构隧道衬砌车致振动响应及损伤分布规律；王祥秋等[17]进行了隧道衬砌结构动力累积损伤模型试验，得到仰拱与拱脚累积损伤较大的结论。上述研究在进行隧道寿命预测时，大多基于Miner 线性累积损伤理论，但这种假设与混凝土材料实际累积损伤演化规律存在一定差距。

为进一步提高衬砌疲劳寿命预测的准确性，本文首先根据《混凝土结构设计规范》(GB50010−2010)损伤计算公式推导了混凝土增量损伤本构模型，并基于ANSYS 二次开发用户子程序UPFs 将其编入到标准计算流程中，通过与实验结果对比验证了本构模型的合理性；进一步建立了地铁圆形隧道-地层耦合动力有限元模型，并基于改进的Miner 累积损伤理论分析了列车长期荷载作用下隧道衬砌结构损伤分布、动应力/应变变化规律、损伤增量演化规律及累积疲劳损伤演化规律。

1 增量损伤本构模型

1.1 混凝土增量损伤本构方程

混凝土材料中存在大量微裂纹、微孔洞、水泥浆与骨料之间的界面接触不密实等初始缺陷。在外荷载作用下这些缺陷发展、聚集，进而演化为宏观裂纹，造成混凝土力学性能劣化，使其表现出非线性力学行为。《混凝土结构设计规范》(GB50010−2010)中推荐采用单轴受拉、受压损伤变量Dt和Dc表征加载过程中混凝土材料非线性力学特征，其拉压异性的非线性应力-应变关系为[18]：

式中， εi表示受力点的主应变。 〈.〉为Macaulay 符号：x≥0， 〈x〉 =x；x<0 时， 〈x〉=0。将式(4)代入式(2)与式(3)即可得到复杂应力状态下受拉与受压损伤变量。

由上述计算公式可知，混凝土损伤可分为受拉损伤与受压损伤两类，分别服从不同的演化规律。为简化分析，本文用综合损伤变量来同时考虑混凝土受拉与受压损伤演化，定义综合损伤D为：

式中， αt与 αc分别为受拉与受压损伤权重系数。从式(5)可以看出，当受力点处于受拉应力状态时( αt=1， αc=0)，此时综合损伤退化为单轴受拉损伤；而当受力点处于受压应力状态时( αt=0，αc=1)，此时综合损伤退化为单轴受压损伤。因此，式(5)所定义综合损伤可同时考虑混凝土受力的拉压异性损伤演化。

假定复杂应力状态下混凝土损伤仅与偏压力有关而与静水压力无关[20]，则混凝土全量损伤本构方程为：

式中： σi j与eij分别为应力张量及偏应变张量；εV为体积应变，εV=εx+εy+εz；G与K分别为混凝土剪切弹性模量及体积弹性模量；δij为Kronecker函数。

对混凝土全量本构方程两端进行同时微分可得混凝土增量损伤本构方程，其表达式如下：

与全量本构方程相比，混凝土增量损伤本构方程中增加一微分项，其表征损伤变量变化率对增量形式应力-应变关系的修正，表示混凝土应力-应变曲线上某点的切线模量较原点割线模量降低值。

1.2 增量损伤本构方程的数值实现

根据混凝土增量损伤本构方程式(7)对ANSYS 有限元进行材料本构模型二次开发，将开发的本构模型用户子程序植入到标准有限元计算流程中，以满足研究对本构模型的要求。ANSYS调用本构模型用户子程序为基于增量有限元的迭代过程，每一荷载步均需调用用户子程序，根据应变增量计算应力增量，继而得到总应力：

式中：上标表示荷载步数； ∆σk为第k荷载步应力增量，由式(7)计算得到。

混凝土材料在外荷载作用下的损伤为不可逆热力学过程，损伤只能向增加的方向进行。动力荷载卸载过程中，材料的应变减小，根据式(2)及式(3)其损伤也会变小，违反了不可逆热力学原理。为消除其不合理性，需对动力荷载作用过程进行加卸载判定。根据文献[21]，加卸载判断准则为：

由式(9)可知，当处于卸载或者弹性加载过程时，材料损伤保持不变；当处于损伤加载时，需对损伤进行更新，即：

根据上述计算原理，将混凝土增量损伤本构方程编入到数值软件ANSYS 中，通过调用开发的本构模型用户子程序，实现模拟混凝土在外荷载作用下的损伤分布及演化。

2 改进的Miner 累积损伤理论

通过上述计算流程能够得到单次列车荷载引起的隧道结构损伤，若计算隧道全寿命周期内的损伤演化，需对隧道结构进行反复加载。列车动荷载作用下衬砌混凝土疲劳寿命超百万次[13]，但进行如此大量的有限元计算是不切实际的。为简化计算，尽量反映混凝土在全寿命周期内的损伤演化，并使计算过程易于实现，对损伤演化过程作出如下假设：

