微力测量装置中边缘效应对电容结构设计影响分析

徐 立，王淑香，张卫卫，郑培亮，黄振宇

(1.广东省计量科学研究院广东省现代几何与力学计量技术重点实验室，广东广州 510405；2.广州航海学院，广东广州 510725；3.中国科学院空间应用工程与技术中心，北京 100094)

0 引言

微力测量广泛存在于科学研究和工业应用中[1-2]，在微纳制造[3]、微摩擦[4]、纳米硬度测量[5]、原子力显微镜[6]、航空航天[7]、微推进技术[8]等领域均具有重要应用。由于微力测量过程的复杂性，微力测量尚处于研究阶段，并未形成统一的方法。目前国内外学者在微力测量过程中普遍采用电容式装置，利用电容器极板间产生的μN或nN量级静电力实现微力的复现。如SHAW等[9-10]研制的静电力天平；LEACH等[11]提出的用于测量微力的静电力平衡装置；KIM等[12-13]研究的原子力显微镜校准装置；以及HU等[14]研制的微小力测量及量值溯源装置等均采用的是基于圆柱状电容器的静电力结构。对电容式传感器而言，边缘效应的存在将使电容器极板边缘部分电场分布不均，导致静电力非均匀分布，严重影响微力测量准确性，因此在微力测量装置的设计和使用中应尽量减少或避免边缘效应对微力输出值的影响，以保证装置微力输出准确性。

本文针对微力测量装置中广泛采用的圆柱状电容器，利用理论分析与有限元模拟方法，研究边缘效应对其微力输出值影响，分析不同参数下，边缘效应对柱状电容器输出特性影响规律，并在此基础上提出微力测量装置中柱状电容结构的设计与使用建议。

1 微力测量装置中柱状电容结构与微力输出值

1.1 柱状电容结构

图1为微力测量装置中柱状电容结构，其中内电极外径为do，内径为di；外电极外径为Do，内径为Di，重叠长度为Z。装置工作时，外电极固定，内电极可沿轴线方向自由移动，当内电极移动时，内外电极重叠长度Z发生变化，从而改变柱状电容器电容值大小。在忽略边缘效应条件下，柱状电容器电容值可由式(1)得到：

(1)

式中ε为内外电极间空气介电常数。

图1 柱状电容结构示意图

1.2 忽略边缘条件下的微力输出值

根据虚功原理，若内外电极间保持恒定电压时，使内电极运动产生位移dZ需做功：

(2)

式中：dW为能量变化；F为作用于内电极的微力值；dZ为柱状电容器内外电极相对位置变化；U为内外电极间电势差。

由此可见，忽略边缘效应时，柱状电容内电极受到微力值仅与空气介电常数、外电极内径、内电极外径及加载电压有关。因此根据式(3)计算的柱状电容微力输出值即为不受边缘效应影响时，柱状电容微力输出值。

由式(1)和(2)可得忽略边缘效应时，柱状电容微力输出值的理论计算公式为

(3)

由于式(3)忽略了边缘效应影响，因此理论公式计算值即为不考虑电容边缘效应影响的理想状态下输出值，而有限元分析过程中充分考虑到了柱状电容器边缘效应的影响，因此有限元分析值可认为是考虑边缘效应影响后的实际输出值。由此可见，通过比较式(3)的计算结果与有限元分析结果，则能得到边缘效应对柱状电容器微力输出值的影响情况。

2 边缘效应对柱状电容微力输出值的影响

2.1 不同重叠长度下边缘效应的影响

图2(a)为外电极外径20 mm、内径16 mm；内电极外径14 mm、内径10 mm的柱状电容器微力输出值随电极重叠长度的变化曲线。理论公式计算的微力输出值为一条水平直线，表明不考虑边缘效应条件下，柱状电容微力输出值恒定，与内外电极重叠长度无关。而有限元分析所得的微力输出值则明显分为两个部分：在区域Ⅰ中，有限元分析所得微力输出值与理论计算值非常接近，某些区域两条曲线几乎重合，表明在考虑边缘效应情况下，当内外电极重叠长度处于区域I时，边缘效应对微力值输出的影响可忽略不计，采用理论公式就能准确计算柱状电容的微力输出值。而在区域Ⅱ内，有限元分析曲线与理论公式计算曲线出现明显偏离，且随重叠长度增加，偏移值增大，表明在区域II内，边缘效应对柱状电容器输出微力值具有明显影响，且随内外电极重叠长度增加，边缘效应影响不断增大。

为更直观表示有限元模拟值(考虑边缘效应)与理论公式计算值(不考虑边缘效应)两种情况下差值的大小，图2(b)给出了内外电极不同重叠长度时，有限元模拟值与理论公式计算值之间的差值。由图2(b)可明显看到，在区域Ⅰ内，有限元分析与理论公式计算值之间的差值非常小，两者差值在3%左右，表明此区域内边缘效应对输出的影响极小，几乎可以忽略；而在区域Ⅱ内，两者的差值最大可达58.8%，此时边缘效应对柱状电容的输出影响已非常明显。由此可见，Ⅰ区域为边缘效应影响可忽略区；而Ⅱ区域为边缘效应影响明显区域，需要考虑边缘效应对微力输出值的影响。在微力测量装置的设计过程中，应尽量保证装置在工作时内外电极的相交长度处于区域I内，以减小边缘效应对微力输出值的影响，提高测量准确度。

