由特殊到一般的方法在数学学习中的体现

魏选平

摘 要：本文详细介绍了由特殊到一般的教学方法，在小学、中学及大学学习中的体现，反映出辩证的哲学思想，此方法对现实的数学教学具有很强的指导性。

关键词：特殊;一般;哲学;数学教学

世界上任何事物都处于相互联系之中，矛盾的普遍性寓于特殊性之中，并通过特殊性表现出来，该规律在高等数学学习上也有指导意义。基于同类问题的最简单特殊问题与同类复杂问题间的平行的相似性，由最简单特殊问题研究、概括总结推广出同类复杂问题的解决方法。纵观各年级的数学学习，都先由特殊的实例概况归纳出本质规律，从而熟能生巧地总结概括推广出概念、定理，公式。这些定理、公式可解决同类事物中的所有复杂问题，由小学、初中、高中、大学数学的学习过程，无不体现出由特殊到一般，再由一般到特殊的规律。这种规律和方法具体体现在小学、初中、高中、大学数学学習的知识点和知识体系上。

一、方程移项原理体现了由特殊到一般，由简单到复杂的规律

小学四年级学习了含有未知数的等式是方程。方程的移项原理是移项时，加变减，乘变除。那么，这样简单地推理出移项的本质是移项时正运算变反运算。实际上，移项原理也来自于实际生活。物理上，用天平秤物体质量时，左物右码，左边放物体后，右边如放1克和2克的砝码天平平衡时，说明左边物体的质量时3克，可用1+2=3表示。如左边去掉1克重物，要使天平达到新的平衡，需去掉右边1克的砝码。这就相当对上边1加2等于3的等式两边同时减去1，就变成了2=3-1。这也相当于1由等号左边移到右边变成减1了。初步说明了移项原理是加变减。同样，4×2=8的等式两边同时除以2，就变成了4=8÷2。这也相当于2由等式的左边移到右边乘变除的道理。这都说明等式移项的原理是一种运算变成了它的反运算。

初中的乘方与开方是一对反运算，在等式移项中也能体现。如式1所示，如2的立方等于8，将立方运算由左移到右边就变成了开立方，即2等于8的开立方。

高中的指数与对数是一对反运算，在等式移项中也能体现。如式（2）所示，如2的立方等于8，将底数2由左移到右边就变成了开立方，即2等于8的开立方。

大学的微积分也是正反结合的体现，如式（3）所示，x立方的导数等于x 的平方的三倍，将导数运算由等式的左边移到左边时，就得到x立方等于x平方的3倍的不定积分。

二、小学、初中、高中、大学数学学习中的体现

1.小学学习中的体现

圆的周长公式也可由生活中的特殊到一般规律归纳出来。例如，车轮滚动一周的长度就是周长，如何测车轮周长用圆片试试看，圆片向右滚动一周，用线绕圆片一周可测量出圆的周长与直径有关，找3个大小不同的圆片分别测量出园的周长和直径，做一做，填一填。如下表所示。

测量会有误差，可多测几次求平均值，会发现圆的周长总是与直径的3倍多一点，从而得出圆的周长除以直径的商是一固定的数，称其为圆周率，用字母表示，计算时常数取3.14，从而可用圆的周长公式求出所有圆的周长。该例从生活中的简单的特例概况出圆的周长公式。利用所求不同的圆的周长，这是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊问题的问题。

2.初中数学学习中的体现

勾股定理的学习可联系生活实际，对于任意三角形，只要是直角三角形，它的三边的长度就为一对勾股数，反过来，只要一三角形的三边长互为勾股数，则该三角形一定是直角三角形。从而总结出勾股定理。即任意直角三角形中，两直角边的平方和一定等于斜边的平方。由勾股定理可解决不同直角三角形的边角问题，尤其是从直角三角形的形状特性可总结出其性质规律，由勾股定理和直角三角形的性质可解决所有直角三角形问题。这是由特殊到一般公式，再由一般公式到特殊问题的问题。

3.大学高等数学学习中的体现

一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点（x，y）处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程.

上述两个例子中的关系式（5）和（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程. 一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。

如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解.不含任意常数的解，称为微分方程的特解.如函数（6）是微分方程（5）的通解，函数（6）是微分方程（5）的特解。为了从通解中能确定出该问题的特解，需要未知函数满足一些附加条件，这类附加条件称为初始条件。

三、结论

综上所述，小学、初中、高中、大学数学学习中的知识点和知识体系都体现出了由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，这就启示我们在数学学习中只有抓住同类简单特殊问题与一般复杂问题间的相似性，才能由小学、初中、高中的简单特殊问题的学习和研究，熟能生巧地推广和概括出大学的一般复杂问题的学习。小学、中学、大学数学学习中的每一个重要公式、概念、定理都是从生活中简单特殊的实例总结概括归纳出来的，由这些基本定理公式又可解决形形色色的同类所有问题。也体现出了由特殊到一般，再由一般到特殊的规律。只要掌握了从特殊到一般的方法，就能提高学生的自学能力，就能增强教师的教学能力。一般来说，特殊的实例都很简单，一般问题都很复杂，这种方法也是从最简单的问题中学会复杂问题的解决办法，这不能不说是一种智慧。有了这种智慧，不但能学好数学，也能学会分析和解决新问题的能力。