1) 损伤演化曲线用k条首尾相接的直线代替，损伤演化率在各直线内保持恒定；

2) 用分段直线起始点对应的损伤增量代替本段直线的斜率。

基于上述假设，某直线段内损伤演化方程为：

式中：D(n)与D(n+m)分别为n次与n+m次列车荷载作用下的累积损伤；ΔD(n)为第n次列车荷载引起的损伤，即损伤增量。

式中：ΔDi为第i条直线段内单次列车引起的损伤增量；mi为第i条直线段经历的列车次数。

式(11)表明，损伤演化在各直线段内服从Miner累积损伤理论，即服从改进的Miner 累积损伤理论。改进的Miner 累积损伤理论核心为在各直线段内对单次列车荷载引起的损伤增量进行修正，所取k越大，所得分段线性损伤演化曲线越逼近真实损伤演化曲线。基于Miner 累积损伤理论的线性损伤演化、基于改进的Miner 累积损伤理论的分段线性损伤演化与真实损伤演化对比如图1所示。可以看出，分段线性损伤演化较线性损伤演化更接近真实值，因此本文采用此方式对隧道结构全寿命周期损伤演化进行模拟。

图1 线性、分段线性与真实损伤演化对比示意图Fig. 1 Comparison of linear, piecewise-linear and true damage evolution

基于改进的Miner 累积损伤理论假设，研究隧道结构全寿命周期内的损伤演化，仅需计算单次列车通过引起隧道结构的损伤增量(即直线段斜率)，按式(11)计算末端对应的损伤量及分布并将其作为初始条件输入模型中，从而获得下一直线段斜率。重复上述步骤，当隧道结构中最大损伤达预设值时停止计算，通过拟合得到长期荷载作用下损伤演化曲线。本方法通过于各直线段内对Miner 累积损伤理论斜率进行修正，既能在一定程度上提高计算精度，又能节省计算时间。

3 本构模型验证

利用上述增量损伤本构模型对分别对文献[22]与文献[23]中混凝土单轴拉伸与单轴压缩试验进行数值模拟，通过结果对比验证本构模型与数值程序的正确性。数值模拟中混凝土弹性模量E、泊松比ν、最大抗拉/抗压强度ft ,c,r等参数源自文献[22]与文献[23]，其他相关参数则依据《混凝土结构设计规范》(GB50010−2010)利用内插法获得，如表1 所示。

表1 单轴拉伸/压缩数值试验参数表Table 1 Parameters for uniaxial tension and compression numerical simulations

混凝土单轴拉伸、单轴压缩试验与数值模拟应力-应变关系如图2 所示。对比发现，峰值应变前，单轴拉伸与单轴压缩试验与数值模拟应力-应变曲线几乎重合，结果准确性较高；超过峰值应变后，混凝土发生应变软化现象，即应力随应变增加而降低，上述增量损伤本构模型中的修正项使有限元迭代过程中刚度矩阵主对角元出现负值，继而造成计算过程不收敛，因此，上述增量损伤本构模型无法考虑混凝土的应变软化。但由于单次地铁列车运行引起混凝土应变较小，远低于混凝土峰值应变，故应用此增量损伤本构模型模拟隧道衬砌结构是合理的。

图2 混凝土单轴拉伸/压缩试验与数值结果对比Fig. 2 Comparison between uniaxial tension/compression experiment results and numerical simulation results

4 损伤分布及演化规律

基于混凝土增量损伤本构建立地铁圆形隧道-地层耦合动力有限元模型，计算不同列车累积运行次数下衬砌结构车致损伤分布规律，得到动荷载作用下的最不利位置，并探究最不利位置处动应力/应变幅值随损伤增加的变化情况，研究列车荷载长期作用下隧道衬砌损伤演化规律。

4.1 隧道-地层耦合模型及地铁列车荷载

耦合动力有限元模型中地层简化为各向同性、均一的弹性介质，弹性模量为600 MPa，泊松比为0.28，密度为2200 kg/m3；轨道板及基底填充物亦简化为各向同性、均一的弹性介质，均采用C50 混凝土，弹性模量为34.5 GPa，泊松比为0.2，密度为2400 kg/m3；隧道衬砌采用C40 混凝土，采用增量损伤本构模型进行模拟，相关参数见表2。基于平面应变假设，模型简化为二维有限元模型，模型尺寸为40 m×30 m；隧道衬砌为圆形结构，内径为6 m，衬砌厚度为0.3 m，模型尺寸及数据采集点如图3。