图2 电极重叠长度与微力输出值关系

2.2 不同电极间距时边缘效应的影响

图3(a)、(b)、(c)分别是内外电极间距为1 mm、3 mm、5 mm时，柱状电容器的微力输出值曲线。对比分析可发现，随着电极间距增大，区域Ⅰ和Ⅱ的分界线不断前移，表明随着电极间距增大，边缘效应对微力输出值影响区域逐渐扩大；图3(c)中，在整个区域内，有限元分析值与理论公式计算值间最小差值已达12.4%，表明整个重叠长度区间[0,30 mm]内，不论内外电极间相对位置如何，均受边缘效应较大影响，图3(c)整个区域均处于区域Ⅱ中，表明此时理论公式计算值已无法准确计算柱状电容微力输出值，边缘效应影响不可忽略。同时，通过图3可得，当内外电极重叠长度超过5 mm时，随着内外电极重叠长度增大，有限元分析结果和理论公式计算结果的差值变大，表明边缘效应影响逐渐增强，验证了本文2.1中的结论在不同间距时均成立。

图3 电极间距与微力输出值关系

由图3可知，随着内外电极间距增大，边缘效应影响区域急速扩大；当内外电极间距达到5 mm时，边缘效应的影响已经变得非常明显，理论计算公式已不适用。

基于以上分析，在微力测量装置设计过程中，在保证柱状电容内外电极间不发生击穿条件下，减小内外电极间距，能有效减少边缘效应影响，保持装置微力输出值准确性。

2.3 不同加载电压时边缘效应的影响

2.3.1 电极间距较小时(1 mm)

图4给出了内外电极间距为1 mm时，柱状电容微力输出值随加载电压变化的曲线。其中图4(a)和(b)的电极重叠长度均处于Ⅰ区域内，而图4(c)的电极重叠长度处于Ⅱ区域内。当内外电极重叠长度处于Ⅰ区域时，随加载电压升高，两条曲线始终紧贴在一起，几乎重合，说明此时理论公式计算值与有限元模拟值非常接近，由此可见，电极间距较小时，只要内外电极重叠长度处于Ⅰ区域内，不论加载电压如何变化，边缘效应对柱状电容器的微力输出值影响均可忽略。

图4 加载电压与微力输出值关系(Δl=1 mm)

当内外电极重叠长度处于Ⅱ区域时，从图4(c)可见两曲线出现明显分叉，且随加载电压增大，分叉变大。表明此时随加载电压升高，边缘效应对输出微力的影响增大。因此，在电极重叠长度处于Ⅱ区域时，边缘效应对微力输出值具有明显影响，且随加载电压升高，影响增大。

2.3.2 电极间距较大时(5 mm)

图5给出了内外电极间距5 mm时，柱状电容微力输出值随加载电压变化情况。由本文2.2分析可知，在该内外电极间距下，整个电极重叠长度区间均处于Ⅱ区域，边缘效应对微力输出值的影响不可忽略。从图5中可看到，理论计算与有限元模拟曲线出现了明显的分叉，当内外电极重叠长度不变时，随加载电压升高，分叉变大；在内外电极重叠长度较小时(图5(a))，两曲线的分叉已比较明显，随电极重叠长度增大(图5(b)、(c))，两曲线分叉更明显。表明电极重叠长度较大时，加载电压变化对边缘效应影响程度更大。

图5 加载电压与微力输出值关系(Δl=5 mm)

结合图4与图5分析，当电极间距较大时，随着加载电压升高，边缘效应影响增强；且当内外电极重叠长度增大时，边缘效应影响程度受加载电压影响更明显。在微力测量装置设计中应尽量保持装置工作处于较低电压，不仅有利于获取稳定的输入电压，同时还可减小电容边缘效应影响，有利于微力输出值稳定。若为增大装置测量范围，必须加载高电压时，则应确保电极间距较小，避免因电极间距过大导致的高压加载条件下，边缘效应影响所造成的微力输出值激增。

3 结论

利用理论分析结合有限元模拟方法研究了微力测量装置中所广泛采用的柱状电容器边缘效应对微力输出值的影响，系统分析了电极重叠长度、间距、加载电压等参数变化时，电容边缘效应与微力输出值之间的关系，得到如下结论：

(1)在重叠长度较小时，会出现边缘效应影响较小区域，该区域内可忽略边缘效应对微力输出值影响，且该区域内装置微力输出值稳定性高，受电极重叠长度变化影响较小，是微力测量装置设计与工作理想区域。

(2)随着重叠长度增大，边缘效应影响开始变得明显，此时边缘效应对微力输出值具有重要影响，不可忽略。

(3)随电极间距增加，边缘效应影响区域增大，当电极间距增大到一定程度时，边缘效应将影响整个重叠长度区间，无法靠减小重叠长度来减小边缘效应的影响。

(4)电极间距较大时，加载电压升高将导致边缘效应影响增强；且随内外电极重叠长度增大，边缘效应影响程度受加载电压影响更明显。在微力测量装置设计与使用过程中应尽量保持较低电压。