截断边界处施加粘弹性边界(图3(b))，以消除边界对入射波的反射效应。粘弹性边界可由一系列弹簧-阻尼系统等效替代，其切向与法向弹簧刚度和阻尼系数取为[24]：

式中：KBT与KBN分别为切向与法向弹簧刚度；CBT与CBN分别为切向与法向阻尼系数；式中其他参数详见文献[24]。

有限元模型中采用Rayleigh 阻尼假设，阻尼比取3%。采用文献[25]提出的频域车辆-轨道耦合模型计算扣件反力，如图4。

4.2 累积损伤分布

列车不同运行次数下隧道衬砌累积损伤分布与各测点断面最大损伤值分别如图5 与图6 所示。车致隧道衬砌累积损伤关于隧道中心线对称，主要分布于仰拱处，分布角约120°；荷载作用位置下方隧道仰拱中出现两个损伤集中区；车致隧道拱顶和侧墙累积损伤较小，约为集中区内最大损伤的1/5000，由此可见列车运行可能引起的隧道衬砌疲劳破坏最先发生于仰拱位置处。同时，不同列车运行次数下衬砌结构累积损伤值各不相同，但相对大小几乎不发生变化，即分布不变。测点#2 与#12 处累积损伤相当且最大，为最危险点，下文分析主要针对测点#2 进行。

表2 隧道衬砌混凝土计算参数Table 2 Parameters for tunnel lining concrete simulation

图3 模型尺寸及损伤测点示意图Fig. 3 Sketch of FE model dimensions and damage measuring points

图4 地铁列车荷载时程Fig. 4 Time history of subway train loads

图5 隧道衬砌累积损伤分布Fig. 5 Cumulative damage distribution in tunnel lining

图6 各测点断面最大累积损伤Fig. 6 Maximum cumulative damage in each measuring cross-section

如图5(e)所示，随列车运行次数的增加，损伤区由仰拱外侧向内侧径向发展及沿仰拱环向发展，损伤范围不断增大。列车累积运行次数为115 万次时，阈值为0.2 的损伤区已贯穿仰拱衬砌，其环向尺寸约1.7 m；阈值为0.5 的损伤区径向尺寸约0.2 m(隧道衬砌厚度的2/3)，环向尺寸约1.1 m，损伤范围较大；由此引起的测点#2 与#12 处隧道截面力学性能退化较严重，影响隧道正常运营。

随着运行次数的增加，累积损伤逐渐增大；当累积损伤增大到一定值时，隧道衬砌产生裂缝，失去抗拉能力，但由于围岩及仰拱填充物的限制作用，其仍有一定抗压能力。隧道仰拱结构性能劣化具有隐蔽性，但列车动荷载作用会引起较大损伤，使隧道运营安全存在潜在隐患，因此应注意监测仰拱结构长期力学性能变化，以及时保养维修。

4.3 仰拱动应力及动应变响应

不同列车累积运行次数下测点#2 竖向车致动应力与动应变响应时程及最大值随损伤变化如图7与图8 所示。列车车轮通过时，隧道结构中产生最大动应力与动应变，且随时间衰减较快；计算动应力时程曲线与文献[26]中测试时程曲线形状类似，由于列车轴重不同，幅值有所差异。列车运行引起隧道仰拱测点#2 处产生较大的动拉应力与拉应变，混凝土抗拉性能远弱于抗压性能，因而隧道仰拱结构产生较大损伤，混凝土衬砌性能劣化的主要原因是结构出现较大拉应力。

图7 动应力响应时程及最大动应力变化Fig. 7 Time history of dynamic stress and variation of its maximum value

图8 动应变响应时程及最大动应变变化Fig. 8 Time history of dynamic strain and variation of its maximum value

随着累积损伤的增加，单次列车荷载引起的最大动应力与动应变变化趋势有所差异。累积损伤增加到0.9 时，最大动应力由12 kPa 减小到2 kPa，减小约83%；最大动应变由0.8×10−6增加到2×10−6，增加约150%，变化幅值较大。同时，累积损伤越大，最大动应力/动应变变化越剧烈。地铁列车长期运行会引起隧道衬砌混凝土劣化，造成衬砌结构刚度下降，由刚度分配原理可知，结构刚度越小，其所分配荷载越小，因而测点#2 处动应力幅值随损伤增加而呈现下降趋势。

4.4 损伤增量演化

不同列车累积运行次数下测点#2 车致损伤增量时程如图9 所示。累积损伤为0 时，单次列车荷载引起损伤增量约为0.47×10−6，与文献[12]结果数量级一致。车致隧道结构损伤增量的增加主要发生于第1 s 内，即第一个转向架经过时，且呈阶跃现象；第3 s 损伤增量增加是由于此时隧道结构中产生最大应变；之后损伤增量基本保持不变。随着累积运行次数增加，单次列车荷载引起的最大损伤增量增加，由0.47×10−6增加到6.82×10−6，增加约13.5 倍，且累积运行次数越大，损伤增量幅值增加越大。

图9 不同累积运行次数下损伤增量时程Fig. 9 Time history of damage increment under different cumulative operation times

图10 表示各测点损伤增量幅值随列车累积运行次数的变化。与前述类似，测点#2 处损伤增量幅值最大，其他测点较小。损伤增量幅值随列车累积运行次数增加而增大；列车累积运行次数小于90 万次(对应最大累积损伤0.58)时，损伤增量幅值增加较为缓慢；列车累积运行次数大于90 万次时，随累积运行次数的增加损伤增量变化率越来越大。由此说明，采用基于全过程线性假设的Miner 累积损伤理论计算隧道结构车致疲劳寿命会产生较大误差。同时，单次列车引起的损伤增量幅值明显增大时，应当及时对隧道结构进行养护维修。

图10 各测点损伤增量幅值演化曲线Fig. 10 Amplitude evolution curves of damage increment

4.5 累积损伤演化

各测点累积损伤与列车累积运行次数关系如图11 所示。类似地，测点#2 处累积损伤较其他测点大，此处隧道衬砌最易发生破坏。由图可知，列车累积运行次数为115 万次时，测点#2 累积损伤已达0.9，此时隧道结构已经发生严重破坏，应及时维修或者更换衬砌构件。因此，本算例隧道结构疲劳寿命为115 万次。

图11 累积损伤演化曲线及拟合曲线Fig. 11 Evolution curves and fitting curve of cumulative damage

采用函数y=AeBx+C对测点#2 累积损伤曲线进行非线性拟合并与基于Miner 理论的损伤演化进行对比，如图12，拟合曲线与计算曲线几乎重合，可决系数为0.9999。列车累积运行次数为115万次时，采用Miner 理论得到的累积损伤为0.55。车致隧道衬砌结构累积损伤演化呈现非线性特性，且累积损伤随列车累积运行次数增加而增大，呈指数增长，采用Miner 累积损伤理论会高估衬砌的疲劳寿命。再一次说明，采用Miner 累积损伤理论对隧道衬砌结构进行疲劳寿命预测会产生较大误差，因此本文推荐采用改进的Miner累积损伤理论进行模拟计算，此方法提高寿命预测准确性的同时，又能够节省计算时间。

图12 不同预测方法下累积损伤演化对比Fig. 12 Comparison of cumulative damage evolution using different prediction methods

5 结论

根据《混凝土结构设计规范》(GB50010−2010)规定的混凝土损伤计算方法建立了混凝土增量损伤本构模型，并依据单轴拉、压试验结果验证了其正确性。建立隧道-地层耦合动力模型，采用增量损伤本构模型模拟隧道衬砌结构，基于改进的Miner 累积损伤理论探究列车长期荷载作用下隧道衬砌结构损伤分布、动应力/应变变化规律、损伤增量演化规律及累积疲劳损伤演化规律，得出以下结论：

(1) 单线圆形隧道中，车致衬砌累积损伤关于隧道中心线对称，主要分布于仰拱结构，分布角约120°；不同列车运行次数下衬砌结构累积损伤值各不相同，但相对大小不发生变化，损伤分布不变。

(2) 列车荷载作用位置下方存在两个损伤集中区，损伤量远大于其他位置，为衬砌结构潜在危险区。随列车累积运行次数的增加，损伤区沿衬砌径向与环向不断发展；阈值为0.5 的最终损伤区径向尺寸约为隧道衬砌厚度的2/3，损伤范围较大。

(3) 随列车累积运行次数增加，损伤集中区内车致动应力幅值减小约83%，动应变幅值增加约150%；混凝土衬砌性能劣化的主要原因是结构出现较大拉应力。

(4) 损伤增量幅值与累积疲劳损伤随列车累积运行次数增加而增大，且呈非线性关系。采用Miner 累积损伤理论对隧道衬砌结构进行疲劳寿命预测会产生较大误差，本文推荐采用改进的Miner累积损伤理论，此方法能够提高寿命预测准确性，同时又能节省计算时间。